Dimensions Physiques et couleurs

[pi-r2]

Bonjour,
les matheux connaissent sans doute le théorème qui dit que dans le plan, pour colorier un découpage en parties de formes quelconque de manière que 2 parties qui se touchent ne sont jamais de même couleur seulement 4 couleurs sont nécessaires et suffisantes ?

Plus facile, en une dimension, sur la droite 2 couleurs suffisent.
Sur le cercle il en faut au moins 3.

Sur la sphère ? je dirais 5 ou 6. (y a t-il une démonstration à ce sujet ?)



Et maintenant en 3 dimensions ?



La réponse est surprenant vis à vis de l'image "espace vectoriel" que l'on a des dimensions...
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[btve]

Pour la sphère je dirai 4 car on peu l'assimiler (en terme de coloriage de surface) à un plan infini (ou fini sans bord si vous préférez).

Pour le reste je ne sais pas. Mais ce que j'aimerai voir c'est la démonstartion du théomrème.

[pi-r2]

Pour la sphère c'est plus que 4 par analogie avec le cercle vs la droite (on dispose d'un moyen supplémentaire de faire en sorte que 2 régions se touchent). La démonstration des 4 couleurs pour le plan se fait en partie par algorithmique je crois, masi je vais chercher les référence.
Ce qui est plus perturbant et plus lié à la physique c'est le résultat en 3 dimensions ...

Alors personne n'essaye ?

[btve]

je pense que c'est plus de 4 genre 5, 6 ou 8 mais je n'en suis pas dutout sur

[A voir en vidéo sur Futura]

[pi-r2]

Chic une réponse.
Je commençais à croire que ça n'intéressait personne.
ce n'est pas la bonne réponse pour 3 dimensions.
La réponse est très surprenante (enfin pour moi)

Je ré-écris autrement. Si ont appelle F la fonction qui à chaque espace de dimension n associe le nombre minimal de couleur nécessaire pour colorier dans tous les cas de figure les partitions de cet espace en parties de même dimensions de manière à ce que 2 parties qui se touchent n'ont pas la même couleur.
Nous avons donc:
F(1)=2 (démonstration évidente)
F(2)=4 (démonstration pas facile)
F(3)= ???

[btve]

par pure induction : 9 ?

[pi-r2]

C'est plus

[invite42d0c639]

Par induction aussi, j'essaie avec 16

[btve]

Moi 12 par induction aussi

[pi-r2]

C'est toujours plus.

Indice supplémentaire: La démonstration est beaucoup plus facile qu'en 2 dimensions.

[invite51f4efbf]

La réponse est surprenant vis à vis de l'image "espace vectoriel" que l'on a des dimensions...

Oui, mais plus si l'on parle de dimension topologique (l'argument est combinatoire, et la manière de recouvrir un espace pour en définir sa dimension également - en fait les deux questions se ressemblent étrangement).

C'est une question qui a plus sa place sur le forum maths non ?

[pi-r2]

La Question a plus sa place dans le forum math, mais la réponse a plus sa place dans le forum de physique ou de philosophie. D'où mon choix...

[spi100]

Pour la sphère je dirai 4 car on peu l'assimiler (en terme de coloriage de surface) à un plan infini (ou fini sans bord si vous préférez).

Je crois que btve a raison. On peut projeter le plan sur une sphère par la construction de Rieman (sphère de Rieman compactifiée).

[pi-r2]

J'ai oublié de préciser qu'il fallait se toucher par un bord, pas un sommet, mais tout le monde avait compris. :Embarassed:

Pour la sphère, dans la pièce jointe le contre exemple qui permet de voir qu'il faut au moins 5 couleurs. Les zones B et C font le tour de la sphère qui confère une propriété que le plan (et le cylindre) n(ont pas. Ainsi chaque zone touche les 4 autres. Les quartiers eux ne touchent que 3 zones et peuvent donc être coloriés par une couleur déjà utilisée.

[invite73192618]

C'est toujours plus.

Une infinité?

[invite73192618]

Une infinité!

Démo: on découpe l'espace en tranche 2D, auxquelles on joint un puit selon la troisième dimensions. Le puit contacte chaque tranche, et donc chaque tranche doit être de couleur différente. Comme on peut mettre autant de couche qu'on veut...

[pi-r2]

) Gagné !!

Démonstration:

prenons n fils, c'est à dire des cylindres flexibles et un peu mous.
Rangeons les de manière bien parallèle entre eux.
Prenons le premier fil et couchons le en diagonale sur les autres: il les touche tous.
Recommençons l'opération avec le second fil. Il touche lui aussi tous les autres.
Et ainsi de suite pour le n fils. On appuie un peu dessus, pour que le contact se fasse bien par une surface. Pour "colorier" cette construction il nous faut n+1 couleur (+1 pour le milieu extérieur qui touche tous les fils). La conclusion s'impose.

Fin de la partie mathématique.

