DM de maths

[Lily29]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à faire pour dans une semaine et je bloque sur une question d'un exercice, voici l'énoncé :

On note pour k>=2, fk(x) = k(x-1) - xln(x)

1) Montrer que l'équation fk(x)=0 admet une racine unique dans l'intervalle ]1, +infini[, que l'on notera xk.

Du coup, j'ai dérivé fk, j'ai trouvé fk'(x) = k-ln(x)-1

Ensuite j'ai fait mon tableau de variations : - fk'(x) est positif sur ]1, e^k-1] et négatif sur [e^k-1, +infini[
- la fonction fk est croissante ]1, e^k-1] sur et décroissante sur [e^k-1, +infini[
- fk(e^k-1) = -k + e^k-1
- et la limite de fk est 0 en 1

Ce qui me pose problème c'est la limite de fk en +infini et aussi comment déterminer le signe de -k+e^k-1 ?

Merci d'avance pour votre aide.
-----

[gg0]

Bonjour.

Pour la limite de fk en +oo, factorise x (comme x est non nul 1=x*1/x) et regarde les limites des facteurs.
Pour -k+e^k-1 = e^k-(k+1), tu as à comparer e^k et k+1. Pour k=2, e^2>2+1. Puis, par récurrence, tu généralise. Autre méthode possible, tu étudies la fonction x-->e^x-(x+1).

Bon travail !

[Lily29]

Bonjour,

Du coup, j'ai factorisé par x et j'ai trouvé que la limite de fk en +oo est -oo. De plus, j'ai étudié la fonction x-->e^x-(x+1) sur ]1,+oo[ et j'ai trouvé que la fonction était strictement positive.

Donc l'équation fk=0 admet une unique racine dans l'intervalle [e^k-1,+oo[ ?

Par contre je n'ai pas compris comment vous passiez de -k+e^k-1 à e^k-(k+1) ?

Merci pour votre aide

[jacknicklaus]

Par contre je n'ai pas compris comment vous passiez de -k+e^k-1 à e^k-(k+1) ?
Merci pour votre aide

C'est lié à ta manière fautive d'écrire cette expression sans parenthèse, et qui a trompé gg0

il ne s'agit pas de -k + e^k-1 qui signifie

mais bien de -k + e^(k-1) qui signifie

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lily29]

Ah oui en effet pardon j'ai oublié des parenthèses, il s'agit de -k+e^(k-1)...

[gg0]

ben ... c'est la même chose, rectifiée
"...tu as à comparer e^(k-1) et k. Pour k=2, e^(2-1)>2. Puis, par récurrence, tu généralises.

[Lily29]

D'accord merci beaucoup !

Il y a une autre question sur laquelle je bloque : je dois montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 2, e^(k-1) <= xk <= e^k

Pour montrer que e^(k-1) <= xk je peux le montrer grâce au tableau de variations mais pour montrer que xk<= e^k je ne vois pas comment faire... J'avais pensé à appliquer la fonction fk sur l'inégalité mais je ne vois pas comment faire car la fonction fk est croissante puis décroissante sur l'intervalle ]1,+oo[

Merci d'avance pour votre aide !

[gg0]

Il suffit de calculer f_k(e^(k-1)) et fk(e^k), puis d'utiliser le sens de variation de f_k sur [e^(k-1),+oo[.

[Lily29]

Je suis en train de faire la récurrence et j'ai comme propriété e^(n-1)>=n au rang n et e^n>=n+1 au rang (n+1), mais je ne comprends pas comment faire pour mon hérédité ?

Merci d'avance pour votre réponse.

[Lily29]

D'accord merci beaucoup !

[gg0]

Bizarre ce que tu écris.

Tu veux démontrer e^(n-1)>n pour n>=2. La propriété est vraie pour n=2. Puis supposant e^(n-1)>n tu dois arriver à la même propriété pour e^n. Quel calcul simple fait passer de e^(n-1) à e^n ?

[Lily29]

Je fais e^(n-1) multiplié par e^1

[gg0]

Donc par e.
De e^(n-1)>n on passe donc à e^n> ... Et c'est presque fait.

[Lily29]

Donc j'obtiens e^n>ne ?

[gg0]

Oui, et tu veux e^n>n+1. Il suffit que n.e soit supérieur à n+1. Termine ..

[Lily29]

Du coup, j'ai dit que ne>n+1 ssi ne-n-1>0. J'ai introduis la fonction f définie sur [2,+infini[ par f(n)=ne-n-1, donc f'(n)>0 et j'ai fait le tableau de variation de la fonction f et j'ai trouvé que f(n)>0 donc que ne-n-1>0 et que ne>n+1.

[gg0]

Plus simple :
e>2 donc ne>2n=n+n >n+1 car n>1.
Mais ta méthode est correcte si bien rédigée (la propriété serait fausse pour n=0).

Cordialement.

[Lily29]

D'accord merci beaucoup pour votre réponse et pour votre aide !

J'ai une autre question sur la question 3 qui est la suivante : soit k appartient à N, k>=2, on pose yk=xk/e^k. Montrer que xkln(yk) = -k

Du coup j'ai eu comme idée d'appliquer la fonction fk sur xk, cela me donne : fk(xk) = k(xk-1)-xk(ln(xk))=0

J'ai développé puis j'obtiens : -k = xk(-k+ln(xk))

Je suis bloqué à partir de là, pourriez-vous m'aider ?

Merci d'avance !

[gg0]

Excellente idée ! Tu y es presque. Écris le -k comme le logarithme de son exponentielle.

Cordialement.

[Lily29]

Ah ok c'est bon j'ai compris j'ai réussi à trouver l'égalité merci !

Je suis encore bloquée sur la question d'après... Je dois montrer l'inégalité |ln(yk)|<= ke^(1-k).

J'ai eu comme idée de partir de l'inégalité e^(k-1)<=xk<=e^k pour k>=2 que l'on a montré dans une question précédente, ensuite j'ai appliqué la fonction inverse pour obtenir e^(1-k)>=1/xk>=e^-k et j'ai multiplié par -k pour que je puisse obtenir -k/xk qui est égal à ln(yk).

J'obtiens donc -ke^(1-k)<=ln(yk)<=-ke^-k et là je suis bloquée...

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance et bonne soirée !

[gg0]

Là encore, tu as quasiment fini (si tes calculs sont corrects, mais je te fais confiance) : Ce que tu as trouvé montre que ln(y_k) est négatif, donc |ln(y_k|=-ln(y_k), et il suffit de multiplier par -1 la première partie de l'inégalité (*)

Cordialement.

(*) en multipliant l'autre, tu obtiens une minoration de ln(y_k).

[Lily29]

Ah oui d'accord c'est bon j'ai réussi à le montrer ! Et ensuite toujours dans la même question je dois montrer que xk=e^k + o(e^k) en +oo, je dois donc montrer que la limite de xk/e^k quand k tend vers +oo est 1 mais je ne vois pas du tout comment faire... Pourriez-vous me donner une piste ?

Merci d'avance .

[gg0]

Tu peux repartir de " -k = x_k(-k+ln(x_k)) " (message #18); on en déduit




puis utiliser l'encadrement de x_k par des exponentielles pour montrer que ça tend vers exp(0)=1.

[Lily29]

D'accord ok merci beaucoup pour votre aide !

Bonne journée !