Hypothèses espaces topologiques

[Houdini195]

Bonjour, je fais des recherches sur les revêtements mais mes connaissances en topologie se limitent à des propriétés sur les espaces vectoriels normés. Pour simplifier mon étude, je voudrais donc me placer dans un cadre simplifié que je maîtrise plus ou moins, a priori connexe par arcs. Malheureusement, dans le flot de termes techniques dans les hypothèses sur les espaces manipulés je n'arrive pas à bien détecter ce que connexe par arcs impose. Je sais que cela entraîne connexe, mais pas simplement connexe. Mais dès qu'il s'agit d'hypothèses locales sur les bases de de voisinage là je suis perdu. J'ai l'impression que ça n'entraîne pas forcément localement connexe par arcs, et pour ce qui est de localement connexe et localement simplement connexe, je n'en ai aucune idée. Ce dernier point m'intéresse particulièrement parce que je voudrais savoir si je peux toujours définir le groupe fondamental au sens des revêtements (pas des lacets avec lesquels je voudrais ne faire le lien qu'a posteriori) sur un espace connexe par arcs.

Merci par avance et bonnes fêtes à tous
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[Anonyme007]

Bonjour,

je n'arrive pas à bien détecter ce que connexe par arcs impose. Je sais que cela entraîne connexe, mais pas simplement connexe. Mais dès qu'il s'agit d'hypothèses locales sur les bases de de voisinage là je suis perdu. J'ai l'impression que ça n'entraîne pas forcément localement connexe par arcs, et pour ce qui est de localement connexe et localement simplement connexe, je n'en ai aucune idée.

Un espace connexe par arcs n’est malheureusement pas localement connexe par arcs en général. En général, une propriété globale n’entraine pas une propriété locale.
Par contre, un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.

Ce dernier point m'intéresse particulièrement parce que je voudrais savoir si je peux toujours définir le groupe fondamental au sens des revêtements (pas des lacets avec lesquels je voudrais ne faire le lien qu'a posteriori) sur un espace connexe par arcs.

La construction du groupe fondamental au sens des revêtements : , avec, est un revêtement non nécessairement galoisien ne met aucune condition préalable sur . peut être connexe par arcs, mais ce n'est pas une condition nécessaire pour le construire.

La condition : est connexe par arcs devient nécessaire si on cherche à identifier à lorsque, est galoisien, et les deux actions respectives des deux groupes s'identifient et sont transitives sur les fibres. Voir : http://citron.9grid.fr/docs/galois.pdf et http://citron.9grid.fr/docs/memoire.pdf

[Anonyme007]

Je ne peux pas entrer dans les détails, parce que, ça fait longtemps que je ne manipule pas les groupes fondamentaux. Vérifie ce que je t'ai expliqué avant de l'utiliser. Si j'ai un peu de temps, je retournerai vérifier ça dans mes cours, et venir peut être corriger.

Cordialement.

[Houdini195]

Merci pour votre réponse, c'est très clair en voyant ces propriétés comme locales ou globales (c'était pourtant dans le nom...).
Concernant la deuxième partie de votre message cependant, dans les cours que je consulte, il est dit que l'existence du revêtement universel n'est assuré que si l'espace est simplement connexe car il faut que l'ensemble des revêtements soit un treillis complet, et on utilise en effet dans la preuve qu'il existe pour chaque point un voisinage trivialisant indépendant du revêtement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Oui. Quelle est la question ?

[Anonyme007]

... dans les cours que je consulte, il est dit que l'existence du revêtement universel n'est assuré que si l'espace est simplement connexe car il faut que l'ensemble des revêtements soit un treillis complet

Si est un revêtement universel, c'est qui est simplement connexe, et non . est localement semi-1-connexe ( i.e, une notion similaire à localement connexe par arcs ).

[Houdini195]

Pardon, dans le cours il est dit que l'espace X doit être localement simplement connexe pour les raisons que j'invoquais. Cela correspond à la notion que vous mentionniez? Et du coup j'imagine que localement simplement connexe est plus fort que localement connexe par arcs comme c'est le cas pour la propriété globale?

[Anonyme007]

Pardon, dans le cours il est dit que l'espace X doit être localement simplement connexe pour les raisons que j'invoquais. Cela correspond à la notion que vous mentionniez?

Oui.

Et du coup j'imagine que localement simplement connexe est plus fort que localement connexe par arcs comme c'est le cas pour la propriété globale?

Oui.

[Houdini195]

Bonjour, je reviens avec une petite question toujours sur le même sujet. Est-ce qu'un espace métrique X est localement simplement connexe? La réponse est oui par exemple si les boules de X sont simplement connexes mais je vois pas si c'est le cas ou non. Les boules d'espaces vectoriels normées le sont mais je ne parviens à déterminer si on peut adapter les démonstrations sommaires que j'ai vu à des espaces métriques quelconques. Merci encore par avance

[MissJenny]

je pense qu'il y a même des exemples d'espaces métriques qui ne sont pas localement connexes, sans même parler de simplement connexes.

[GBZM]

Bonjour,
est un brave espace métrique, la distance entre et étant , mais il n'est pas trop top du point de vue de la connexité !