Cette propriété me parait vraiment surprenante. La notion de couleur n'a évidemment rien à voir, on pourrait remplacer par applications à valeur dans N. Il semble donc que l'espace a 3 dimensions a des propriétés transcendantes que les espaces à 1 ou 2 dimensions n'ont pas. Une sorte d'explosion de possibilités.
C'est beaucoup plus simple que la physique quantique ou que la mécanique relativiste. Et pourtant cela donne une piste pour "comprendre" pourquoi notre univers a 3 dimensions physiques.
Cette propriété se traduit en pratique par le fait qu'il n'est pas possible de construire un ordinateur en 2 dimensions, et à fortiori un système cognitif. Le cerveau est structuré à 2 dimensions essentiellement en surface du cortex, mais la troisième est indispensable pour apporter l'énergie aux éléments du réseau sans couper le contact.

Bluffant on ?

[spi100]

) Il semble donc que l'espace a 3 dimensions a des propriétés transcendantes que les espaces à 1 ou 2 dimensions n'ont pas. Une sorte d'explosion de possibilités.
C'est beaucoup plus simple que la physique quantique ou que la mécanique relativiste. Et pourtant cela donne une piste pour "comprendre" pourquoi notre univers a 3 dimensions physiques.

Mais est-ce que ta démonstration tient aussi pour plus de dimensions que 3 ?
Si oui, alors la seule chose que tu peux dire, c'est que ton interprétation permet d'entrevoir pour 1, ou 2 dimensions sont insuffisantes.

[pi-r2]

J'ai un peu de mal de voir en 4D, surtout que là l'image espace vectoriel ne sert à rien. Mais il me parait probable qu'il en faut plus en 4D qu'en 3D. Ceci dit des hyperparallépipèdes qui se touchent par un volume...

Donc effectivement ça ne permet que d'éliminer 1D et 2D pas d'expliquer pourquoi on a que 3D et pas plus. Un loi de l'effort minimal ? Du genre le premier qui marche ...

[invite73192618]

Mais est-ce que ta démonstration tient aussi pour plus de dimensions que 3 ?

Nécessairement oui puisque la partie 3D permet déjà le contact. Par contre qu'est-ce qui se passe si on impose un autre type de contact qu'un segment?

[invite51f4efbf]

Je crois que btve a raison. On peut projeter le plan sur une sphère par la construction de Rieman (sphère de Rieman compactifiée).

Oui, mais justement, la compacité peut changer la donne, non ?

[pi-r2]

Nécessairement oui puisque la partie 3D permet déjà le contact. Par contre qu'est-ce qui se passe si on impose un autre type de contact qu'un segment?

NOn, le contact imposé est de dimension n-1, n étant la dimension de l'espace. sinon c'est pas drôle.
Dans le plan, si on compte les surfaces qui se touchent par un point, il faut aussi une infinité de couleurs.
Donc en dimension 1 les morceaux se touchent en un point.
en dimension 2 les morceaux se touchent en un segment ou une portion de courbe.
en dimension 3 les morceaux se touchent en une surface.
en dimension 4 les morceaux se touchent en un volume.

[invite73192618]

NOn, le contact imposé est de dimension n-1, n étant la dimension de l'espace. sinon c'est pas drôle.
Dans le plan, si on compte les surfaces qui se touchent par un point, il faut aussi une infinité de couleurs.
Donc en dimension 1 les morceaux se touchent en un point.
en dimension 2 les morceaux se touchent en un segment ou une portion de courbe.
en dimension 3 les morceaux se touchent en une surface.
en dimension 4 les morceaux se touchent en un volume.

Dans ce cas je retire mon "oui" à la question précédente et je le remplace par "pt'être"! A vos neurones..

[doryphore]

J'ai rêvé ou j'ai lu un jour un article qui disait que même en dimension 2, il fallait une infinité de couleurs si on s'amusait à délimiter les régions d'une certaine façon avec un contour fractal.

[doryphore]

Non, je n'ai pas rêver.
Si, on ne précise pas que les longueurs des contours sont finis, on peut pour un nombre entier positif N quelconque s'arranger pour trouver une figure qui nécessite l'utilisation de N couleurs.
cf: Pour la Science n° 303.

[pi-r2]

Ah oui, Doryphore, bien vu effectivement. Mon énoncé était incomplet, il faut rester dans le domaine 'classique'. Il me parait clair que si on s'autorise les fractales, le résultat change.
Cela ouvre d'ailleurs une réflexion intéressante sur la complexité (Fractale = dimension en plus ).
Bon ce n'est pas encore clair dans mon petit cerveau, je laisse murir.

[invite6f044255]

Salut,

je comprends pas le théorème pour le plan....

Je pense pouvoir te sortir un découpage bizarre du plan, et ben j'ai quand même drôlement l'impression qu'il te faudra plus que 4 couleurs....ou alors tu es très fort (ce dont je ne doute point )!!

Ou alors la notion de "découpage" a un sens qui m'est caché?

[DonPanic]

Salut,
je comprends pas le théorème pour le plan....
Ou alors la notion de "découpage" a un sens qui m'est caché?

Tu as là un graphe où sont résumés tous les cas de frontières d'une carte et la solution de coloriage
PB très important en cartographie

[pi-r2]

Vas y Ixi, dessine le. Il suffit d'un exemple pour invalider le théorème.
Attention il faut respecter les règles: pas de fractales et les portions qui se touchent seulement par un sommet peuvent être de la même couleur.