Les forces internes dans le principe des travaux virtuels ?

[justine&coria]

Bonjour à tous,

Le Principe des Travaux Virtuels (cas statique du Principe de d'Alembert) dit que le travail virtuel élémentaire d'un système de N particules à l'équilibre soumis à des contraintes holonômes est nul :
.

Mais voilà, en revoyant la "démonstration" (je met démonstration entre guillemets, puisque c'est un principe), j'ai un problème avec les forces internes du système.

Je m'explique : Les particules sont à l'équilibre, donc la somme des forces qui s'exercent sur est nulle, c'est-à-dire :
.

Pour avoir le travail virtuel élémentaire d'une particule, on "fait le produit scalaire" de l'égalité précédente par le déplacement virtuel .
Et donc, je comprends pourquoi les forces de liaisons disparaissent. (c'est d'ailleurs, la raison pour laquelle on introduit cette notion de travail virtuel : c'est pour s'en affranchir).

Mais quand je fais le calcul pour obtenir le travail virtuel du système entier (qui est la somme de celui des particules), je n'arrive pas à éliminer les forces internes du système .

Je me souviens vaguement que mon prof disait que les forces internes s'annulaient 2 à 2 par le principe des actions réciproques, mais j'arrive pas à justement faire apparaître les forces internes opposées pour les annuler.

Donc, si quelqu'un pouvait m'aider à y voir plus clair, je suis preneur.

Merci d'avance.
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[zoup1]

Tu cherches à calculer

or i et j sont des indices qui décrivent simplement tous les couples de partenaires possibles.
Si au lieu de faire i,j tu fais j,i cela revient à parcourir les couples dans un ordre différent...
donc
or comme ce sont des forces internes (principe action-réaction)

du coup on a

ou encore donc a=0 et du coup la somme des forces internes est nulle.

[justine&coria]

Je me suis peut-être mal exprimé, parce que ce n'est pas la somme des forces internes que je cherche.

Je reprend : On a l'égalité suivante :
.

Le travail virtuel des forces de liaison étant nul, le travail virtuel de la particule est donc :



Et donc en sommant le travail de chacune des N particules du système, on devrait tomber sur le principe des travaux virtuels :


Mais voilà, pour arriver à cette expression, il faut que .

Et j'arrive pas à le démontrer. Je pense pas que ce soit un calcul mathématique qui le démontre (parce que ce n'est pas vrai si les sont totalement quelconques), mais plutôt une considération physique, et j'arrive pas à voir laquelle.