Principe de moindre action

[jojo17]

Bonjour,
Ce sujet pour une occasion de (re*)développer sur ce principe qui jalonne le cours de la physique.

L'idée que la trajectoire minimise une durée ou une longueur est d'abord née chez Pierre de Fermat vers 1655 pendant son étude de l'optique (voir Principe de Fermat). Même si elle a interessé Leibnitz et Newton, c'est Maupertuis, vers 1740, qui fera progresser la formulation verbale et mathématique d'un « principe de moindre action » pour la mécanique. Euler, en développant l'analyse mathématique, commença à reformuler ce principe, mais c'est Lagrange qui lui donnera sa méthode et sa forme définitive en 1755, pour ensuite l'inclure comme une simple conséquence de sa mécanique analytique.

En 1827, Hamilton, en cherchant à appliquer ce principe à l'optique, développa une nouvelle approche basée sur l'étude de l'énergie par la méthode analytique : la mécanique hamiltonienne, que Jacobi peaufinera vers 1840.

Depuis sa formulation, ce principe a guidé de nombreux scientifiques dans leurs recherches, notamment de Broglie vers 1920 dans son travail sur la théorie des quanta. En 1916, Hilbert a redémontré les équations de la gravitation de la relativité générale à l'aide du principe, et Richard Feynman, en 1942, a proposé une nouvelle formulation du principe dans sa thèse de doctorat intitulée Le Principe de moindre action en mécanique quantique, permettant une réécriture de la mécanique quantique.

C'est un des rares principes ayant survécu aux multiples mutations de la physique, mais il a rarement été à l'origine d'une découverte : il est plutôt utilisé pour reformuler ou redémontrer des lois trouvées par d'autres biais.

Ce principe porteur ne peut-il pas s'imaginer "moteur", et donc être à l'origine d'une association de la RG à la MQ, comme apparemment il est commun au 2?
La thèse de R.Feynman a t-elle son pendant en RG? Si oui, y a t-il eu des études sur un "rapprochement" des 2?
Est-ce un principe qui s'applique seulement dans le cadre de la Science Physique?
Voîlà! Merci pour vos informations, sinon, merci quand même.

*après lecture des sujets similaires, dans lesquels je n'aie pas directement trouvé de réponses à ces questions.
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[Karibou Blanc]

Ce principe porteur ne peut-il pas s'imaginer "moteur"

Ce principe est moteur dans le sens ou il permet tres simplement (via les equations d'Euler-Lagrange, généralisation du PDF de Newton en quelque sorte) d'obtenir les gouvernant la dynamique d'un système contraint par certaines symétries. Mais rien a priori à part des contraintes de symétrie ne prédit la forme de l'action.

Ce principe porteur ne peut-il pas s'imaginer "moteur", et donc être à l'origine d'une association de la RG à la MQ, comme apparemment il est commun au 2?

C'est surtout un principe de physique classique. la mécanique quantique n'est pas basé sur un principe de moindre action. Malgré que Feynman ait pu exprimer des amplitudes de probabilité quantique à partir d'une action classique n'explique pas comment les dites probabilités apparaissent ou émergent. L'expérience nous force à postuler quelles existent, mais l'aspect probabiliste de la MQ n'est pas déduit théoriquement d'un principe de moindre action. En ce sens il n'est pas commun à la RG (théorie classique) et à la MQ.

La thèse de R.Feynman a t-elle son pendant en RG?

La thèse de Feynman est juste un moyen de calculer des amplitudes de transition en MQ sans faire appel au formalisme dit "opérationnel" basé sur des ket et un espace de Hilbert. Cette technique de calcul (qu'on appelle l'intégrale de chemin) ne permet pas d'obtenir une formulation quantique de la RG cohérente.

y a t-il eu des études sur un "rapprochement" des 2?

Cela fait 50 ans que l'approche de Feynman est utilisé en théorie quantique des champs, et sans doute autant d'année que les physiciens ont essayé d'utiliser cette approche pour quantifier la gravité, mais encore une fois, cela ne marche pas.

[jojo17]

les physiciens ont essayé d'utiliser cette approche pour quantifier la gravité, mais encore une fois, cela ne marche pas.

Bon, bah! Ca, c'est OK!

Cela fait 50 ans que l'approche de Feynman est utilisé en théorie quantique des champs.

