transformation de lorentz et invariance de c

[mach3]

Bonjour,

suite à des discussions ici même, j'ai été amené à revisité la relativité restreinte (vue vite fait en cours il y a 7 ans ). J'étudie un peu les transformation de Lorentz du coup.

A ce que j'ai lu on fait appel à la transformation de Lorentz afin de garantir l'invariance de la vitesse de la lumière, pourtant cette raison ne me semble pas suffisante : d'autre transformations conservent c, à savoir toutes les transformations de Lorentz possible avec un facteur arbitraire. Du moins c'est ce dont je me suis rendu compte en calculant la vitesse d'un objet pour divers référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres : s'élimine automatiquement. Il n'apparait pas dans la formule de composition des vitesses. Ce qui signifie qu'une autre raison que l'invariance de la vitesse de la lumière est nécessaire pour que l'utilisation de la transformation de Lorentz soit justifiée.

Quelqu'un a une idée de cette raison, plus forte que l'invariance de c, qui oblige l'utilisation de la transformation de Lorentz?

m@ch3
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[Gwyddon]

Euh... Je n'ai pas tout compris de ton cheminement logique, mais une chose par contre m'a un peu surpris :

s'élimine automatiquement. Il n'apparait pas dans la formule de composition des vitesses

Le facteur de Lorentz intervient bien dans la loi de composition des vitesses...

[invité576543]

Bonsoir,

C'est la structure de groupe qui importe. Il faut que la formule permettant de passer d'un référentiel A au référentiel C soit obtenue en combinant la formule passant de A à B et celle passant de B à C, et ce quelle que soit B. Ca contraint fortement les solutions possibles.

La solution à un tel problème est lié à un théorème assez intéressant en math qui dit qu'il n'y a qu'un groupe de Lie pour une structure topologique donnée (ou quelque chose comme cela).

Pour R il s'agit de l'addition simple. Pour un intervalle infini d'un seul côté, l'exemple canonique est et l'opération de groupe est la multiplication. Mais pour l'intervalle fini c'est



Cette opération est unique. Ainsi, si on cherche une loi d'addition des vitesses sur l'intervalle , c'est la loi naturelle, au même sens où l'addition simple est la loi naturelle pour des vitesses dans .

Sauf erreur, la transformation de Lorentz se déduit de cette loi de composition.

Cordialement,

[mach3]

Bon alors je développe un peu plus et peut-etre trouverez vous la faille dans mon raisonnement

Si je prends la transformation suivante :




Entre moi immobile et un référentiel ayant une vitesse par rapport à moi.

Soit un objet A de vitesse pour moi, quelle sera la vitesse pour l'autre référentiel?

On a :

d'où



et


On retrouve bien la composition de vitesse donnée par la transformation de Lorentz

Si maintenant on considère que A est de la lumière, alors :


et

la vitesse de la lumière est conservée.

J'ai utilisé une autre transformation que celle de Lorentz et je retrouve les même résultats qu'elle

Dans ce sens l'invariance de c ne me parait pas justifier l'utilisation de la transformation de Lorentz. Il doit donc y avoir une autre raison, plus forte, imposant la présence du facteur dans la transformation.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Si je prends la transformation suivante :

Quand je parlais de composition, je ne parlais pas de la formule calculant la vitesse dans un référentiel connaissant la vitesse dans un autre, mais de la composition lors d'un double changement de référentiel.

Prenons ta formule, et faisons:







Composons les deux changements; on obtient




soit




Si on cherche une vitesse permettant de retrouver une formule du type de celle de départ, on doit avoir ce qui n'est pas possible si les deux vitesses sont non nulles.

La transformation ne se compose pas comme il faudrait.

Cordialement,

[The Artist]

En parlant de transformation de Lorentz j'ai lu dans un cours d'algèbre linéaire que cette dernière est une transformation linéaire appelée "Lorentz boost" :


avec la relation

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton? Quelle est la signification physique de l'angle

[mach3]

oki ça soulève la contradiction. Si est la vitesse du 1er reférentiel par rapport à celle du deuxieme et celle du 2e par rapport au 3e, on peut calculer par composition , la vitesse du 1er par rapport au deuxieme pour écrire la 3é transformation. Mais on s'aperçoit qu'elle n'est pas cohérente avec les 2 autres (on a deux valeurs incompatibles pour (x'',ct'')).

Je comprend mieux maintenant pourquoi on est obligé de mettre un , d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

merci pour ces réponses

m@ch3

[invité576543]

En parlant de transformation de Lorentz j'ai lu dans un cours d'algèbre linéaire que cette dernière est une transformation linéaire appelée "Lorentz boost"

"Lorentz boost" et "transformation de Lorentz" veulent dire la même chose, question de choix de langage...

