Le théorème de Bayes est-il la solution ?

[stephanecmoi]

Bonjour.
J ai posté dans cette section car un autre post y fait référence au théorème de Bayes mais mon niveau math est loin d'être supérieur, il plafonne à un niveau 2nde de 1987 et depuis je n ai pas pratiqué, de fait, mon énoncé ne sera donc peut être pas aussi pertinent que je l imagine..

Au pile ou face :
Je sais que les lancers sont dépendants les uns des autres,
Je sais que j'ai une probabilité de 0.25 d'avoir un pile après un pile.
Je sais que j ai une probabilité de 0,88 d'avoir au moins 2 piles consécutifs dans une série de 12 lancers.

J ai bien conscience qu'au 7eme lancé j'ai 0.25 chances d avoir un nouveau pile. Même si ici la proba de 0.88 me perturbe grandement.

J'ai lu que le théorème de Bayes répondait à tant de problèmes que je me demande si le théorème de Bayes serait la solution au fait que je cherche à quantifier l'avance ou le retard des sorties piles en général et aussi durant cette série de 8 lancers consécutifs.

L'idée sous-jacente étant d''obtenir un "indicateur" qui permettrait de considérer que, par exemple, que dès qu'une valeur franchit un seuil, les coups gagnants vont se répéter pour retourner à l équilibre, à une réussite de 0.5 et qu'au delà d'une certaine valeur, les coups gagnants sont beaucoup trop présents et de fait, on pourrait s attendre à une suite de coups perdants pour retourner à l équilibre.
L'idéal absolu serait aussi de pouvoir quantifier combien de coups vont durer ces phase de récupération ou de "rééquilibrage" .

Merci pour vos conseils et votre indulgence.
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[iPhysics]

Bonsoir,

La formulation n'est pas claire à mes yeux. Le pile ou face est-il bel et bien un pile ou face classique ? Car dans ce cas, les lancers sont bel et bien indépendants.
Même après avoir fait 50 fois pile à la suite, la probabilité de faire pile au 51ème coup est de 1 chance sur 2. De cette manière, il est impossible de garantir un "retour à l'équilibre" par une série de piles après une série de faces ou inversement.

[Bounoume]

bonjour,

Je sais que les lancers sont dépendants les uns des autres,

tu est bien sûr de ça: dépendants????
ou bien indépendants.... ce qui change bien des choses.... et c' est plus exact...

[oualos]

Je sais que j'ai une probabilité de 0,88 d'avoir au moins 2 piles consécutifs dans une série de 12 lancers.

Là c'est difficile à imaginer en effet. Tu es sûr de ton énoncé ?
Il vaudrait mieux peut-être prendre un autre jeu que pile ou face: enfin j'en sais rien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bounoume]

croisement avec iPhysics: pouvez-vous supprimer mon post superflu de 18H44

merci d'avance

[stephanecmoi]

Effectivement les lancés sont indépendants, j ai oublié le préfixe ...

J ai choisi le pile ou face pour exposer mon pb parce que la réussite théorique est de 50% et de ce que je comprends de ce que je lis, plus la série observée est longue, plus le nombre de Piles et de Faces tend à s'équilibrer pour atteindre sa réussite théorique. Donc j imagine que n'importe quel évènement qui n'a qu une chance sur 2 de se réaliser obéit aux mêmes "particularités".

Pour ma certitude d'une probabilité de 0.88 d avoir 2 gagnants consécutifs pour une réussite de 50%, elle vient d'un vieux post dans je ne sais plus quel forum que j avais conservé dans un fichier texte dont je recopie ici le contenu :

Oui ! Les tirages sont indépendants. Et quels que soient les probabilités qui en découlent, la probabilité unitaire ne changera jamais.

Je vois ton problème comme une machine d'états. 3 états : Fin, pile, face. Il en découle le graphe suivant :

Fin <--0.5-- Pile --0.5--> Face --0.5--|
Î----0.5----| Î---------|

Et la matrice de transformation suivante :

1 0 0
0.5 0 0.5
0 0.5 0.5

On peut alors déterminer avec un simple tableur les possibilités successives, en faisant comme si on partait d'un état "Face". Mn+1=Mn x T

0 0 1 0
0 0,5 0,5 1
0,25 0,25 0,5 2
0,375 0,25 0,375 3
0,5 0,1875 0,3125 4
0,59375 0,15625 0,25 5
0,671875 0,125 0,203125 6
0,734375 0,1015625 0,1640625 7
0,78515625 0,08203125 0,1328125 8
0,826171875 0,06640625 0,107421875 9
0,859375 0,0537109375 0,0869140625 10
0,88623046875 0,04345703125 0,0703125 11
0,907958984375[/B] 0,03515625 0,056884765625 12
0,925537109375 0,0284423828125 0,0460205078125 13
0,93975830078125 0,02301025390625 0,0372314453125 14
0,951263427734375 0,01861572265625 0,030120849609375 15

Donc je cherche à savoir s il existe un moyen de quantifier la probabilité de retour à l équilibre sur X coups ou quelque chose du genre.