Est-ce ce qu'il explique dans son livre "lumière et matière"?

[Karibou Blanc]

Est-ce ce qu'il explique dans son livre "lumière et matière"?

Pour l'électrodynamique quantique, oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Etile]

Bonsoir,
Est-ce que vous auriez un lien (ou livre à me conseiller) qui présente le principe variationnel sous une forme formelle ? Une approche purement mathématique en quelque sorte.

[Lévesque]

Bonjour,

je ne l'ai jamais lu, mais un ami m'a dit qu'il avait adoré le livre de C. Lanczos

D'autres pourront le commenter, j'en suis certain.

Simon

[BioBen]

Un lien qu'avait donné mtheory y'a un bout de temps :
http://www.eftaylor.com/leastaction.html

Pas mal d'infos sur le PMA en fouinant bien.

[BioBen]

Est-ce que vous auriez un lien (ou livre à me conseiller) qui présente le principe variationnel sous une forme formelle ? Une approche purement mathématique en quelque sorte.

Cad ? Wikipedia te suffit pas ?
C'est des exemples d'application que tu veux, ou bien le calcul variationnel d'un point de vu purepment matheux ?

[GrisBleu]

Bonjour,
La thèse de R.Feynman a t-elle son pendant en RG? Si oui, y a t-il eu des études sur un "rapprochement" des 2?

Salut

Si j'ai bien compris sa these (le document), le principe de moindre actions n est valide qu en moyenne, cad <dS>=0 et non dS=0. C'est donc vrai sur le seul (seul ?) chemin classique.

a+

[Coincoin]

Salut,
Comme bouquins qui expliquent tout ça mathématiquement, il y a aussi "Principes variationnels et dynamique" de Basdevant. Il explique les principes variationnels qu'on peut trouver dans différents domaines, de manière très détaillé (quasiment scolaire, avec des exercices corrigés à la fin de chaque chapitre).

[jojo17]

Bonjour,
Et est-ce que vous connaissez ce bouquin?
Est-il moins technique que celui de Basdevant?
N'est-il pas trop "encombré" par la polémique sur les aspects "finaliste métaphysique" du principe?
Dans une démarche pédagogique générale (niveau baccalauréat), lequels des deux conseilleriez-vous?

Merci.

[Karibou Blanc]

N'est-il pas trop "encombré" par la polémique sur les aspects "finaliste métaphysique" du principe?

de quelle polémique tu parles la ?

[jojo17]

de quelle polémique tu parles la ?

En fait le terme "polémique" est peut-être mal choisi, mais c'est ce que m'ont inspiré ces extraits :

Le principe de moindre action utilise l'hypothèse de deux points fixes sur le parcours du mobile : un point de départ, mais aussi un point d'arrivée. Cela a souvent été critiqué comme étant l'utilisation dans le raisonnement d'une « cause finale », ce qui est contraire à la causalité qui suit la flèche du temps en physique.

Cet énoncé scientifique reste l'un des plus déroutants qu'on ait jamais produit. Il intrigue, il choque, et ses relents finalistes et métaphysiques indisposent bon nombre de savants, scientifiques comme philosophes.

[Etile]

Comme bouquins qui expliquent tout ça mathématiquement, il y a aussi "Principes variationnels et dynamique" de Basdevant.

Il à l'air pas mal en effet, merci.

[Coincoin]

Dans une démarche pédagogique générale (niveau baccalauréat), lequels des deux conseilleriez-vous?

J'ai peur que le Basdevant soit un peu trop technique. Je dirais qu'il faut au moins un niveau L2 ou L3 pour apprécier (il faut savoir de quoi ça parler quand ça traite la MQ et la RG).

[jojo17]

Merci pour le conseil.
quelques autres questions concernant ce principe.
Est-il aussi incontournable que le respect de symétrie CPT par exemple?
Est-ce qu'une théorie peut-être "bancale" si ce principe n'y apparaît pas?

Merci et bonne fin de soirée.

[Coincoin]

CPT est une conséquence de la théorie, alors que le PMA est à la base de la théorie, fait partie des hypothèses qu'on utilise pour construire la théorie (on prend le PMA, un lagrangien et paf ça fait une théorie).
On peut faire autrement, mais je pense que toutes les théories modernes reposent sur une version variationnelle.