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton?

Remplace les cosh, sinh par leurs expressions en fonction de tanh et tu retrouves la formule usuelle.

Quelle est la signification physique de l'angle

C'est la vitesse relative! En 4D minkowskien, la vitesse est un angle en géométrie hyperbolique. Sous cette forme ça s'additionne directement.

Un référentiel se présente (par exemple) comme 4 vecteurs, l'un étant temporel, qui correspond à la direction des objets immobiles dans ce référentiel. Entre la direction des objets immobiles dans un référentiel A et la direction des objets immobiles dans un référentiel B, il y a un "angle" (hyperbolique), ce phi, qui correspond à la vitesse relative entre les deux référentiels.

On se retrouve avec une relation entre référentiels exprimée par des angles, ce qui est bien plus naturel que par un angle (pour le spatial) et une vitesse linéaire (pour le temporel).

Cordialement,

[Coincoin]

Salut,

d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

Oui, en supposant simplement certaines propriétés fondamentales (ça doit former un groupe donc, mais aussi l'isotropie de la loi, ...), on retombe forcément sur les transformations de Lorentz (ou leur limite quand c tend vers l'infini : les transformations de Galilée). Le premier message de Mmy explique ça d'un point de vue que je ne connaissais pas mais qui est très élégant !

D'où vient cette matrice? Comment la calcule-ton? Quelle est la signification physique de l'angle

Ça vient directement des transformations de Lorentz, associé à un peu de trigonométrie hyperbolique (que valent ch(th) et sh(th)). C'est donc une autre manière de présenter les choses, qu a l'avantage de pouvoir être vue comme une sorte de rotation ("rotation hyperbolique") dans l'espace de Minkowski (espace-temps à 4 dimensions).
Le phi, appelé rapidité, est une grandeur intéressante car c'est elle qui s'additionne. Mais elle est malheureusement peu connu, car elle parle beaucoup moins que la vitesse (et les tangentes hyperboliques, c'est lourd à manipuler).

EDIT Croisement...

[invité576543]

d'ailleurs sa formule doit vite se retrouver en mettant un facteur inconnu dans la transformation et en forçant ainsi les deux valeurs de (x'',ct'') à être égales.

Exactement.

Conceptuellement, je pense que poser d'abord le besoin d'une structure de groupe, et en déduire les solutions possibles pour la transformation, et, parmi ces solutions regarder lesquelles donnent une vitesse invariante, est plus clair que dans l'autre sens. Poincaré l'a présenté comme cela, sauf erreur...

Cordialement,

[Gwyddon]

Tout à fait d'accord, et c'est comme ça que c'est présenté dans ma bible

Sinon petite rectification de vocabulaire : un boost n'est pas une transformation de Lorentz, mais une transformation spéciale de Lorentz. Les transformations de Lorentz-Poincaré en général contiennent rotations (fixes), translations (fixes) et transformations à vitesse

[invité576543]

Sinon petite rectification de vocabulaire : un boost n'est pas une transformation de Lorentz, mais une transformation spéciale de Lorentz. Les transformations de Lorentz-Poincaré en général contiennent rotations (fixes), translations (fixes) et transformations à vitesse

Et qu'appelles-tu transformation de Lorentz alors? (L'expression "transformation de Lorentz" est de Poincaré...)

Cordialement,

[Gwyddon]

Euh... Je l'ai détaillé dans mon précédent message

Une transformation de Lorentz générale est pour moi un élément du groupe de Lorentz-Poincaré, donc la composition de transformations spéciales, de translations et de rotations

[invité576543]

Euh... Je l'ai détaillé dans mon précédent message

Non, tu as écrit "transformation de Lorentz-Poincaré", qui est une expression récente.

Sinon, il me semblait que la distinction la plus utile était surtout entre celles portant sur les vecteurs (groupe de Lorentz) et celles portant sur les coordonnées affines (groupe de Poincaré)...

Cordialement,

[Gwyddon]

Ok, alors transformation de Lorentz pour tout ce qui concerne les vecteurs (ce qui concerne en effet le groupe de Lorentz O(3,1) ), transfo de Lorentz-Poincaré pour Lorentz+translations (donc transformations affines) c'est le groupe de Lorentz-Poincaré.




Le pinaillage sur FSG n'a pas de limite

[Coincoin]

C'est comme ça que j'ai appris aussi (sauf qu'on disait "Poincaré" tout court à la place de "Lorentz-Poincaré").
Le groupe de Lorentz contient les rotations et les boosts. Le groupe de Poincaré contient le groupe de Lorentz et les translations.

