transformation de lorentz et invariance de c

[mach3]

Bonjour,

suite à des discussions ici même, j'ai été amené à revisité la relativité restreinte (vue vite fait en cours il y a 7 ans ). J'étudie un peu les transformation de Lorentz du coup.

A ce que j'ai lu on fait appel à la transformation de Lorentz afin de garantir l'invariance de la vitesse de la lumière, pourtant cette raison ne me semble pas suffisante : d'autre transformations conservent c, à savoir toutes les transformations de Lorentz possible avec un facteur arbitraire. Du moins c'est ce dont je me suis rendu compte en calculant la vitesse d'un objet pour divers référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres : s'élimine automatiquement. Il n'apparait pas dans la formule de composition des vitesses. Ce qui signifie qu'une autre raison que l'invariance de la vitesse de la lumière est nécessaire pour que l'utilisation de la transformation de Lorentz soit justifiée.

Quelqu'un a une idée de cette raison, plus forte que l'invariance de c, qui oblige l'utilisation de la transformation de Lorentz?

m@ch3

[invite9c9b9968]

Euh... Je n'ai pas tout compris de ton cheminement logique, mais une chose par contre m'a un peu surpris :

s'élimine automatiquement. Il n'apparait pas dans la formule de composition des vitesses

Le facteur de Lorentz intervient bien dans la loi de composition des vitesses...

[invité576543]

Bonsoir,

C'est la structure de groupe qui importe. Il faut que la formule permettant de passer d'un référentiel A au référentiel C soit obtenue en combinant la formule passant de A à B et celle passant de B à C, et ce quelle que soit B. Ca contraint fortement les solutions possibles.

La solution à un tel problème est lié à un théorème assez intéressant en math qui dit qu'il n'y a qu'un groupe de Lie pour une structure topologique donnée (ou quelque chose comme cela).

Pour R il s'agit de l'addition simple. Pour un intervalle infini d'un seul côté, l'exemple canonique est et l'opération de groupe est la multiplication. Mais pour l'intervalle fini c'est



Cette opération est unique. Ainsi, si on cherche une loi d'addition des vitesses sur l'intervalle , c'est la loi naturelle, au même sens où l'addition simple est la loi naturelle pour des vitesses dans .

Sauf erreur, la transformation de Lorentz se déduit de cette loi de composition.

Cordialement,

[mach3]

Bon alors je développe un peu plus et peut-etre trouverez vous la faille dans mon raisonnement

Si je prends la transformation suivante :




Entre moi immobile et un référentiel ayant une vitesse par rapport à moi.

Soit un objet A de vitesse pour moi, quelle sera la vitesse pour l'autre référentiel?

On a :

d'où



et


On retrouve bien la composition de vitesse donnée par la transformation de Lorentz

Si maintenant on considère que A est de la lumière, alors :


et

la vitesse de la lumière est conservée.

J'ai utilisé une autre transformation que celle de Lorentz et je retrouve les même résultats qu'elle

Dans ce sens l'invariance de c ne me parait pas justifier l'utilisation de la transformation de Lorentz. Il doit donc y avoir une autre raison, plus forte, imposant la présence du facteur dans la transformation.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Si je prends la transformation suivante :

Quand je parlais de composition, je ne parlais pas de la formule calculant la vitesse dans un référentiel connaissant la vitesse dans un autre, mais de la composition lors d'un double changement de référentiel.

Prenons ta formule, et faisons:







Composons les deux changements; on obtient




soit




Si on cherche une vitesse permettant de retrouver une formule du type de celle de départ, on doit avoir ce qui n'est pas possible si les deux vitesses sont non nulles.

La transformation ne se compose pas comme il faudrait.

Cordialement,

[invitec9750284]

En parlant de transformation de Lorentz j'ai lu dans un cours d'algèbre linéaire que cette dernière est une transformation linéaire appelée "Lorentz boost" :


avec la relation

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton? Quelle est la signification physique de l'angle

[invité576543]

En parlant de transformation de Lorentz j'ai lu dans un cours d'algèbre linéaire que cette dernière est une transformation linéaire appelée "Lorentz boost"

"Lorentz boost" et "transformation de Lorentz" veulent dire la même chose, question de choix de langage...