Merci pour vos commentaires

[gg0]

Bonsoir Stephanecmoi.

Tu sembles croire à une légende sur les probas : "plus la série observée est longue, plus le nombre de Piles et de Faces tend à s'équilibrer pour atteindre sa réussite théorique". Les probabilités montrent le contraire, plus la série est longue moins il est probable que les nombres de pile et de face soient presque égaux, disons diffèrent de moins de 10. Ce qu'on trouve c'est que les fréquences des pile et des face ont tendance à se rapprocher quand le nombre de tirages devient important, par exemple (très peu probable, seulement illustratif), sur 10 000 lancers, 4900 Pile et 5100 faces, soit un écart de 200 donnent des fréquences proches, 49% et 51 %, et si on fait 100 fois plus de tirages, on aura par exemple 499 000 pile et 501 000 face, soit des fréquences plus proches, 49,9% et 50,1%, mais un écart bien plus grand de 2000 au lieu de 200.
Il n'y a pas de "rattrapage" pour des suites d'événements indépendant (le rattrapage signifie justement que les tirages suivants dépendent de ceux déjà réalisés, donc qu'il y a dépendance).
Ce qui n'empêche pas de calculer la probabilité d'un retour à l'égalité en n coups après un écart, probabilité généralement faible. par exemple, pour un jeu où on a 2 lancers et 2 piles, la probabilité est 0 pour n=1, 1/4 pour n=2 (il faut faire 2 face), 0 pour n=3 (on a joué 5 fois, il ne peut pas y avoir égalité), 1/8 pour n=4 (sans avoir eu égalité auparavant), etc.
Et ça c'est pour une situation très basique.

Cordialement.

[iPhysics]

Pour apporter un complément, ce biais cognitif est simple à comprendre par une illustration :

Si on fait 9 fois pile à la suite, on se dit que la pièce va forcément faire face puisque quand même, faire 10 fois pile à la suite, ce serait un coup de bol phénoménal ! Or c'est faux, la pièce garde 50% de chance de faire pile et 50% de faire face (les lancers étant indépendants). En fait, il se trouve que le tirage 9 pile puis 1 face est tout aussi exceptionnel que 10 piles à la suite. Ces tirages ont d'ailleurs exactement que le tirage PFFPFPPFPF, ce tirage contient pourtant 5 piles et 5 faces et paraît donc plus "naturel" mais je peux t'assurer que tous les tirages sont équiprobables. C'est juste qu'il y a beaucoup plus de tirages qui offrent 5 piles et 5 faces que de tirages qui offrent 8,9 ou 10 piles par exemple, mais une fois qu'on a considéré le fait d'avoir eu 9 piles, ce qui est fait est fait et le lancer suivant n'est pas impacté.

Dit autrement, pour ceux qui jouent à la loterie, demandez-vous si vous voudriez jouer précisément la même grille que la dernière qui vient de tomber ? Souvent, les joueurs répondent non en se disant qu'il est très hautement improbable que le tirage soit exactement le même deux fois consécutives. Néanmoins, le tirage est bel et bien indépendant du précédent et chaque tirage est équiprobable, ce qui veut dire que la grille remplie par le joueur a autant de probabilité d'être gagnante que la grille remplie avec les numéros gagnants du dernier tirage. Belle manière de se rendre compte que le jackpot est hautement improbable.

Bonne soirée !

[stephanecmoi]

Merci.
Merci.
J ai tout à fait compris vos propos.
J avais conscience de l indépendance des tirages mais j imaginais, au regard du tableau que j ai fourni que ...
En fait là est le pb pour moi. Ce tableau annonce 88% de réussite de 2 coups consécutifs gagnants sur une série de 8 et je me souviens qu'à l époque j avais été surpris et développé un petit programme en pascal pour vérifier cela en créant un arbre de décision et que les résultats étaient cohérents. Du coup je ne comprends pas comment on peut avoir cette certitude (88%) puisque au bout de 7 coups, avec le 7 -ème gagnant et aucun autre avant, je n ai vraiment que 50% de chance d avoir un autre gagnant.
Comment cela est il possible que les deux calculs soient corrects alors qu ils ne donnent pas le même résultat ?
Je pense que ceux qui pratiquent les mathématiques ne sont pas surpris mais moi je ne le comprends pas.

[iPhysics]

D'accord, je pense que je saisis l'objet de ta question.

En fait, l'intuition vient du fait que certes pour chaque séquence de deux coups, on a une probabilité de 0.25, mais ici on calcule la probabilité d'avoir au moins une séquence de deux qui soit gagnante, parmi toutes les séquences de deux coups consécutifs.

Il faudrait que je bidouille un peu sur un papier pour voir si on s'en sort avec les outils traditionnels, mais je pense que la manière la plus simple est encore d'utiliser un algorithme dynamique comme présenté ci-dessous.

