Matrice et supplémentaire

[Eogan]

Bien le bonjour,
Voilà j'ai un petit problème et pas de corrigé
"Donner la matrice dans la base canonique d'un endomorphisme f de R² pour lequel Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires."
Ca me parait un peu vague, tout ce que je sais c'est que c'est une matrice 2*2
Mais je n'arrive pas à poser les bonnes hypothèses de départ...
Un ptit coup de main?
Merci

[doudache]

"Donner la matrice dans la base canonique d'un endomorphisme f de R² pour lequel Ker f et Im f ne sont pas supplémentaires."

Est-ce qu'un tel endomorphisme peut etre nilpotent ?

[Eogan]

Merci!
Je ne sais pas(ou ne me souvient pas ) ce qu'est un endomorphisme nilpotent, mais j'imagine que ce doit être un endomorphisme dont la matrice M associée est nilpotente.
Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.
Ker M^k = R² et Im M^k = {0} et les deux sont supplémentaires, mais ça c'est pour M^k je ne vois pas trop où ça doit me mener...

[fderwelt]

Est-ce qu'un tel endomorphisme peut etre nilpotent ?

Bonjour,

Si Im f est contenu dans Ker f, "ça le fait" comme disent les djeun'z aujourd'hui...
Par exemple dans la base canonique (e₁,e₂), on prend f(e₁) = e₂ et f(e₂)=0. Là c'est nilpotent, mais ce n'est évidemment pas la seule possibilité, même dans R².

Ça y est, j'ai encore été trop bavard...

-- françois

[doudache]

Je ne sais pas(ou ne me souvient pas ) ce qu'est un endomorphisme nilpotent, mais j'imagine que ce doit être un endomorphisme dont la matrice M associée est nilpotente.
Donc si notre endomorphisme est nilpotent, il existe un k tel que M^k=0.

C'est exactement ca. Maintenant, meme en dimension quelconque, peux-tu me dire quels sont les seuls endomorphismes nilpotents pour lesquels Imf et Kerf sont supplementaires ?

Indice : si Imf et Kerf sont supplementaires, que vaut le rang de f² (ou fⁿ) par rapport a celui de f ?

Ensuite pour aller un peu plus loin, essaie de montrer qu'en dimension 2, les endomorphismes f pour lesquels Imf et Kerf ne sont pas supplementaires sont exactement les endomorphismes nilpotents (l'endomorphisme nul non compris). Tu pourras t'inspirer du post de fderwelt.

P.S. : fderwelt, j'attends toujours ta reponse d'ici