Solution en séries au voisinage d'un point singulier régulier

[invite7458c2b9]

Bonjour,

Dans le cadre d'un problème de physique, je tombe sur un système de 6 équations différentielles couplées. Et je souhaite connaître le comportement à l'origine de mes fonctions.
Plus clairement, je cherche à déterminer le comportement des fonctions qui sont solutions d'un système d'équations au voisinage d'un point singulier régulier (en l'occurance 0). Dans le cas d'une équation, c'est simple il suffit d'utiliser la méthode de Frobenius. Par contre lorsque je passe à un système d'équations, les choses se corsent et je ne sais pas trop quoi faire.

Je vais essayer d'expliciter un peu les choses sans trop rentrer dans les détails de mon problème. Jai un système d'équations différentielles du deuxième ordre de la forme:

sont des matrices et est un vecteur dont les composantes sont notées ensuite .

Donc voilà le problème.
Maintenant, ce que je fais, c'est que je développe mes fonctions en séries au voisinage de zéro :

(comme la méthode de Frobénius dans le cas d'une seule équation...)
Et ensuite il faut déterminer les et les coefficients . Et la je bloque...

Je ne sais pas du tout comment faire. Si quelqu'un s'y connait pas mal en théorie des équations différentielles, ça me serait d'une grande aide.

Merci d'avance a ceux qui s'interesseront à cette question.
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[labostyle]

bonjour,

as tu essayer de traiter ton problème d'un point de vue numérique (programmation).
Pour trouver des coefficients pourquoi ne pas faire appelaux conditions aux limites. Et pourrai tu détailler d'avance ton problème, est-ce par exemple un couplage de ressort, ....

[invite7458c2b9]

as tu essayer de traiter ton problème d'un point de vue numérique (programmation). Pour trouver des coefficients pourquoi ne pas faire appelaux conditions aux limites

Justement, c'est afin de traiter mon problème de manière numérique que j'ai besoin de connaitre les comportements sur des points réguliers singuliers. Le comportement en ces points sont les conditions au bord.

Et pourrai tu détailler d'avance ton problème, est-ce par exemple un couplage de ressort, ....

Je trouve ce genre de situation dans des types de problème physique assez variés... (théorie des champs, RG ...) C'est ce type de problème en général qui me pose problème.

Le problème pour moi est de trouver des développements en séries qui soient réguliers (afin de conserver un sens physique) sur des points réguliers singuliers pour des systèmes d'équations de taille arbitraire...

[Karibou Blanc]

Et ensuite il faut déterminer les et les coefficients . Et la je bloque...

Il te suffit de remplacer ton psi par la série entière que tu as écrite dans ton équation. Cette dernière sera alors une simple équation polynomial (ou algébrique), qu'il est aisé de résoudre (ordre par ordre) en imposant tes conditions aux limites au point singulier (cf un vieux theoreme : deux polynomes sont égaux si tous les coeff des monomes le sont). Tu verras alors si ta solution est régulière autour de ce point.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7458c2b9]

Dans les cas simples où au moins les polynômes au premier ordre découplent je veux bien, les choses se font facilement.
Mais si en toute généralité, les equations restent couplées à tout ordre, je ne sais pas si c'est possible de trouver une solution...