groupe cyclique ou non

[christophe_de_Berlin]

Bonjour, j´ai l´exercice suivant sur les groupes finis:

Soit le groupe multiplicatif G= (Z/15Z)*. Montrer qu´il n´est pas cyclique.

Bon, en princiqe cet exo n´est pas dur, G est d´ordre phi(15) = 8, il est constitué de tous les éléments premiers avec 15. J´ai donc essayé toutes les puissances de tous les éléments (sauf 1 évidement), et j´ai vite trouvé qu´il n´existe pas de générateur de G.

Mais je me demande s´il existe une méthode plus élégante, plus rationnelle et demandant moins de calculs. Pour (Z/15Z)* ça va vite, mais imaginons par exemple un groupe fini de 150 éléments...

J´ai eu beau chercher...

merci d´avance

[martini_bird]

Salut,

juste une idée : comme (Z/15Z)* est d'ordre 8, s'il était cyclique, alors il existerait un générateur x tel que , -1 étant d'ordre 2. Donc -1 serait un résidu quadratique, ce qui est faux (calcul du symbole de Legendre (-1/15)).

Cordialement.

[christophe_de_Berlin]

bon ben je crois avoir trouvé une méthode, mais je suis pas bien sûr qu´elle soit valable, donc je préfère demander à la communauté. Peut-être y-a-t-il une méthode encore plus élegante:

Je viens de trouver deux théorèmes intéressants:

Théorème 1: Soient G1 et G2, deux groupes cycliques d´ordres m et n.

Le groupe G1 x G2 est cyclique <=> m et n sont premiers entre eux.

J´applique d´abord ce théorème en constatant que G1= (Z/3Z)* et G2 = (Z/5Z)* sont cyclique. G1 est d´ordre 2 et G2 d´ordre 4. Ces deux ordres n´étant pas premiers entre eux, le produit cartésien G1 x G2 n´est pas cyclique.

Théorème 2: Soient m et n premiers entre eux. Alors les groupes multiplicatifs (Z/mnZ)* et (Z/mZ)* x (Z/nZ)* sont isomorphes.

3 et 5 étant premiers entre eux, on peut appliquer ce théorème.

Mon seul problème est le suivant: Peut-on affirmer qu´un groupe est non cyclique quand il est isomorphe á un groupe non cyclique?

Ou y a-t-il une autre méthode?

merci d´avance

[martini_bird]

Mon seul problème est le suivant: Peut-on affirmer qu´un groupe est non cyclique quand il est isomorphe á un groupe non cyclique?

Bien sûr !

Si G était cyclique et isomorphe à un groupe H non cyclique, les itérés de l'image d'un générateur engendrerait H : contradiction.

Cordialement.

[fderwelt]

Bonjour,

...et puis, plus simplement, se rappeler ce qu'est naïvement un isomorphisme: ce n'est que le "renommage" des éléments du groupe...

-- françois

[christophe_de_Berlin]

bon ben merci, donc ma méthode marche. Ce qui m´intéresserait, serait évidement de l´appliquer à un groupe d´ordre important.

Par contre Martini_bird, j´avoue que je n´ai pas compris ta méthode, car je ne sais pas d´où tu sors ce X^4 = -1.
Pour tout avouer, je ne sais pas ce qu´est un résidu quadratique...

[martini_bird]

Re,

bon c'est pas très grave, mais l'idée et que si x engendre G, il existe une puissance k de x telle que . Comme -1 est d'ordre 2, k=4.

-1 est un résidu quadratique modulo 15 veut dire que -1 est un carré mod 15, et le symbole de Legendre-Jacobi permet de voir assez facilement si -1 est un carré.

Sur google tu n'auras pas de mal à te renseigner en tapant "résidus quadratiques" ou "loi de réciprocité quadratique".

Cordialement.

[christophe_de_Berlin]

oui, merci, je vais de ce pas voir ce que sont ces résidus quadratiques.

[slimath]

concernant la question sur le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ noté (Z/nZ)*
Z/15Z n'est pas cyclique comme vs l'avez dit
mais il y a une méthode générale pr le savoir:
seuls les groupes de (Z/nZ)* pour n=2;4;2p^s;p^s pour p premier & s>=1 sont cycliques.
15 ne peut etre de l'une des ces formes donc le groupe des inversibles
de Z/15Z i.e(Z/15Z)* n'est pas cycliques
pour vérifier essayez qques exemples
pour la démonstr je vs donne la prochaine fois le nom du livre où vs la trouverez!
maintenant je l'ai pas en tête!
N.B: c'est n [l'ordre de (Z/nZ,+)]qui doit vérifier cette forme et non pas le nombre des inversibles bien qu'on soit en train d'étudier le groupe multiplicatif des inversibles [(Z/nZ)*;x]

[slimath]

errata
3me ligne lire cyclique au lieu de inversible

[slimath]

concernant la question sur le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ noté (Z/nZ)*
Z/15Z n'est pas inversible comme vs l'avez dit
mais il y a une méthode générale pr le savoir:
seuls les groupes de (Z/nZ)* pour n=2;4;2p^s;p^s pour p premier & s>=1 sont cycliques.
15 ne peut etre de l'une des ces formes donc le groupe des inversibles
de Z/15Z i.e(Z/15Z)* n'est pas cycliques
pour vérifier essayez qques exemples
pour la démonstr je vs donne la prochaine fois le nom du livre où vs la trouverez!
maintenant je l'ai pas en tête!
N.B: c'est n [l'ordre de (Z/nZ,+)]qui doit vérifier cette forme et non pas le nombre des inversibles bien qu'on soit en train d'étudier le groupe multiplicatif des inversibles [(Z/nZ)*;x]