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton?

Remplace les cosh, sinh par leurs expressions en fonction de tanh et tu retrouves la formule usuelle.

Quelle est la signification physique de l'angle

C'est la vitesse relative! En 4D minkowskien, la vitesse est un angle en géométrie hyperbolique. Sous cette forme ça s'additionne directement.

Un référentiel se présente (par exemple) comme 4 vecteurs, l'un étant temporel, qui correspond à la direction des objets immobiles dans ce référentiel. Entre la direction des objets immobiles dans un référentiel A et la direction des objets immobiles dans un référentiel B, il y a un "angle" (hyperbolique), ce phi, qui correspond à la vitesse relative entre les deux référentiels.

On se retrouve avec une relation entre référentiels exprimée par des angles, ce qui est bien plus naturel que par un angle (pour le spatial) et une vitesse linéaire (pour le temporel).

Cordialement,

[invite88ef51f0]

Salut,

d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

Oui, en supposant simplement certaines propriétés fondamentales (ça doit former un groupe donc, mais aussi l'isotropie de la loi, ...), on retombe forcément sur les transformations de Lorentz (ou leur limite quand c tend vers l'infini : les transformations de Galilée). Le premier message de Mmy explique ça d'un point de vue que je ne connaissais pas mais qui est très élégant !

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton? Quelle est la signification physique de l'angle

Ça vient directement des transformations de Lorentz, associé à un peu de trigonométrie hyperbolique (que valent ch(th) et sh(th)). C'est donc une autre manière de présenter les choses, qu a l'avantage de pouvoir être vue comme une sorte de rotation ("rotation hyperbolique") dans l'espace de Minkowski (espace-temps à 4 dimensions).
Le phi, appelé rapidité, est une grandeur intéressante car c'est elle qui s'additionne. Mais elle est malheureusement peu connu, car elle parle beaucoup moins que la vitesse (et les tangentes hyperboliques, c'est lourd à manipuler).

EDIT Croisement...

[mach3]

oki ça soulève la contradiction. Si est la vitesse du 1er reférentiel par rapport à celle du deuxieme et celle du 2e par rapport au 3e, on peut calculer par composition , la vitesse du 1er par rapport au deuxieme pour écrire la 3é transformation. Mais on s'aperçoit qu'elle n'est pas cohérente avec les 2 autres (on a deux valeurs incompatibles pour (x'',ct'')).

Je comprend mieux maintenant pourquoi on est obligé de mettre un , d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

merci pour ces réponses

m@ch3

[invité576543]

d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

Exactement.

Conceptuellement, je pense que poser d'abord le besoin d'une structure de groupe, et en déduire les solutions possibles pour la transformation, et, parmi ces solutions regarder lesquelles donnent une vitesse invariante, est plus clair que dans l'autre sens. Poincaré l'a présenté comme cela, sauf erreur...

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Tout à fait d'accord, et c'est comme ça que c'est présenté dans ma bible

Sinon petite rectification de vocabulaire : un boost n'est pas une transformation de Lorentz, mais une transformation spéciale de Lorentz. Les transformations de Lorentz-Poincaré en général contiennent rotations (fixes), translations (fixes) et transformations à vitesse

[invité576543]

Sinon petite rectification de vocabulaire : un boost n'est pas une transformation de Lorentz, mais une transformation spéciale de Lorentz. Les transformations de Lorentz-Poincaré en général contiennent rotations (fixes), translations (fixes) et transformations à vitesse

Et qu'appelles-tu transformation de Lorentz alors? (L'expression "transformation de Lorentz" est de Poincaré...)

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Euh... Je l'ai détaillé dans mon précédent message

Une transformation de Lorentz générale est pour moi un élément du groupe de Lorentz-Poincaré, donc la composition de transformations spéciales, de translations et de rotations

[invité576543]

Euh... Je l'ai détaillé dans mon précédent message

Non, tu as écrit "transformation de Lorentz-Poincaré", qui est une expression récente.

