integrale de chemin

[samira_pg]

bon soir
en mecanique quantique
quand une particule passe d'un point A à un pt B elle emprunte tout les chemins possibles entre ces deux points , pouvez vous m'éclairer sur ce point
-----

[Karibou Blanc]

Il faut interpréter la chose en terme de probabilité.

Il y a une certaine (amplitude de) probabilité pour que la particule partant de A arrive en B au bout d'un temps t. L'idée de Feynman a consisté à dire que cette (amplitude de) probabilité était la somme des (amplitudes de) probabilités individuelles pour tout les chemins possibles passant entre A et B et ceux avec la meme amplitude ! La seule chose qui distingue un chemin d'un autre et la phase de l'amplitude de probabilité associée à chaque chemin.

En gros ca s'écrit :



avec le meme N pour chaque chemin ! et S etant l'action classique associé à un chemin k. L'idée est que tout les chemins contribue avec le meme poids (ca parait dingue mais ca marche) mais avec une phase différente.
(attention cette egalité est simplement formelle, il est difficile d'y donner un sens mathematique rigoureux, mais les physiciens ont su lui donné une interpretation physique précise et on trouvé des moyens des astuces pour calculer cette somme)

Le résultat est que toutes ces phases interférent entre elles pour redonnée la fonction d'onde usuelle qui obéit à l'équation de Schrodinder !

[samira_pg]

salut
d'accord mais pourquoi tout ces calcul pour avoir la même fonction d'onde usuelle
merci d'avance

[Coincoin]

Salut,
C'est une autre interprétation équivalente de la mécanique quantique, qui se révèle plus féconde par certains aspects (notamment en théorie quantique des champs).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa5fd80c]

Salut,

Une application intéressante de cette formulation en termes d'intégrales de chemin est qu'elle permet de prévoir et de rendre compte très simplement de l'effet Aharonov-Bohm.

[samira_pg]

c'est quoi l'effet Aharonov-Bohm

[invite8ef897e4]

Sans aller plus loin, il faut remarquer une chose tres importante : l'action dans l'argument de l'expontentielle est une action classique. Vous voyez le lien immediat
MQ <-> MC

[Karibou Blanc]

Et pour aller encore plus loin lorsque l'on fait tendre h vers zero dans l'expression que j'ai écrite dans mon précédent post, on remarque le chemin qui contribue le plus (et de loin) est celui qui correspond à la trajectoire classique, cad celle qui satisfait l'équation du mouvement (la loi de Newton quoi grosso modo) !!

[samira_pg]

voulez vous etre plus precis

[Karibou Blanc]

Ce que je veux dire ce que la somme sur les chemins que j'avais écrite peut se réduire en première approximation (lorsque h tend vers zero) au chemin déterminé par la mécanique classique, cad celui qu'on obtient lorsqu'on intègre l'équation de Newton.

[Coincoin]

samira_pg, connais-tu le principe de moindre action ?

[samira_pg]

bon jour
oui , je le connait
ce que je veut dire pourquoi chercher des chemins puisqu'on parle de probabilité de presence

[mariposa]

bon jour
oui , je le connait
ce que je veut dire pourquoi chercher des chemins puisqu'on parle de probabilité de presence

.
Bonjour,

Le problème n'est pas de chercher des chemins mais de calculer l'amplitude de probabilité d'être dans un état |a> à l'instant t2 sachant que l'on est dans un état |b> à l'instant t1.
.
Cette amplitude de probabilité est une somme d'amplitude partielle de probabilité. Chaque amplitude est associée à un chemin.

[invite8ef897e4]

Bonjour,

je voudrais ajouter au message precedent, qu'il me semble qu'il ne faut pas attribuer de realite a ces "amplitudes partielles". Le calcul est tres elegant, il procede par une sorte de "principe democratique" comme Feynman disait, mais ultimement je ne crois pas que l'on puisse repondre aux questions philosophiques associees a ce "principe democratique" des amplitudes partielles...