[gatsu]

C'est comme ça que j'ai appris aussi (sauf qu'on disait "Poincaré" tout court à la place de "Lorentz-Poincaré").
Le groupe de Lorentz contient les rotations et les boosts. Le groupe de Poincaré contient le groupe de Lorentz et les translations.

Le groupe spécial de Lorentz contient les rotations et les boosts et le groupe de Lorentz contient le groupe spécial de Lorentz plus le renversement du temps et la réflexion spatiale

[Rincevent]

s'lut,

La solution à un tel problème est lié à un théorème assez intéressant en math qui dit qu'il n'y a qu'un groupe de Lie pour une structure topologique donnée (ou quelque chose comme cela).

tu aurais un truc plus précis en tête ?

les seules choses que je connais et auxquelles me fait penser ce que tu dis sont :

- unicité du groupe de Lie simplement connexe étant donnée une algèbre de Lie (de dimension quelconque)

- le fait que pour tous les groupes de Lie unidimensionnel il existe une paramétrisation additive et que ces groupes sont par ailleurs isomorphes à (R,+) ou à (S1, +).

la première partie de ce deuxième truc est ce qui implique que si on restreint le groupe à avoir comme paramètre ]-1,1[, alors il existe une paramétrisation additive (et donc abélienne d'ailleurs), qui est celle reposant sur la rapidité.

Sauf erreur, la transformation de Lorentz se déduit de cette loi de composition.

en 1 dimension spatiale...

Le groupe spécial de Lorentz contient les rotations et les boosts et le groupe de Lorentz contient le groupe spécial de Lorentz plus le renversement du temps et la réflexion spatiale

j'y mets mon grain aussi

le groupe de Poincaré est aussi parfois nommé "groupe de Lorentz inhomogène"

[invité576543]

tu aurais un truc plus précis en tête ?

Oui.

Bon, mais ça ne va pas suffire comme réponse, je sens

Je renvoie à un message de homotopie dont j'extrais le texte:

Question: est-ce que S3 en tant que groupe est unique? Ou encore (en espérant que le vocabulaire est bon) si on prend deux variétés homéomorphes à S3 qui sont aussi des groupes, est-ce qu'il existe un isomorphisme de groupe continu entre les deux?

Oui. On peut le dire aussi ainsi : il n'existe à iso de groupes continus qu'une structure de groupe continue sur S3. (S3 étant entendu ici comme la structure topologique de la sphère unité de R^4).
Une variété topologique compacte (*) qui admet une structure de groupe continue (les structures algébriques et topologiques sont donc seulement supposées compatibles) plus précisément : on peut définir une structure de variété analytique à cette variété pour laquelle le produit GxG->G est analytique ainsi que l'opération inverse G->G x->x^(-1). A partir de là tout l'"arsenal" disponible pour l'étude des groupes de Lie montre le résultat.
(*) on peut sans doute affaiblir à paracompact.

Maintenant, faudrait demander à homotopie une référence pour la démo...

Je ne crois pas me tromper en l'appliquant comme je l'ai fait dans ce fil, mais c'est possible

en 1 dimension spatiale...

J'ai simplifié Dans le cadre discuté avec homotopie, le principe est indépendant de la dimension. Pour la composition de vitesse menant à la transfo de Lorentz, l'espace compact concerné est la boule ouverte de rayon 1 de R³, qui est le pendant de ]-1,1[ pour R.

Cordialement,

[Rincevent]

Bon, mais ça ne va pas suffire comme réponse, je sens

bien vu

Je ne crois pas me tromper en l'appliquant comme je l'ai fait dans ce fil, mais c'est possible

non, je ne pense pas que tu te sois trompé : c'est juste que ton affirmation était très générale et j'ignorais les conditions précises d'application. Or, par exemple je sais que le lien entre topologie et structure différentielle est pas si trivial que ça : cf la fin de ce paragraphe.

Pour la composition de vitesse menant à la transfo de Lorentz, l'espace compact concerné est la boule ouverte de rayon 1 de R³, qui est le pendant de ]-1,1[ pour R.

mais qui n'est pas compact... [m'enfin, il dit que paracompact est suffisant]

[Gwyddon]

Bonjour tout le monde,

Paracompact et précompact c'est pareil, ou alors faut que je me (re)plonge dans des bouquins de topologie ?

[invité576543]

Or, par exemple je sais que le lien entre topologie et structure différentielle est pas si trivial que ça : cf la fin de ce paragraphe.