Sinon, il me semblait que la distinction la plus utile était surtout entre celles portant sur les vecteurs (groupe de Lorentz) et celles portant sur les coordonnées affines (groupe de Poincaré)...

Cordialement,

[invite9c9b9968]

Ok, alors transformation de Lorentz pour tout ce qui concerne les vecteurs (ce qui concerne en effet le groupe de Lorentz O(3,1) ), transfo de Lorentz-Poincaré pour Lorentz+translations (donc transformations affines) c'est le groupe de Lorentz-Poincaré.




Le pinaillage sur FSG n'a pas de limite

[chaverondier]

Dans ce sens l'invariance de c ne me parait pas justifier l'utilisation de la transformation de Lorentz. Il doit donc y avoir une autre raison, plus forte, imposant la présence du facteur dans la transformation. m@ch3

Oui, le principe de relativité du mouvement.

Il s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

[invité576543]

Oui, le principe de relativité du mouvement.

Il s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

Sauf erreur, cela peut se voir comme un cas particulier de loi de composition des vitesses, à savoir (v, -v) -> 0 pour toute valeur de v.

Ca apparaît alors comme une condition plus faible, mais incluse dans, la condition de groupe de composition des vitesses.

La question est alors est-elle suffisante par elle-même?

Cordialement,

[chaverondier]

Le principe de relativité du mouvement s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

Sauf erreur, cela peut se voir comme un cas particulier de loi de composition des vitesses, à savoir (v, -v) -> 0 pour toute valeur de v. Ca apparaît alors comme une condition plus faible, mais incluse dans, la condition de groupe de composition des vitesses. La question est alors est-elle suffisante par elle-même?

Non car, avant d'exprimer la relativité du mouvement, il faut d'abord (par exemple)

• se placer dans une variété 4D munie d'un feuilletage 1D en lignes d'immobilité et telle qu'il soit possible

• d'y exprimer l'homogénéité de l'espace (conservation de l'impulsion = homogénéité de l'espace = invariance par translation spatiale agissant sur la variété spatiale 3D quotient de la variété 4D par son feuilletage 1D)

• d'y exprimer l'homogénéité du temps (conservation de l'énergie = invariance par translation temporelle). En fait, on veut donc que cette variété 4D soit espace principal homogène du groupe des translations spatio-temporelles.

• d'y exprimer l'isotropie de l'espace (conservation du moment cinétique = invariance par rotation spatiale)

Quand on a exprimé tout ça (plus correctement et plus précisément si possible), on se retrouve dans l'espace-temps d'Aristote, cad une variété 4D munie de l'action du groupe d'Aristote (intersection du groupe de Poincaré et du groupe de Galilée, groupe à 7 paramètres contenant les translations spatio-temporelles, les rotations spatiales mais ne contenant pas encore les boosts). On peut voir l'espace-temps d'Aristote (un espace-temps un peu moins symétrique que l'espace-temps de Minkowski) comme le produit d'un espace Euclidien 3D (représentant l'espace) par un espace Euclidien 1D (représentant le temps).

C'est seulement une fois que l'on a ainsi exprimé l'invariance par translation spatio-temporelle, puis l'invariance par rotation spatiale (conduisant à l'espace-temps d'Aristote où l'on a les fameuses règles, dont parle Rincevent, parfaitement rigides vis à vis des translations spatio-temporelles et des rotations) qu'il devient possible d'exprimer la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement uniforme à vitesse constante. L'expression, dans l'espace-temps d'Aristote, de la symétrie de point de vue conduit aux transformations de Lorentz.

Une fois ces transformations obtenues par induction (à partir de principes physiques), on s'aperçoit qu'il s'agit de l'expression algébrique des changements de systèmes de coordonnées inertiels, cad les systèmes de coordonnées orthonormés vis à vis de la métrique de Minkowski (la métrique invariante vis à vis des actions du groupe de Poincaré, le groupe engendré par le groupe d'Aristote et par les boosts).