[Ludwig]

bon soir
en mecanique quantique
quand une particule passe d'un point A à un pt B elle emprunte tout les chemins possibles entre ces deux points , pouvez vous m'éclairer sur ce point

Bonjour,

Dans l'hypothèse ou l'on peut parler de chemins possibles pour une particule allant de a vers b, il me semble que le principe de moinde action doit en toute rigeur jouer un rôle important. De ce fait la propagation ou autrement dit le chemin de propagation ou de difusion si on peut dire ? me semblerai justement imposé par le principe de moindre action. En quelque sorte une géodésique, imposée par le niveau énergétique de l'environnement de la particule.
Il est évident que ce point de vue n'est que spéculation de ma part. Je n'ai auccune idée de ce que ça vaut.

Cordialement

Ludwig

[gatsu]

Bonjour,

Dans l'hypothèse ou l'on peut parler de chemins possibles pour une particule allant de a vers b, il me semble que le principe de moinde action doit en toute rigeur jouer un rôle important. De ce fait la propagation ou autrement dit le chemin de propagation ou de difusion si on peut dire ? me semblerai justement imposé par le principe de moindre action. En quelque sorte une géodésique, imposée par le niveau énergétique de l'environnement de la particule.
Il est évident que ce point de vue n'est que spéculation de ma part. Je n'ai auccune idée de ce que ça vaut.

Cordialement

Ludwig

Ok mais il est clair que la question posée samira_pg est en rapport avec la formulation de la MQ par intégrale de chemin de la MQ. Comme il a été dit précedemment le principe de moindre action est un principe classique qui se retrouve à partir de l'intégrale de chemin de la MQ lorsque la constante de Planck tend vers zero (ou plutot quand l'action est grande devant hbarre) dans ce cas, on peut appliquer la méthode du col à l'integrale de chemin et la condition de phase stationnaire qui y est directement associée conduit au principe d'action extremum.
Typiquement en faisant une analogie statistique autorisée par le formalisme disons, la mecanique classique correspond à une théorie de champ moyen de la MQ, c'est à dire que l'on regarde les quantités moyennes qui nous interesse et on confond sciemment valeur moyenne et valeur la plus probable....bon cette "interpretation" vaut ce qu'elle vaut ...

[invite1ca29397]

Mais il y a un probleme
ce que l'integrale de chemin ( Feynman ) diverge

Ne oublie pas qu'il y a un principe qui est tres important en physique , impossible de Touver une sommation infini tout les integrales (sommations) sont fini.
faites bien attention .

[Karibou Blanc]

ce que l'integrale de chemin ( Feynman ) diverge

Exact, et c'est un inifni non trivial. L'autre problème aussi (autant que je me souvienne) c'est que les chemins qui contribuent à l'intégrale sont tous (nul part) non-dérivables ! En gros ce sont tous des chemins "brisés" en tout point.
Mathematiquement je sais que la rigueur de l'intégrale de chemin laisse à désirer (y a-t-il eu des progres de ce coté ?), mais physiquement ca marche incroyablement bien... Ce qui a dérouté pas mal de gens au début.
Par contre l'infinité de l'intégrale de chemin, il se trouve qu'elle peut être "confinée" ou réduite à un simple facteur de normalisation. Si on se limite à une théorie libre, on ne peut se débarasser de cet infini, mais une théorie libre n'est jamais réalisé dans la nature, donc physiquement ce n'est qu'un genre de cas idéal qui sert d'intermédiaire de calcul. Ainsi ce qu'on fait en général lorsqu'on considére une intégrale de chemin pour une théorie en interaction, on normalise par le résultat de l'intégrale par le meme résultat mais dans la théorie libre. Les facteurs de normalisation se compense, et on peut calculer des résultats physiques finis ! (Attention ca n'a rien à voir avec la procédure de renormalisation, c'est autre chose).

KB

[invite1ca29397]

c'est alpha representation algebra ,
une publication de Simrnov octobre 2004 qui a trouvé une solution .
Mr Karibou Blanc et merci pour la remarque