Oui. Mais ici ce n'est pas la structure différentielle mais celle de groupe de Lie, non? Ce n'est pas la variété de l'espace-temps qui est concernée directement, mais les vecteurs vitesse en tant structure de groupe additif continu.

Là où je suis le moins à l'aise avec ce que je raconte, c'est le passage entre une structure de groupe sur les vitesses et le groupe de changement de référentiel... Le groupe additif des vitesses est relié à un groupe quotient du groupe de Lorentz (par les rotations spatiales), il me semble (?), mais n'est pas du tout le groupe de Lorentz.

Cordialement,

[Rincevent]

Paracompact et précompact c'est pareil, ou alors faut que je me (re)plonge dans des bouquins de topologie ?

tu as le droit de replonger

précompact c'est pour les espaces métriques alors que para c'est purement topologique [pas nécessairement métrique]

Oui. Mais ici ce n'est pas la structure différentielle mais celle de groupe de Lie, non?

je n'ai jamais dit le contraire

le groupe de Lie est une variété différentielle et il est donc muni d'une structure différentielle... j'imagine que la structure de groupe rajoute des contraintes et n'autorise pas 56 structures différentielles...

ma question était motivée par le fait que l'unicité pour une topologie fixée j'ignorais : je le savais juste dans le cas connexe

Ce n'est pas la variété de l'espace-temps qui est concernée directement, mais les vecteurs vitesse en tant structure de groupe additif continu.

je n'ai jamais dit le contraire

Là où je suis le moins à l'aise avec ce que je raconte, c'est le passage entre une structure de groupe sur les vitesses et le groupe de changement de référentiel... Le groupe additif des vitesses est relié à un groupe quotient du groupe de Lorentz (par les rotations spatiales), il me semble (?), mais n'est pas du tout le groupe de Lorentz

s'il est additif, c'est que tu es en 1 dimension spatiale donc pas de rotation

mais sinon, comme tu le dis le passage de l'un à l'autre nécessite (je pense) des arguments "physiques" supplémentaires... de toutes façons, l'argument souvent cité d'isotropie n'a pour moi aucune valeur physique : mathématique, ok, mais pas physique. Car en physique pour décider qu'un espace est isotrope (ou homogène), il faut auparavant trouver "une règle absolument rigide" pour mesurer... ce qui n'est autre qu'une constante fondamentale...

[Gwyddon]

Ok merci je viens de découvrir la notion de paracompacité (compacité locale en fait). Et intuitivement je sens pourquoi paracompact suffirait, dans le sens où pas mal de théorèmes genre unicité du recouvrement universel nécessitent des hypothèses seulement locales pour être appliqués.

[chaverondier]

Dans ce sens l'invariance de c ne me parait pas justifier l'utilisation de la transformation de Lorentz. Il doit donc y avoir une autre raison, plus forte, imposant la présence du facteur dans la transformation. m@ch3

Oui, le principe de relativité du mouvement.

Il s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

[invité576543]

Oui, le principe de relativité du mouvement.

Il s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

Sauf erreur, cela peut se voir comme un cas particulier de loi de composition des vitesses, à savoir (v, -v) -> 0 pour toute valeur de v.

Ca apparaît alors comme une condition plus faible, mais incluse dans, la condition de groupe de composition des vitesses.

La question est alors est-elle suffisante par elle-même?

Cordialement,

[invité576543]

Car en physique pour décider qu'un espace est isotrope (ou homogène), il faut auparavant trouver "une règle absolument rigide" pour mesurer... ce qui n'est autre qu'une constante fondamentale...

Il me semble que ce point peut se voir d'un autre angle, en continuant sur le groupe de composition des vitesses.

Quand j'ai écrit "unique" à un moment, il y a une sorte d'hypothèse d'isotropie qui était implicite.

Il n'y a pas qu'une seule loi possible sur ]-1, 1[. Pour le voir, on peut partir de la remarque que le groupe additif R possède des automorphismes, les additions alternatives étant (x, y) --> x+y-a (l'élément neutre est alors a, et l'inverse de x, 2a-x). On trouve ainsi des additions alternatives sur ]-1,1[, à savoir (x, y) --> (x+y-a-axy)/(1+xy-a(x+y)).

Mais la structure de groupe est essentiellement la même. C'est seulement un changement d'étiquetage, l'élément neutre n'étant plus "0" et l'inverse n'étant plus "-x".

Intuitivement on y voit pourtant une différence. A bien regarder, sauf erreur, elle est liée à une notion métrique, due à l'utilisation de réels comme étiquettes.

