Enveloppe d'une famille de fonctions

**coussin** · 02/12/2021, 09h21

Bonjour à tous,

Soit la fonction de R dans R $\text{[math]}$ avec a, un paramètre réel positif. Quand on trace l'ensemble de ces fonctions pour différents paramètres a, on voit apparaître une "frontière" délimitant une région du plan (xy). J'illustre cela dans le fichier joint où j'ai tracé tout un tas de fonctions f_a(x) pour différentes valeurs de a et j'ai indiqué la frontière dont je parle par la courbe en pointillé noire.

Nom : familyFunctions.jpg
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Taille : 78,9 Ko

Nom : familyFunctions.jpg
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Je souhaiterai obtenir l'équation de cette courbe pointillée noire. Étant donné la nature de cette courbe, je n'ai absolument aucune idée de comment poser le problème...

Merci d'avance

**jacknicklaus** · 02/12/2021, 09h52

Bonjour,

cette frontière porte plus précisément le nom d'enveloppe.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Envelo...9om%C3%A9trie)

**coussin** · 02/12/2021, 10h18

Merci beaucoup, c'est exactement ça !
Je résous donc le système d'équations
$\text{[math]}$
pour x et y et j'obtiens $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . D'où l'équation de mon enveloppe $\text{[math]}$ (ce que j'avais "deviné" en tâtonnant).

**jacknicklaus** · 02/12/2021, 10h24

Donc ca te fait

$\text{[math]}$

donc $\text{[math]}$ (pour le quadrant positif), d'où $\text{[math]}$

[edit]

ah tu avais déjà conclu. Pas vu.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**MissJenny** · 02/12/2021, 13h33

je crois qu'une telle courbe appelle aussi "caustique" et il me semble me souvenir que Vladimir Arnold a travaillé sur cette question.

**coussin** · 02/12/2021, 13h37

Si les mods le juge nécessaire, ils peuvent modifier le titre de ce sujet pour y mettre le terme enveloppe. Pour plus de visibilité peut-être...

**albanxiii** · 02/12/2021, 18h10

Envoyé par coussin

Si les mods le juge nécessaire, ils peuvent modifier le titre de ce sujet pour y mettre le terme enveloppe. Pour plus de visibilité peut-être...

C'est fait

**coussin** · 02/12/2021, 18h36

Si ça peut intéresser quelqu'un, je peux exposer mes motivations pour ce sujet (j'officie habituellement plutôt dans la partie Physique...

)

Soit un paquet d'onde gaussien d'incertitude minimale et de largueur initial $\text{[math]}$ . Si ce paquet d'onde évolue selon l'équation de Schrödinger dépendante du temps (pour certains potentiels choisis...), la largeur de ce paquet d'onde en fonction du temps est $\text{[math]}$ .

L'existence de cette enveloppe montre qu'il peut être impossible d'avoir une telle largeur au bout d'un certain temps d'évolution.

Enveloppe d'une famille de fonctions

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Re : Équation de la frontière d'une famille de fonctions

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