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Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

  1. Scorp

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    28
    Messages
    1 232

    Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Bonjour à tous !
    Je voulais démontrer les formules pour le calcul d'une surface :
    Je suis arriver à la conclusion qu'il suffisait d'utiliser la formule de Green-Riemann :
    en prenant Q=x et P=0
    Mon problème est que maintenant, je n'arrive pas à montrer cette formule de Green-Riemann, surtout qu'à priori, cette formule doit marcher pour tout P et Q continues et tant que sont (à moins que je me trompe dans les hypothèses de ce théorème). J'ai essayé de la montrer en prenant et de montrer que mais sans résultats ( n'est pas forcément exacte, ni même fermée sinon serait toujours nulle, non ?)
    Enfin bref, je nage un peu dans un flou magistral quand il s'agit d'intégrale curviligne et de différentielle, donc si quelqu'un pouvait m'aider à y voir plus claire...
    Merci d'avance


     


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  2. GrisBleu

    Date d'inscription
    avril 2005
    Âge
    34
    Messages
    986

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Salut

    Une idee simple est
    - tu prend un rectangle (S) dont les frontieres sont paralleles aux axes x,y. La frontiere () est donc facile a parametrer. Tu calcule
    facilement.
    en gros, si les cotes sont (x=a,y=c), (b,c), (b,d) et (a,d), tu obtiens une expression, par exemple pour Q,

    De meme pour P

    - soit une surface pas trop tarte, tu peux, a la limite, la recouvrir de rectangle colles les uns aux autres (dont l'aire devient de plus en plus petite). Ce qu il faut verifier c est que tous tes rectangles soient orinetes de la meme maniere. Alors les contributions des cotes communs s annulent.

    - la formule etant vraie sur la reunions des rectangles, a la limite, elle est vraie sur ta surface quelcconque, moyennant une surface suffisamment reguliere.

    As tu compris l idee ?

    ++
     

  3. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
    Âge
    30
    Messages
    1 379

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Salut,

    D'ailleurs il y a la même idée pour démontrer la formule de Cauchy pour des fonctions holomorphes sur des lacets continus dans le Rudin, Real and Complex Analysis. (C'est juste avant que ça devienne vraiment complexe , au chapitre 10 je crois, enfin sur l'édition sur laquelle je travaillais)

    __
    rvz
     

  4. Scorp

    Date d'inscription
    février 2006
    Âge
    28
    Messages
    1 232

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Il me semble que j'avais fait une démonstration un peu similaire pour montrer le théorème de Green-Ostrodasky et celui de Stokes-Ampère (mais c'était en physique). Donc j'espèrais qu'il y avait en math une démonstration sans passer par cette astuce de "maillage" de la surface.
     

  5. GrisBleu

    Date d'inscription
    avril 2005
    Âge
    34
    Messages
    986

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Si tu veux une vraie demonstration, il te faut le theoreme general.
    Soit une forme n-1 lineaire sur une variete a bord, avec w differentiable (C1 ?) alors

    regarde la par exemple
    http://faculty.luther.edu/~macdonal/Stokes.pdf
    tu verras que l histoire du maillage est encore utilise

    ++
     


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  6. edpiste

    Date d'inscription
    août 2006
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    Âge
    39
    Messages
    390

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Une explication géométrique de l'intérêt du maillage (tirée d'un article de Blasjo sur l'inégalité isopérimétrique) :green.gif
     

  7. Scorp

    Date d'inscription
    février 2006
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    1 232

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    Tient, c'est sympa de faire remonter les anciens postes a la surface. Je vais allez voir ca de suite en espérant que ca soit pas trop dur pour moi : je ne suis même pas sur de savoir ce qu'esl l'inégalité isopérimétrique (c'est pas avec ca qu'on montre que pour un périmètre fixé L, la surface d'air maximal est le disque de périmètre L [ou quelque chose comme ca ])
     

  8. edpiste

    Date d'inscription
    août 2006
    Localisation
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    39
    Messages
    390

    Re : Formule de Green-Riemann (pour le calcul d'aire)

    C'est exactement ça. L'article en question donne une bonne dizaine de preuves différentes de ce résultat, un peu à la manière du théorème fondamental de l'algèbre...
     


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