Encore deux nouveaux défis:
1°)Prouvez que la fonction définie par f(x)=x^3 n'est PAS bijective sur C
2°)Prouvez que l' algorithme suivant est fini (ou pas?) pour tout n dans N:
(1)si n=1 alors stop
(2)si n pair , remplacer n par n/2 et retour en (1)
(3)si n est impair, remplacer n par 3n+1 et retour en (1)
pour le premier il me semble evident que les racines cubiques de l'unité 1,j et j² ( vérifiant 1+j+j²=0 et intervenant dans les rotations) montre que la fonction proposée n'est pas injective( 1 et d'ailleurs tout élément de C* admet trois antécédents) donc non bijective.
A +
Pour le deuxième, ne cherchez pas trop....
C'est la très célèbre suite de Syracuse et si Le_Sphinx a la preuve que la suite boucle sur 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1 il est potentiellement très riche.
merci de nous avoir fait gagner du temps de recherche curieux
ceci dit je connaissais pas cette suite :/
Re : duex enigmes funs
Un immense bravo Ã* la culture générale de curieux!!!Envoyé par curieux
Tous debout pour une "standing ovation"
Cela dit il n' a toujours pas été démontré qu' il était toujours fini.
J' ai posé la question pour voir si on pourrait la résoudre sur ce forum.
Je pense que la démonstration par l' absurde pourrait être efficace...
Puisque ma première énigme a été habilement résolue par pallas,
en voici ma démonstration:
on remarque que (rac(3)/2 - 1/2 *i)^3 = -i
i^3= -i
on suppose que la fonction cube est bijective sur C
alors par transitivité rac(3)/2 - 1/2 *i=i
d' où i=rac(3)/3
ce qui est fauxn a démontré par l' absurde que la fonction cube n' est pas bijective sur C
Re : duex enigmes funs
mais quelles sont donc ces racines cubiques de 1
j'ai cherché et je suis bloqué
j'arrive à:
si z=x+iy tel que x et y E R, alors il faut x^4-y^4=x
on a x=1 et y=0 comme solutions évidentes, mais quelles sont les autres???
Salut,
Les deux autres racines cubiques de l'unité sont: exp(2*i*Pi/3) =cos(2*i*Pi/3)+i*sin(2*i*Pi/3)=-1/2 + i*racine(3)/2, et son conjugué -1/2 - i*racine(3)/2 (la première est appelé parfois j, et la 2e est j²)
