signature d'espace-temps

[gatsu]

bonjour,

quelqu'un pourrait il m'expliquer quelle est la difference entre la signature (+---) et (-+++) en mecanique relativiste svp.
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[Gaétan]

Je me suis déjà posé la question aussi.

[gatsu]

en fait je ne comprend pas comment la signature (-+++) peut exprimer une metrique .En effet, mathematiquement parlant, une metrique est definie positive ,or , si on veut exprimer le lien de cause à effet entre deux evenements avec la metrique dont la signature est (-+++), l'intervalle(forme quadratique de signature (-+++)) sera negatif ...et donc cette metrique n'en sera plus une ...donc je ne comprend pas comment on l'utilise..

merci de vos reponses

[Rincevent]

une metrique est definie positive

pour un espace Euclidien. L'espace-temps est minkowskien. D'ailleurs, la deuxième métrique dont tu parles n'est pas non plus définie positive...

si on veut exprimer le lien de cause à effet entre deux evenements avec la metrique dont la signature est (-+++), l'intervalle(forme quadratique de signature (-+++)) sera negatif ...

donc tu poses par définiton:

d(tau)² = - ds²

et donc cette metrique n'en sera plus une ...

pour être définie positive, une métrique doit l'être quelque soit l'intervalle infinitésimal. Donc (+---) n'est pas définie positive non-plus. Elle te semble l'être uniquement si tu regardes sa restriction 3D.

et c'est justement là la source de l'existence de ces deux conventions.

en clair, l'important est juste que la signature de la métrique soit conservée par le groupe de Lorentz (Poincaré pour les puristes). C'est ça la condition nécessaire et suffisante pour respecter la causalité. Et tu as deux possibilités pour le faire: les deux que tu as données. C'est pareil si tu regardes le groupe des rotations S0(3): il laisse invariante la métrique usuelle pour l'espace euclidien, mais il laisse également invariante celle qui serait (---). On préfère la première car elle correspond directement à un ds² = dl² et pas à ds² = - dl².

en relativité, c'est pareil: tu as un truc à conserver, et tu as deux possibilités. Après, on choisit l'une ou l'autre par "préférence" ou simplicité. Et justement, cela repose pas mal sur ce qui est "directement mis en évidence" par ton choix.

Ainsi, la tendance est (en fait je crois que ce que je vais dire est juste un modèle de "champ moyen" ) que les gens de physique des particules "préfèrent" aussi celle que tu aimes bien: ils travaillent plus souvent avec des trucs qui ont lieu au même endroit mais à des temps différents d'où un ds² = dt² direct avec ce choix.

Alors que les gens (dits parfois "géomètres") qui font de la relativité et cherchent par exemple à décrire l'espace-temps dans des situations stationnaires, préfèrent l'autre choix car ils ont ainsi directement un ds² = dl².

en fait, pour ce que j'en ai vu en relativité générale (où on ne se place pas que dans des cas stationnaires), tu rencontres les deux... avec en plus des complications de signes liées aux diverses conventions possibles dans les définitions des tenseur de Riemann, de Ricci, etc...

bref, tu es pas au bout de tes peines...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

merci pour cette reponse extremement interessante!!mais j'avoue que je m'y perds un peu.En effet, l'espace-temps de minkowsky est il un espace metrique? par ce que sur un cours de maths (dans le lien suivant : http://www.les-mathematiques.net/a/m/m/node3.php3) il est dit qu'une application d : X² -> R+ est une metrique si elle est symetrique et si d(u,v)=0 <=> u=v la metrique est donc seulement positive et non definie positive(je m'etais trompé avec la norme dans un espace euclidien je le reconnais ^^).
Mais par contre cela precise que la metrique est forcement positive ,or, comme tu l'as precisé [rincevent] pour la signature (+---) l'intervalle est negatif si il n'y a pas de lien de causalité et pour la signature (-+++) l'intervalle est negatif si il y a un lien de causalité ... donc dans ces deux cas ce ne sont pas des metriques alors?
En fait je veux juste comprendre quel type d'espace mathematique est l'espace de minkowsky dans lequel l'intervalle entre deux evenements peut etre negatif.

[Rincevent]

en fait, y'a deux façons de voir, et je connais pas l'officielle (j'suis pas sûr qu'il y en ait une officielle de toutes façons).

1ère façon: ce que tu dis (et que le site que tu indiques dit) est juste et j'ai fait un abus de langage : ainsi on devrait parler de pseudo-métrique dont la définition est:

si E est ton espace, une pseudo-métrique est une 2-forme bilinéaire symétrique (une application de ExE dans R) telle que

g(u,v)=0 quelque soit v SSI u=0

les métriques sont donc un cas particulier des pseudo-métriques: celles qui sont définies positives. D'où la

2ème façon:

ce dont je viens de donner la définition n'est pas une pseudo-métrique mais bel et bien une métrique, simplement quand elle n'a que des valeurs propres positives (c'est-à-dire quand elle est euclidienne) on parle de "métrique euclidienne" alors que si ce n'est pas le cas (comme chez Minkowski) on parle de "métrique pseudo-euclidienne" (ou riemannienne si on se place dans le cas de variétés et non plus simplement d'espaces vectoriels).


c'est-à-dire que normalement il y a un "pseudo" à glisser dans un coin (et les gens courageux qui ont pas peur de dire des trucs longs le font parfois ), et encore une fois c'est avant tout une convention de le mettre avant ou après le mot métrique...

[gatsu]

merci beaucoup pour ces précisions!!