Intervalle infini

[mehdi_128]

Bonsoir,

Pourquoi un intervalle d'intérieur non vide de R est forcément infini ?
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[choom]

Bonsoir,

Pourquoi un intervalle d'intérieur non vide de R est forcément infini ?

Bonsoir. Essai.
Par définition d’intérieur, l’intérieur d’un intervalle ]b1;b2[ ne peut pas contenir seulement un unique élément r1 de R,
puisqu’il exclu les bornes : soit r1 appartient à l’intérieur de l’intervalle, alors b1 < r1 < b2. Et comme entre 2 réels distincts il est toujours possible d’en trouver un 3ième - ici par exemple r2 = b1 + ( r1-b1 )/2 et r3 = r1 + ( b2-r1 )/2 - raisonnement que l’on peut à loisir répéter infiniment avec r2 et r3, il y a donc une infinité de réels dans l’intervalle.

Est-ce cette démonstration là que vous cherchiez ?
Bien cordialement,
Choom

[Médiat]

Bonjour,

La démonstration de choom montre que l'intervelle ]b1, b2[ est de cardinal infini supérieur ou égal à ; établir une bijection entre ]b1, b2[ et est très simple (avec la fonction tangente) et cela démontre que ]b1, b2[ a le même cardinal que , c'est à dire

[mehdi_128]

Bonjour,

Je ne cherchais pas de démonstration, juste une explication. Je ne crois pas que la démonstration soit de mon niveau.

Un intervalle d'intérieur non vide est un intervalle qui contient au moins 2 points ?

Si on prend par exemple on voit que son intérieur est donc non vide, il est infini.

L'intervalle est d'intérieur vide, il ne contient qu'un point il n'est pas infini.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La démonstration est tout à fait de ton niveau (*) pour le caractère infini du cardinal (**) de l'intervalle :
Tout intervalle de la forme [a,b], [a, b[,]a,b] ou ]a, b[ avec a et b réels et a<b a pour intérieur ]a, b[et tu trouveras facilement une suite infinie de termes tous différents (par exemple strictement décroissante) compris entre a et b. C'est du niveau première (ou moins pour les bons élèves).
Pour le caractère non dénombrable, médiat a donné une piste, que tu peux suivre.

Pour les intervalles infinis, à toi d'adapter la démonstration.

Cordialement.

(*) tu postes dans le forum du supérieur, donc tu considères que tu as le niveau.
(**) c'est le cardinal qui est infini, pas l'intervalle. Un intervalle infini a une borne +oo ou -oo au moins.