Le résultat de 88% correspond en fait à 3630/4096. Sur 12 lancers, il y a en effet 2^12 = 4096 tirages possible. Cela indique que sur ces 4096 tirages possibles, seuls 4096 - 3630 = 466 tirages n'ont jamais deux pile à la suite. C'est là où est l'erreur car ici, ce que tu considères le résultat pour 11 lancers. En fait, il se trouve que pour 12 lancers, on a plutôt 90,8% de chance et non 88%, soit 377 tirages sur 4096 au lieu de 233 sur 2048. Voici le raisonnement (dont je ne suis pas peu fier)

Sur un tirage de 2 lancers, il en existe 3 qui n'ont pas deux fois pile à la suite (PF, FP, FF).
Sur un tirage de 3 lancers, si jamais le premier lancer est F, alors la séquence de 2 lancers admet 3 combinaisons sans répéter P. Si le premier lancer est P, alors dans la séquence de 2 suivante, on ne peut pas prendre PF, on en a donc que 2. On a donc pour 3 lancers : 2 combinaisons si on commence par P, 3 si on commence par F donc 5 au total.
Sur un tirage de 4 lancers, si on commence par F, on peut alors prendre n'importe laquelle des 5 combinaisons. Si on commence par P en revanche, on ne peut pas prendre les combinaisons qui commencent par P dans les séquences de 3 lancers qu'on connaît, on ne prend donc que celles commençant par F donc 3. Pour 4 lancers, on a donc 5 combinaisons si on commence par F et 3 si on commence par P donc 8 au total.

...

On pourrait continuer jusqu'à la fin, mais on observe ici une récurrence !

Pour 2 lancers, on a 2F + 1P = 3
Pour 3 lancers, on a 3F + 2P = 5
Pour 4 lancers, on a 5F + 3P = 8

Dans le mille, pour 5 lancers, on aura alors 8F + 5P = 13. En fait, on observe une suite de Fibonacci ! On aurait ici un nombre de tirages perdant (sans avoir de double pile) qui est 377 et qui est le 14ème nombre de la suite de Fibonacci.

Je peux peut-être créer ce théorème à mon nom, qui sait ! :P
On aurait alors :

La probabilité d'avoir au moins deux fois pile sur un tirage de lancers de pièce équilibrée :

avec , et pour .

[Liet Kynes]

Bonjour,
une illustration : https://www.youtube.com/results?sear...=hasard+launay

[stephanecmoi]

Merci pour vos réponses.

[MissJenny]

L'idée sous-jacente étant d''obtenir un "indicateur" qui permettrait de considérer que, par exemple, que dès qu'une valeur franchit un seuil, les coups gagnants vont se répéter pour retourner à l équilibre, à une réussite de 0.5 et qu'au delà d'une certaine valeur, les coups gagnants sont beaucoup trop présents et de fait, on pourrait s attendre à une suite de coups perdants pour retourner à l équilibre.

la question que tu poses relève de la théorie des marches aléatoires (random walk en anglais) et plus précisément de la question de la probabilité de retour à l'origine. C'est des probas relativement avancées donc puisque tu sembles ne pas y connaître grand-chose je ne conseillerais pas un cours de probas, mais il y a un "que sais-je?" de Paul Deheuvels qui traite de ces questions et est relativement vulgarisé. Tu pourrais le consulter avec profit.

[Bounoume]

et, accessoirement, ça
https://www.maths-cours.fr/cours/pro...onditionnelles
mais pas wiki (trop compliqué ....)

[stephanecmoi]

Merci pour vos conseils je vais regarder cela de plus près.

[Liet Kynes]

Donc je cherche à savoir s il existe un moyen de quantifier la probabilité de retour à l équilibre sur X coups ou quelque chose du genre.

Si tu prends la partie 1 de la vidéo mise en lien, tu peux partir sur l'idée de créer des triangles dont le point de départ est ta situation de déséquilibre dans le triangle (plus grand) d'avant du coup tu comprends que retourner vers le centre du triangle précédant est peu probable.

[GBZM]

Bonsoir,
Par ailleurs on a des théorèmes de probas qui disent des choses apparemment contradictoires :
1°) Quelle que soit la situation dont on part, on reviendra presque sûrement à l'équilibre : avec probabilité 1, on arrivera à un moment avec autant de piles que de faces.
2°) L'espérance du temps d'attente de ce premier retour à l'équilibre est infinie : la "moyenne" de ce temps d'attente est infinie.

[gg0]

Oui, mais c'est qu'une infinité de lancers, ça prend du temps, surtout vers la fin ...

[oualos]

Oui, mais c'est qu'une infinité de lancers, ça prend du temps, surtout vers la fin ...

On sent l'influence de Woody Allen

[gg0]

Je ne l'ai pas cité car il y a des références plus anciennes (Thomas d'Aquin ?).

Voir aussi Asimov ("La fin de l'éternité").