Fonction d'onde d'une particule localisée

Seirios · 27/08/2007 - 14h28

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir une petite explication sur le lien qui existe entre la fonction d'onde d'une particule libre (1) et sa transposée de Fourier (2).

(1) : $\psi (r,t)= \int \phi ( \vec{p}) \exp( - \frac{i}{\hbar} (Et-\vec{p}.\vec{r})) \frac{d^3 p}{(2 \pi \hbar)^{3/2}}$ , avec p la quantité de mouvement, E l'énergie, r les coordonnées d'un point et $\phi$ une fonction arbitraire.

(2) : $\phi( \vec{p}) \exp(-iEt/ \hbar)$ , avec les mêmes notations que dans la formule précédente.

D'après ce que j'ai compris, il faudrait intervertir les fonctions $\psi$ et $\phi$ pour obtenir une fonction d'onde de la particule localisée, mais je ne vois pas vraiment à quoi cela correspond...

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

gatsu · 27/08/2007 - 16h37

Envoyé par Phys2

Bonjour à tous,

J'aimerais avoir une petite explication sur le lien qui existe entre la fonction d'onde d'une particule libre (1) et sa transposée de Fourier (2).

(1) : $\psi (r,t)= \int \phi ( \vec{p}) \exp( - \frac{i}{\hbar} (Et-\vec{p}.\vec{r})) \frac{d^3 p}{(2 \pi \hbar)^{3/2}}$ , avec p la quantité de mouvement, E l'énergie, r les coordonnées d'un point et $\phi$ une fonction arbitraire.

(2) : $\phi( \vec{p}) \exp(-iEt/ \hbar)$ , avec les mêmes notations que dans la formule précédente.

sqrtD'après ce que j'ai compris, il faudrait intervertir les fonctions $\psi$ et $\phi$ pour obtenir une fonction d'onde de la particule localisée, mais je ne vois pas vraiment à quoi cela correspond...

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2

Je vois pas trop ce que tu veux dire en fait.
Une particule complètement localisée à l'instant t=0 au point $\vec{r}_0$ est par définition dans l'état :
$|\vec{r}_0 \rangle$
Si tu veux savoir où elle est à l'instant t il faut ensuite appliquer l'opérateur d'évolution de la particule libre :
$U(t)=e^{-\frac{i}{\hbar} H t}$
où $H=\frac{p^2}{2m}$
et on a donc :
$|\psi(t) \rangle = e^{-\frac{i}{\hbar} H t} |\vec{r} _0\rangle$
Ensuite il faut introduire la relation de fermeture :
$1=\int d^3p |\vec{p} \rangle \langle \vec{p} |$
ce qui donne
$|\psi(t) \rangle = e^{-\frac{i}{\hbar} H t} \int d^3p |\vec{p} \rangle \langle \vec{p} | |\vec{r}_0 \rangle$
or, on peut montrer que
$\langle \vec{p} | |\vec{r}_0 \rangle = C e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p}.\vec{r}_0}$
on a donc en représentation $\{|\vec{r}\rangle \}$ :
$\psi(\vec{r},t)=\langle \vec{r}|\psi(t)\rangle = |C|^2 \int d^3p e^{-\frac{i}{\hbar} \frac{p^2}{2m}t} e^{-\frac{i}{\hbar}(\vec{r}-\vec{r}_0).\vec{p}}$
On peut montrer que le résultat de cette intégrale est de la forme :
$\psi(\vec{r},t) = A e^{-\frac{1}{2}\frac{m(\vec{r}-\vec{r}_0)^2}{\hbar t}}$
La fonction d'onde est donc une gaussienne centrée en $\vec{r}_0$ de largeur $\sqrt{\frac{\hbar t}{m}}$
Ainsi, si elle est extremement localisée à t=0, plus le temps va passer et plus elle sera délocalisée, jusqu'à atteindre une amplitude de probabilité constante quand t est infini si je ne me suis pas trompé.

Seirios · 27/08/2007 - 17h37

Je vois pas trop ce que tu veux dire en fait.

C'est vrai que je me suis mal exprimé, mais c'est assez flou dans mon esprit...Voici un extrait de ce que je ne comprends pas (avec les mêmes notations que j'ai utilisée dans le message #1) :

Envoyé par J.-L. Basdevant, 12 leçons de mécanique quantique

1. Si $\phi$ est très concentré autour d'une valeur $p_0$ , la fonction d'onde va être proche d'une "onde plane monochromatique" dans une très grande région de l'espace. C'est une fonction d'onde réaliste pour des atomes monocinétiques.[...]
Si "vue de près" la fonction d'onde est très proche d'une onde plane monochromatique, "vue de loin" elle peut tout à fait assimilée à une distribution pontuelle.
2. Réciproquement, il suffit d'intervertir les deux fonction pour obtenir la fonction d'onde d'un atome très bien localisé, c'est-à-dire que $\psi$ soit très concentré au voisinage de $r_0$ [...].

gatsu · 27/08/2007 - 18h14

Envoyé par Phys2

C'est vrai que je me suis mal exprimé, mais c'est assez flou dans mon esprit...Voici un extrait de ce que je ne comprends pas (avec les mêmes notations que j'ai utilisée dans le message #1) :

Ce passage utilise simplement les notions de transformées de Fourier voilà tout.
Si tu remplaces $\phi(p)$ par $\delta(p-p_0)$ qui est très concentré en $p_0$ tu vas tomber directement sur une onde plane pour la fonction d'onde, comme elle ne s'écrit plus comme un paquet d'ondes (planes) mais seulement comme une onde plane associée à l'impulsion $p_0$ alors cela revient à dire que ça correspond à la fonction d'onde d'une particule avec une impulsion donnée $p_0$ .
Comme les TF ont les mêmes propriétés, la réciproque est vraie également (en prenant un $\delta(\vec{r}-\vec{r}_0)$ ).

