Correction Estimateur biaisé

[alexandremol]

Bonjour,

Je suis un étudiant en 3ème année d'économie. Je me pose une question puisque je n'arrive pas à trouver une réponse sur internet.
Mon exercice me propose trois estimateurs d'un paramètre θ notés U, V et W. On observe que les estimateurs U et W ont pour espérance θ et que l'estimateur V a pour espérance 3θ.

Ainsi, je trouve que l'estimateur V est biaisé puisque E(V)= 3θ

Cependant, par la suite je dois comparer l'efficacité des estimateurs, donc je cherche à rendre l'estimateur V non biaisé. Je dois alors plutôt partir sur la piste de rendre mon estimateur V non biaisé (si c'est possible) ou de travailler l'efficacité des estimateurs en gardant le biais ?
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[alexandremol]

Je glisse mon énoncé, si ça peut permettre d'être plus clair. Si quelqu'un a une idée pour me donner une piste de réflexion, n'hésitez pas
On considère trois estimateurs d'un paramètre θ notés U, V et W. On observe que les estimateurs U et W ont pour espérance θ et que l'estimateur V a pour espérance 3θ. On observe également que l’Écart type de U est égale à 5 fois l’écart type de V et à 5/3 de celui de W.


1. Les trois estimateurs sont-ils sans biais ? => L'estimateur V est biaisé.

2. Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre θ l'estimateur V est-il plus efficace que l'estimateur U ?

[MissJenny]

dans la vraie vie si on trouvait un estimateur V dont l'espérance est 3*theta, on le corrigerait (en prenant V/3) mais dans ce problème on te demande de comparer les efficacités des estimateurs tels qu'ils sont donnés, donc tu n'as pas à "débiaiser" V.

[gg0]

Bonjour.

Si θ=0, l'estimateur V n'est plus biaisé, et plus efficace.

Cordialement.

NB : Évidemment, θ/3 est non biaisé et plus efficace dans tous les cas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[alexandremol]

Pensez vous que mon raisonnement était celui attendu dans l'exercice ?

[gg0]

Oui, c'est possible. Et on retrouve bien le θ=0 dont je parlais.

[leon1789]

Bonjour,

L'énoncé dit bien qu'il ne faut pas considérer V/3, mais bien V (qui est biaisé).

La notion d'efficacité d'un estimateur est une notion un peu complexe :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Effica...(statistiques)

Mais vu ce que fait alexandremol, je crois qu'on veut simplement comparer E( (U-t)² ) et E( (V-t)² ) où t=theta...
La question serait donc de savoir pour quelles valeurs de t on a E( (U-t)² ) > E( (V-t)² ) .
Evidemment, comme le dit gg0, t=0 est une possible. Mais ce n'est pas la seule.
On cherche un intervalle.

Je commence :
E( (U-t)² ) > E( (V-t)² )
<=> Var(U) > E( V² ) - 2 tE(V) + t²
<=> 25 Var(V) > E( V² ) - 5t²
<=> 25 Var(V) > Var(V) + 9t² - 5t²
<=> 24 Var(V) > 4t²
<=> 6 Var(V) > t²
d'où l'intervalle de alexandremol. OK !