Accélération d'une boule de petanque dans un tuyau

[charlynancy]

Bonjour à tous,
Je découvre votre forum qui est extraordinairement passionnant.
J'ai trés peu de notion de physique, et je dois calculer le phénomène suivant :
autour d'un cylindre de 10 m de diamètre et 10 m de hauteur, on a enroulé un tuyau de haut en bas.
Ainsi, si je met une boule de petanque dans le tuyau (en haut), celle ci va rouler vers le bas.
Mais comment calculer la vitesse de la boule lorsqu'elle arrivera en bas du tuyau?
Paramètres dont je dispose :
Poids de la boule = 800 g
Diametre de la boule 8 cm
diametre interieur du tuyau 9 cm
diametre exterieur du tuyau 10 cm
Parametres que je suppose exactes :
en imprimant une pente de 1% au tuyau on devrait pouvoir réussir à lui faire faire 3 fois le tour du cylindre tous les 1 m de dénivelé.
(Si vous voyez une erreur ci dessus, n'hésitez pas à me coriger)
Donc on devrait arriver à faire 3 X 10 fois le tour du cylindre, soit 300 fois, soit une distance de 300 X 31,4 m (perimetre)
Bref on devrais arriver à 9 420 m.
Si jusque là mon raisonnement n'est pas absurde, comment savoir quelle vitesse va avoir notre boule de petanque à l'arrivée?
Certainement le frottement va devoir être pris en compte, mais je n'en ai aucune notion et si vous pouviez me donner un ordre de grandeur des parametres de resistance, sachant que le tuyau serait metalique.
Pour résumer, j'aimerais obtenir un ordre de grandeur de la vitesse que pourrait prendre cette boule de petanque.
Pour simplifier on pourrait retenir :
une boule de 800 g roulant dans un tuyau en pente de 1 % sur 10 km
En esperant que les calculs ne soient pas trop complexes

[mécano41]

Bonjour,

... En esperant que les calculs ne soient pas trop complexes

Oh ! que si!

Même sans tenir compte des frottements ni de l'effet de "piston" de la boule dans le tube, c'est complexe parce que pendant le déplacement de la boule, le point de contact entre celle-ci et le tube change en fonction de la vitesse de la boule, donc le centre de la boule s'éloigne de l'axe vertical de l'hélice formée par le tube enroulé.

Mais je pense que cela va faire un beau sujet de discussion!

Cordialement

[charlynancy]

Mea Culpa,
j'ai fait de grosses erreurs dans mon ennoncé, je voulais arriver à une distance de 10 km.
Donc avec les parametres suivants :
hauteur du cylindre 50 m et diamètre 20 m, ce qui nous amène à 9 424 m de tuyau.
Mais au vu de la complexité des calculs, il faut rester sur le résumé suivant :
une boule (800g et 8 cm de diametre) dans un tuyau (10 cm de diametre et long de 10 km) avec une pente de 1 %
Ceci dit, je ne voudrais pas vous occuper trop longtemps sur ce sujet et un ordre de grandeur (à 10 % près) serait bien suffisant.
D'autant que je risque de moyer avec des notions trop complexes

[charlynancy]

D'autant que je risque de me noyer avec des notions trop complexes

[cedbont]

Bonjour,
en négligeant tout frottement d'après le théorème de l'énergie cinétique, on doit avoir :
1/2*m_boule*(v_{boule en sortie du tube}² - v_{boule en entrée du tube}²) = m_boule*g*h
Soit avec une vitesse nulle en entrée :
v_{boule en sortie du tube} = (2*g*h)^0.5
v_{boule en sortie du tube} = (2*9.81*50)^0.5
v_{boule en sortie du tube} = 31.3 m/s
Même si tu négliges les frottement solides (métal sur métal), à cette vitesse là tu ne peux plus négliger les frottements de l'air !

[chaverondier]

Bonjour,
en négligeant tout frottement d'après le théorème de l'énergie cinétique, on doit avoir :
1/2*m_boule*(v_{boule en sortie du tube}² - v_{boule en entrée du tube}²) = m_boule*g*h
Soit avec une vitesse nulle en entrée :
v_{boule en sortie du tube} = (2*g*h)^0.5
v_{boule en sortie du tube} = (2*9.81*50)^0.5
v_{boule en sortie du tube} = 31.3 m/s
Même si tu négliges les frottement solides (métal sur métal), à cette vitesse là tu ne peux plus négliger les frottements de l'air !

