Dérivée de la fonction exp

[invitee520f70a]

je n ai pas de definition a MOI
les definitions sont a ceux qui les ont inventes curieux
personnellementj utilise le lien avec ln
ma demo se trouve plus haut dans la page 1
coincoin m a dit qu elle n etait pas acceptable mais je ne sais tjrs pas pourquoi
j ai demande une explication mais personne ne m en a donne
tjrs est il, curieux, que votre demo a base de DES part du resultat qui est de trouver que y'=y
l interet de cette demo est de trouver les elements de la DES et non pas de demontrer que y'=y
si qq peut m expliquer ou se trouve l erreur dans ma demo ce serait gentil
ciao
-----

[Coincoin]

Ta démo n'était pas acceptable pour moi car tu utilisais une égalité que j'aurais démontré en utilisant la dérivée de exponentielle... mais étant donné que, comme tu l'as fait remarqué, ça peut aussi se montrer par un DL, ça passe. Mais bon, quite à utiliser un DL, autant faire toute la démo avec des dévellopements en séries entières.

Pour savoir si une démo est juste ou pas, il faut d'abord savoir ce qu'on veut montrer:
1) Soit on définit exp comme la fonction réciproque de ln, et alors on obtient directement exp'=exp par dérivation d'une fonction composée...
2) Soit on définit exp par son DES, et dans ce cas, il n'est pas bien difficile de montrer que exp'=exp
3) Soit on définit exp comme la solution de l'équation différentielle y'=y (qui vaut 1 en 0) et alors on a supposé le résultat, donc il ne reste plus grand chose à montrer, mis à part peut-être les termes de son DES...

[invitee520f70a]

je suis d accord avec toi coincoin
le seul truc c que je ne cherchait pas a demontrer que exp'=exp mais (exp(h)-1)/h->1
tjrs est il que tes remarques restent valables
etant donne que mes dernieres decompositions en DES datent d il y a longtemps pourrait tu me rappeler comment on trouve le DES de exp
merci d avance

[Coincoin]

Le développement en série entière a les mêmes termes que le développement de Taylor: f⁽ⁿ⁾(x)/n!

[invitee520f70a]

oui mais la c comme si tu connaissais la derivee nieme de exp et donc exp'

[Coincoin]

Si tu regardes mon message n°32, quelle hypothèse tu prends ?
Soit tu connais toutes les dérivées de exponentielle et tu cherches à trouver son DES, soit tu as pris l'hypothèse n°2, et tu connais par définition son DES...

[invitee520f70a]

d accord d accord j arrete de chipoter

[Coincoin]

Faut pas... En maths, c'est grâce aux gens qui chipotent que les démonstrations deviennent parfaites

[invitee520f70a]

je suis d accord avec toi
merci en tout cas pour tes explications
ciao

[invite9e95248d]

y a deux trois trucs qui me gènent dans ce que tu dis dupo

1) si on trouve un DES qui ne diverge pas ,alors, il est égale à une série de taylor.

avec un DES est forcément convergent sinon s'en est pas un

2) si on trouve que la série de taylor converge, alors on a trouvé un DES.

taylor ce sont des developements limités jusqu'a un certains ordre, et en plus c'est locale, donc y a aucune chance que ça te donne le DES.

[Quinto]

Ce qu'il appelle série de taylor, c'est la série de terme général
un=f^(n)(0)x^n/n!

[invite9e95248d]

oui enfin cette série n'existe que si f est C infini

[invite143758ee]

un DES est forcément convergent sinon s'en est pas un

ah, c'était pour insister sur le fait qu'il ne suffit pas d'avoir une série avec une bonne tête,mais qu'il faut montrer que ça converge.
mais tu as raison.

[Quinto]

Attention cependant Folky, tu as raison, je tiens juste à souligner que c'est une condition nécessaire et non suffisante (dans R) car il ne faut pas apporter de confusion.

C'est un peu l'inverse des DL
un DL d'ordre n n'implique pas que la fonction soit Cn alors qu'une fonction Cn implique l'existence d'un DL d'ordre au moins n.

Là c'est un peu l'inverse, une fonction développable en série entière est forcément Cinfini, mais une fonction Cinfini n'est pas forcément développable en série entière, la preuve en est l'exemple archi connu que je donne ci dessus...

[invite980a875f]

Salut,
est-ce qu'on ne peut pas définir la fonction exp comme exp(x)=e^x?

Au fait, est-ce que DSE signifie bien développement en série entière?

[invite9e95248d]

oui pour DES
et oui pour ta définition si tu dis ce qu'est "e" ^^

[Coincoin]

e peut être défini à partir de la fonction ln...

[Quinto]

Historiquement e c'est la limite de (1+1/n)^n

Cependant comment définir e^x?

lorsque x est entier ca va, lorsqu'il est rationnel passe encore, mais sinon?

Sans oublier que e est transcendant et donc entre autre irrationnel...

[Coincoin]

Ca n'est pas encore trop génant... Il suffit à mon avis de définir x comme une limite de rationnels (pour x réel bien sûr)

[invite9e95248d]

oui c'est comme ça que ça se fait
On prouve les propriétés de e(x) sur Q et apres par densité on obtient le résultat sur R

[Quinto]

oui mais c'est pas un peu génant de définir la puissance d'un nombre irrationnel ....

[invite9e95248d]

en meme temps ça marche tellement bien ^^