Par contre je ne comprends pas bien les concepts de "vue de près" et "vue de loin" je crois que c'est juste pour dire que rigoureusement il ne faut pas prendre un Dirac pour $p_0$ et qu'il faut faire l'approxmation tout à la fin puisque la fonction d'onde obtenue est très proche ("vue de près") d'une onde plane...tellement proche qu'on peut l'approximer, à la précision qui nous importe ("vue de loin" ), par une onde plane.

PS: cela dit tu peux aussi jeter un oeil sur le calcul de mon premier message qui a l'avantage d'être explicite, "réaliste" et il n'y a pas de "vue de loin" et de "vue de près"

.

Seirios · 27/08/2007 - 18h48

Envoyé par gatsu

Si tu remplaces $\phi(p)$ par $\delta(p-p_0)$ qui est très concentré en $p_0$ tu vas tomber directement sur une onde plane pour la fonction d'onde, comme elle ne s'écrit plus comme un paquet d'ondes (planes) mais seulement comme une onde plane associée à l'impulsion $p_0$ alors cela revient à dire que ça correspond à la fonction d'onde d'une particule avec une impulsion donnée $p_0$ .

Je sens la question bêta, mais je vais quand même la poser

: Que représente le delta dans $\delta (p-p_0)$ ?

Et une seconde question : Qu'est-ce que change ce remplacement dans la représentation graphique de la fonction d'onde ?

PS: cela dit tu peux aussi jeter un oeil sur le calcul de mon premier message qui a l'avantage d'être explicite, "réaliste" et il n'y a pas de "vue de loin" et de "vue de près"

.

J'y ai déjà jeté un coup d'oeil, mais c'est raide

mamono666 · 27/08/2007 - 18h57

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_%CE%B4_de_Dirac

gatsu · 27/08/2007 - 19h08

Envoyé par Phys2

Je sens la question bêta, mais je vais quand même la poser

: Que représente le delta dans $\delta (p-p_0)$ ?

Ce n'est pas une question bete.
C'est la pseudo-fonction de Dirac qui ne peut être définie qu'en théorie des distributions de la façon suivante :
$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) f(x) dx = f(0) \:\: \forall\:f\:\in \:\:\Sigma$
où $\Sigma$ est un ensemble de fonctions bien élevée qui s'annulent à l'infini.

Une fois encore tu fais les frais de ton empressement

.

J'y ai déjà jeté un coup d'oeil, mais c'est raide

J'imagine bien que c'est raide, ce genre de calcul n'est vu (la plupart du temps) qu'au niveau maitrise et est ensuite souvent utilisé pour justifier le changement radical de point de vue effectué en TQC pour abandonner la fonction d'onde (cf Peskin et al.). Mais le truc c'est que ça correspond au niveau de la question posée...

Seirios · 28/08/2007 - 10h05

Mais en remplaçant $\phi(p)$ par $\delta(p-p_0)$ , on ne retrouve pas une fonction d'onde d'une particule localisée, puisque si on sait que la particule possède une quantité de mouvement $p_0$ , on devrait avoir une onde plane monochromatique...

gatsu · 28/08/2007 - 11h47

Envoyé par Phys2

Mais en remplaçant $\phi(p)$ par $\delta(p-p_0)$ , on ne retrouve pas une fonction d'onde d'une particule localisée, puisque si on sait que la particule possède une quantité de mouvement $p_0$ , on devrait avoir une onde plane monochromatique...

Où est ce que tu as vu, dans ce que je t'ai dit, qu'on retrouvait une particule localisée si on remplace $\phi(p)$ par $\delta(p-p_0)$

?
En fait c'est si $\phi(p)=e^{\frac{i}{\hbar}\vec {r}_0.\vec{p}}$ que tu obtiens ensuite une "fonction d'onde" qui est $\delta(\vec{r}-\vec{r}_0)$
mais ce n'est pas une fonction d'onde a proprement parlé puisqu'elle n'est pas de carré sommable donc il faut faire attention.

Magnétar · 31/08/2007 - 23h06

Bonsoir,
J'ai une petite question :

on a donc en représentation $\{ | \vec r \rangle \}$

Voilà je suis pas sur de ce que ça veut dire, tu veux dire par là qu'on écrit l'état de la particule dans la base formée par les états propre de position où alors ça veut dire totalement autre chose ?

Voilà désolé si la question est bête.

Et merci à tous ceux qui répondront.

physiquantique · 01/09/2007 - 19h54

Envoyé par Magnétar

Bonsoir,
J'ai une petite question :

Voilà je suis pas sur de ce que ça veut dire, tu veux dire par là qu'on écrit l'état de la particule dans la base formée par les états propre de position où alors ça veut dire totalement autre chose ?

Voilà désolé si la question est bête.

Et merci à tous ceux qui répondront.

euh... ou est-ce que tu a vu cela??

gatsu · 01/09/2007 - 20h23

Envoyé par Magnétar

Bonsoir,
J'ai une petite question :

Voilà je suis pas sur de ce que ça veut dire, tu veux dire par là qu'on écrit l'état de la particule dans la base formée par les états propre de position où alors ça veut dire totalement autre chose ?

oui c'est ça.