C'est juste. Par contre, même en négligeant le frottement de l'air, il ne faut pas oublier (dans le calcul ci-dessus) de rajouter l'énergie cinétique de rotation de la boule Ec = (1/2) J oméga^2 (cela diminue la vitesse finale de la boule car une partie de l'énergie potentielle de pesanteur sert à faire tourner la boule).

[cedbont]

Oulala oui ! Donc, on reprend en supposant un roulement sans glissement et une vitesse initiale nulle :

1/2*m_boule*v_boule² + 1/2*J_boule*w_boule² = m_boule*g*h

Ici : w_boule = v_boule/r_boule
Et : J_boule = 2/5*m_boule*r_boule²

On a donc : v_boule = (10/7*g*h)^0.5

v_boule = (10/7*9.81*50)^0.5

v_boule = 26.5 m/s

La différence est assez nette !

[charlynancy]

MERCI pour votre aide.
Si je comprends bien, cette boule sortirais donc à une vitesse inférieure à 112 km /H (312m / s)
Le parametre de l'énergie cinétique de la rotation de la boule est une donnée qui me serait trés trés précieuse.
Autrement dit quel serait la vitesse de rotation de la boule sur elle même.
Naïevement, j'aurais dit que la boule tournait à :
312 m / le diamètre de la boule (0,2512)
soit 1 242 tours par seconde (si on exclut la minoration de l'énergie cinetique de rotation)
On obtiendrait donc une énergie considérable :
même en divisant toutes les valeurs par 2, on obtiendrait à l'arrivée une boule de 800 g propulsée à 50 km/H et tournant sur elle même à 600 tours par seconde.
Pourrait on calculer la distance que parcourait alors cette boule si on prolongeait le tuyau en lui imprimant une pente ascendante de 1 %?
Autrement dit on prolonge l'enroulement du tuyau le long du cylindre en le faisant remonter , cette fois...

[charlynancy]

Oups,
le temps de réflèchir et vous avez déjà fait les calculs.
Donc je résume :
la boule sort à 95, 4 km/H (26.5 m/s)
et tourne sur elle même à 26,5 / 0.2512 (perimetre)
105 tours par seconde sur elle même
Dans ce cas cas quelle distance parcoura t elle dans la pente ascendante avant de s'arrêter?

[cedbont]

Et bien, si tu négliges toujours les frottements, la boule remonte de 50 m puisqu'elle est descendue de 50 m !

[charlynancy]

Intuitivement, je dirais que même en négligeant les frottements, on a la gravité qui va freiner l'ascension.

[cedbont]

Non, parce que le poids est une force conservative.

[charlynancy]

ça veut dire que si on fait le vide dans le tube et que si ce tube était traversé de suffisament de courant pour le rendre supraconducteur...
on aurait un mouvement perpetuel... j'ai un doute là

[cedbont]

Euh, c'est quoi le rapport entre les martériaux supra conducteurs et le reste ?
En l'abscence de frottement, le poids (en fait c'est le champ gravitationnel) donne une énergie à ton solide en tout point de l'espace. Si ton solide a son altitude qui diminue de h, son énergie potentielle diminue de m*g*h (c'est une fonction affine de l'altitude lorsque celle-ci varie légèrement par rapport au rayon terrestre), mais comme l'énergie totale est conservée, son énergie cinétique augmente de m*g*h (donc sa vitesse aussi). Si ton solide remonte il se passe exactement le contraire.
On aura donc bien un mouvement perpétuel.
Sauf que dans la réalité, il y a toujours des frottements, dommage !

[sitalgo]

Bouljour,

ça veut dire que si on fait le vide dans le tube et que si ce tube était traversé de suffisament de courant pour le rendre supraconducteur...
on aurait un mouvement perpetuel... j'ai un doute là

C'est possible car c'est justement avec des si qu'on crée les mouvements perpétuels, et en rajoutant des si ça fournit même de l'énergie gratuitement.
Encore que pour le supraconducteur, je vois pas trop.

Avec une pente de 1%, la boule ne devrait pas dépasser 7 m/s à cause des frottements l'air. La force qui la fait avancer est de :
m g sinp = 0,8 9,81 0,01 = 0, 078 N.
Dans un tube qui ne fait que 1cm de diamètre de plus que la boule, c'est encore pire.