En prenant l'intervalle ]-1, 1[ avec le 0 comme élément neutre, on se met dans le cas où la métrique symétrique est évidente (carré de la différence). En particulier, la taille de la vitesse neutre (au sens du groupe) est 0, et la taille de l'opposé de x est égale à la taille de x.

Considérer que la vitesse neutre est 0 semble être une hypothèse d'homogénéité. Considérer que la taille de l'opposé de x est égale à la taille de x semble être une hypothèse d'isotropie.

Pour mieux voir cela, gardons 0 comme élément neutre. Pour changer la relation métrique entre un élément et son opposé, il est plus simple de voir alors les vitesses comme étant sur l'intervalle ]a, b[, et la loi de composition est alors (x,y) --> ((a+b)xy-ab(x+y))/(xy-ab)

L'opposé de x est alors abx/((a+b)x-ab), de valeur absolue distincte de celle de x dès que a+b est différent de 0. Et la vitesse limite dans un sens est a, et dans l'autre b.

C'est bien joli, mais est-ce que cela a un sens physique. Ce n'est pas évident, et c'est directement en relation avec la "règle absolument rigide" mentionnée par Rincevent. Si on prend un étalon de vitesse un étalon proportionnel à la vitesse limite dans la direction dans laquelle on le pointe, alors on ne peut pas avoir autre chose que a+b=0 pour a et b mesurées selon l'étalon.

En résumé, si on contraint à ce que "0" dénote la vitesse neutre pour la composition des vitesses, et qu'on choisit comme étalon de vitesse quelque chose de proportionnel à la vitesse limite pour la direction dans laquelle l'étalon pointe, alors la composition de vitesse ne peut être que (x+y)/(1+x.y).

Cordialement,

[chaverondier]

Le principe de relativité du mouvement s'exprime par la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement de translation à vitesse constante. Pour exprimer cette symétrie de point de vue, le système d'équations modélisant la transformation de Lorentz doit rester invariant par la transformation x <-> x' et t <-> t' et v -> -v (où v désigne la vitesse du nouveau système d'observation par rapport à l'ancien).

Sauf erreur, cela peut se voir comme un cas particulier de loi de composition des vitesses, à savoir (v, -v) -> 0 pour toute valeur de v. Ca apparaît alors comme une condition plus faible, mais incluse dans, la condition de groupe de composition des vitesses. La question est alors est-elle suffisante par elle-même?

Non car, avant d'exprimer la relativité du mouvement, il faut d'abord (par exemple)

• se placer dans une variété 4D munie d'un feuilletage 1D en lignes d'immobilité et telle qu'il soit possible

• d'y exprimer l'homogénéité de l'espace (conservation de l'impulsion = homogénéité de l'espace = invariance par translation spatiale agissant sur la variété spatiale 3D quotient de la variété 4D par son feuilletage 1D)

• d'y exprimer l'homogénéité du temps (conservation de l'énergie = invariance par translation temporelle). En fait, on veut donc que cette variété 4D soit espace principal homogène du groupe des translations spatio-temporelles.

• d'y exprimer l'isotropie de l'espace (conservation du moment cinétique = invariance par rotation spatiale)

Quand on a exprimé tout ça (plus correctement et plus précisément si possible), on se retrouve dans l'espace-temps d'Aristote, cad une variété 4D munie de l'action du groupe d'Aristote (intersection du groupe de Poincaré et du groupe de Galilée, groupe à 7 paramètres contenant les translations spatio-temporelles, les rotations spatiales mais ne contenant pas encore les boosts). On peut voir l'espace-temps d'Aristote (un espace-temps un peu moins symétrique que l'espace-temps de Minkowski) comme le produit d'un espace Euclidien 3D (représentant l'espace) par un espace Euclidien 1D (représentant le temps).

C'est seulement une fois que l'on a ainsi exprimé l'invariance par translation spatio-temporelle, puis l'invariance par rotation spatiale (conduisant à l'espace-temps d'Aristote où l'on a les fameuses règles, dont parle Rincevent, parfaitement rigides vis à vis des translations spatio-temporelles et des rotations) qu'il devient possible d'exprimer la symétrie de point de vue entre observateurs en mouvement uniforme à vitesse constante. L'expression, dans l'espace-temps d'Aristote, de la symétrie de point de vue conduit aux transformations de Lorentz.

Une fois ces transformations obtenues par induction (à partir de principes physiques), on s'aperçoit qu'il s'agit de l'expression algébrique des changements de systèmes de coordonnées inertiels, cad les systèmes de coordonnées orthonormés vis à vis de la métrique de Minkowski (la métrique invariante vis à vis des actions du groupe de Poincaré, le groupe engendré par le groupe d'Aristote et par les boosts).