Mouvement des astres dans un système solaire

Nanar Duff · 27/12/2006 - 11h46

Bonjour,

J'essaye de comprendre comment prédire le déplacement des planètes et de leurs satellites dans un système solaire, c'est à dire a calculer l'orbite de ces astres en ayant leur vitesse et leur position d'origine.

Pour comprendre la chose, j'ai fait l'énoncé suivant:

Soit 5 objets: un soleil $O$ (de masse $M_o$ ) supposé immobile, 2 planètes $P_1$ (de masse $M_{p1}$ ) et $P_2$ (de masse $M_{p2}$ ) ayant respectivement chacune un satellite $S_1$ (de masse $M_{s1}$ ) et $S_2$ (de masse $M_{s2}$ ).

On connait l'emplacement à un temps $t_0$ des ces 5 objets. et la vitesse au même temps $t_0$ de $P_2$ nommée $\vec{v}$ . La vitesse a un temps $t_1=t_0+\Delta t$ de $P_2$ est $\vec{v'}=\vec{v}+\Delta\vec{v}$ .

De plus, la distance entre S2 et P2 est représenté par le vecteur $\vec{d_{sp2}}$ , la distance entre P1 et P2 par le vecteur $\vec{d_p_p}$ , la distance entre S1 et P2 par le vecteur $\vec{d_s_1_p_2}$ , et la distance entre O et P2 par le vecteur $\vec{d_o_p_2}$

Ainsi on a donc:

$\vec{\Sigma_{ext~sur~P2}}=\vec {F_{S2/P2}}+\vec{F_{P1/P2}}+\vec{F_{S1/P2}}+\vec{F_{O/P2}}$

$\vec{\Sigma_{ext~sur~P2}}=\vec {G}\left(\frac{M_S_2M_P_2}{ \vec{ d_{sp2}}^2}+\frac{M_P_1M_P_2}{ \vec {d_{pp}}^2}+\frac{M_S_1M_P_2}{ \vec {d_{s1p2}}^2}+\frac{M_S_1M_P_2 }{ \vec {d_{op2}}^2}\right)$

De plus, selon la seconde loi de newton on a:

$\vec{\Sigma_{ext~sur~P2}}=M_{p 2}\times\vec{a}=M_{p2}\frac{ \Delta\vec{v}}{\Delta t}$

Ainsi, on a:

$\vec{\Sigma_{ext~sur~P2}}=M_{p 2}\frac{ \Delta\vec{v}}{\Delta t}=\vec{G}\left(\frac{M_S_2M_P _2}{\vec{d_{sp2}}^2}+\frac{M_P _1M_P_2}{\vec{d_{pp}}^2}+\frac {M_S_1M_P_2}{\vec{d_{s1p2}}^2} +\frac{M_S_1M_P_2}{\vec{d_{op2 }}^2} \right)$

$\frac{ \Delta\vec{v}}{\Delta t}=\vec{G}\left(\frac{M_S_2}{ \vec{ d_{sp2}}^2}+\frac{M_P_1}{\vec{ d_{pp}}^2}+\frac{M_S_1}{\vec{d _{s1p2}}^2}+\frac{M_S_1}{\vec{ d_{op2}}^2}\right)$

$\vec{v'}=\vec{G}\Delta t\left(\frac{M_S_2}{\vec{d_{sp 2} } ^2} +\frac{M_P_1}{ \vec{ d_{pp}}^2}+\frac{M_S_1}{\vec{d _{s1p2}}^2}+\frac{M_S_1}{ \vec{ d_{op2}}^2}\right)+ \vec {v}$

De plus, soit un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ . Les 5 objets ont les coordonnées suivantes:

$O(0;0)$
$P_1(x_{p1};y_{p1})$
$S1(x_{s1};y_{s1})$
$P2(x_{p2};y_{p2})$
$S2(x_{s2};y_{s2})$

On a donc:

$\vec{d_{sp2}}(x_{p2}-x_{s2};y_{p2}-y_{s2})$
$\vec{d_{pp}}(x_{p2}-x_{p1};y_{p2}-y_{p1})$
$\vec{d_{s1p2}}(x_{p2}-x_{s1};y_{p2}-y_{s1})$
$\vec{d_{op2}}(x_{p2};y_{p2})$

Et on pose que $\vec{v}(w;z)$ et que $\vec{v'}(w';z')$

Projection sur (Oi):

