Loi de Poisson et quantités

[Olaeradrik]

Bonjour,
je découvre les statistiques et l'exercice de fin de chapitre suivant me pose problème.
Toute aide est la bienvenue.

Un commerce reçoit N client par saison, avec N~Poi(). la probabilité qu'un client achète le produit est de p.
Le profit de chaque produit vendu est de x$. Chaque produit restant est entreposé pour la saison suivante à un coût de y$.

i) Soit X="nombre de client qui achète le produit" et Y="nombre de client qui ne l'achète pas". Ces deux variable sont elles indépendantes?

ii) Trouver n le nombre de produit stockés pour maximiser le profit moyen du commerce.

Pour la première question, il me semble que non elles ne le sont pas car on peut formuler Y tel que Y=N-X. Mais vu que X=N.p , Y=N-N.p je ne suis pas sûr.

Pour la seconde, j'ai supposé que le profit moyen par saison était égal à P = X.x - (n-X).y. Et donc il faudrait un nombre de produit égal à X.

Cependant cela me paraît léger et pas très mathématique ou rigoureux comme explication.
Par la suite l'exercice propose de résoudre ces problèmes avec des valeurs mais cela me semble plus important d'avoir les explications générales, surtout que vu que je découvre, comprendre est plus intéressant qu'avoir la réponse.

Merci beaucoup pour toute indication ou toute explication.
Bonne journée.
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[MissJenny]

Le résultat à connaître est le suivant: si X est un processus de Poisson de paramètre lambda et si Y est le processus qui consiste à tirer une valeur de X (un ensemble dénombrable de points) et à choisir de garder chaque point avec la probabilité p indépendamment des autres points, alors Y est un processus de Poisson de paramètre lambda*p. Donc ici, X suit la loi de Poisson de paramètre lambda*p et Y la loi de Poisson de paramètre lambda*(1-p).

[Olaeradrik]

Merci beaucoup pour ta réponse! Je suppose qu'à partir de cela, on peut déduire pour la seconde question que l'on cherche n tel que P(X<=n)*x = P(Y<=n)*y. Cependant je ne suis pas sûr de voir comment cela nous avance pour l'indépendance.

[MissJenny]

pour savoir si deux variables discrètes X et Y sont indépendantes ou pas il faut calculer P(X=x et Y=y) (la loi conjointe) et le comparer au produit P(X=x)P(Y=x), pour tous les entiers x,y.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Olaeradrik]

Encore une fois merci! J'avais essayé ça mais pas avec les bons X et Y, je réessaye.

[MissJenny]

Le calcul n'est pas difficile, il faut penser à conditionner par les valeurs de N.