$w'=G\Delta t\left(\frac{M_S_2}{ (x_{p2}-x_{s2})^2}+\frac{M_P_1}{(x_{p2 }-x_{p1})^2}+\frac{M_S_1}{(x_{p2 }-x_{s1})^2}+\frac{M_S_1}{x_{p2} ^2} \right)+w$

Projection sur (Oj):

$z'=G\Delta t\left(\frac{M_S_2}{ (y_{p2}-y_{s2})^2}+\frac{M_P_1}{(y_{p2 }-y_{p1})^2}+\frac{M_S_1}{(y_{p2 }-y_{s1})^2}+\frac{M_S_1}{y_{p2} ^2} \right)+z$

Est-ce que ma méthode pour calculer la nouvelle vitesse d'un astre est correct svp ?

Merci d'avance.

Nanar Duff · 28/12/2006 - 09h36

Bonjour,

je me suis aperçu qu'il y avait un forum "Astronomie & Astrophysique": devrai-je poster ma question plutôt dans ce forum ou pas svp ?

zoup1 · 28/12/2006 - 10h33

Argh !!! Quand on fait citer, cela ne reprends pas les informations qui sont déjà quotées, du coup, cela va rendre ma réponse plus délicate.

Plusieurs remarques :
Je pense que tu te poses cette question pour faire une simulation numérique. C'est en ce sens que je vais répondre à ta question. Je vais commencer par des remarques d'ordre général puis après je ferais des remarques plus précises sur ce que tu as fait.

1) Remarques d'ordre général.
a) Tu es en train de faire une intégration des équations différentielles avec un algorithmes du types méthode d'Euler. Cette méthode d'intégration est bien car intuitive mais est extrèmement imprécise. Il vaut mieux aller voir du coté de méthode d'intégration du type Runge-Kutta d'ordre 4 qui repose sur un développement limité à l'ordre 4 et non pas à l'ordre 1 comme pour Euleur. C'est un peu plus difficile à mettre en oeuvre mais cela en vaut la peine.
b) Pour commencer tu aurais intérêt à commencer par un problème où tu auras simplement un soleil fixe et une planète qui tourne autour. Cela te permettra de mettre en place les choses correctement et de tester éventuellement différentes méthodes d'intégration en commencant par Euler puis en passant par Runge-Kutta. Il sera toujours temps de complexifier pour ajouter d'autres planètes et d'autres satellites.
c) Cela ne présente un intérêt de faire la distinction entre les planètes et les satellites que si tu en tiens compte pour faire ton calcul. Le problème du calcul numérique ce sont les erreurs numériques. Celles ci arrivent en particulier lorsque l'on est amené à faire la différence entre grands nombres lorsque cette différence se révèle être petite. Pour éviter cela, il est interessant de prendre le point de vue le plus interessant, c'est à dire se placer dans le référentiel le plus adapté. En pratique cela veut dire que pour un satellite donné, tu as interêt à te placer dans un référentiel lié à la planète autour de laquelle il tourne l'influence des autres objets apparaissant alors comme des perturbations par rapport à l'effet principal qui provient de la planète. On peut trouver une généralisation de cela à travers ce qu'il est convenu d'appeler les "region of influence" ou encore sphère de Hill http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere .
Cela fait partie des raffinements que tu pourras apporter à ton modèle quand il sera déjà assez bien au point sans cela.
d) Il faut faire attention aussi au fait que les échelles de temps ne sont pas les même pour les planètes et pour les satellites... Du coup il faudra discuter du pas de temps à utiliser.

2) remarques particulières
a) Lorsque tu introduit ton G, cela ne présente absolument aucun intérêt. G tel que tu l'as écrit n'est pas un vecteur unitaire... ce qui est derrière n'est pas la norme de ce qu'il y avait avant... bref tu peux toujours introduire quelque chose comme G mais tel que tu le fais cela n'a aucun sens.
b) A la fin, lorsque tu projettes sur Oi et Oj, il faut aussi projetter ton vecteur G.

PS : Le but de ce long message n'est pas de te décourager mais bien au contraire de t'inciter à partir dans une bonne voie en commencant par des choses simples et en complexifiant au fur et à mesure.
1ère étape : une planète autour d'un soleil méthode d'Euler
2ème étape : même chose avec la méthode de Runge Kutta
3ème étape : 1 planète + un satellite
...