[jojo17]

Bonsoir,
Merci pour ces informations.
Dans une même optique, est-ce à partir de ce principe qu'est déduite la notion de géodésique?

[Karibou Blanc]

Est-ce qu'une théorie peut-être "bancale" si ce principe n'y apparaît pas?

Comme l'a dit coincoin, le principe de moindre action est à voir comme une méthode de "définition" d'une théorie, mais la encore je préfèrerais parler de modèle. La méthode est simple (du moins après quelques années d'études en physique ) et est celle décrite par coincoin, ou le lagrangien est construit en supposant certaines symétries que par exemple on a observé dans les expériences.

[Karibou Blanc]

Tout modèle physique s'appuie sur une mécanique commune (avec deux versions classique ou quantique, et éventuellement relativistes (restreinte)). La version classique de la dynamique soutenant les modèles est obtenue à partir du PMA. La version quantique s'obtient à partir de cette dernière soit via la procédure de quantification dite canonique (avec introduction de vecteurs d'état et d'un espace de Hilbert) soit via l'integration fonctionnelle (à la Feynman). Ceci constitue une mécanique, cad un squelette de base qui sert aujourd'hui de fondements à toute construction théorique de modèles physiques. Ainsi tout modèle physique satisfait au PMA par construction.

[jojo17]

Ainsi tout modèle physique satisfait au PMA par construction.

Bonjour,
Comme c'est ainsi, et que tout modèle (théorie) satisfait (doit satisfaire) la symétrie CPT, on pourrait se dire qu'il y a un lien direct (comme de cause à effet) entre le PMA et CPT?
Qu'en est-il?

Merci.

[Karibou Blanc]

et que tout modèle (théorie) satisfait (doit satisfaire) la symétrie CPT

non la symétrie CPT n'est pas relié au PMA, c'est une symétrie exacte d'un modèle physique pourvu que ce dernier respecte la relativité restreinte et soit local (cad aucune interaction ne se produit à distance de facon instannée).

[jojo17]

Bonjour,
Et merci.
Le PMA apparait donc comme un principe universel qui doit toujours être à la base de n'importe quelle théorie.
Est-ce le seul dans ce cas là, ou bien y a t-il d'autres principes indispensables.
Le pincipe de relativité est-il de ceux-là? Quels sont les autres s'il y en a?

Merci et bonne journée.

[invitefa5fd80c]

Le PMA apparait donc comme un principe universel qui doit toujours être à la base de n'importe quelle théorie.
Est-ce le seul dans ce cas là, ou bien y a t-il d'autres principes indispensables.

Salut,

Le PMA est effectivement un principe qui a survécu à toutes les révolutions en physique mais rien ne le rend obligatoire a priori. Qu'est-ce qui t'amène à penser qu'il est indispensable ?

[jojo17]

Rien! .
Si ce n'est que comme

tout modèle physique satisfait au PMA par construction.

Il m'apparait indispensable, dans le sens "jamais sans". Dans mon raisonnement, puisque dans l'histoire de la physique tout modèle satisfait au PMA par construction, il m'apparait qu'il ne peut y avoir d'autre théorie sans qu'elle satisfasse au PMA, et qu'on doit donc s'en servir, à priori, dans toute construction théorique. De là, ma question de savoir s'il y a d'autres principes essentiels, auxquels toutes théories satisfassent.
Mais donc, d'après ce que tu dis, rien ne le rend obligatoire à priori. Même si toute théorie depuis lors le satisfait par construction.
tout modèle satisfait au PMA, mais il n'est pas indispensable à priori.
J'avoue avoir un peu de mal. Pour moi, si un principe tel que le PMA se satisfait pour tout modèle de par sa construction, ce devrait-être un principe, à priori, de toute théorie. Mais bon, il doit y avoir quelque chose qui m'échappe.

[invite04fcd5a3]

salut à vous tous,

En effet tu as raison de t'inquieter Jojo sur la necessiter du principe de moindre action.Un nombre de personne utilisent ce principe pour tirer des equations d'evolution moyennant un certains nombre d'hypothèses (symetrie de la densité de lagrangien, etc..) et en injectant le lagrangien dans les equations de lagranges. C'est une sorte de fast food théorique en quelque sorte. Mais il y a une raison plus profonde de son utilisation, de broglie a le premier indiquer la possibilité d'existence d'une unité entre le PMA et le second principe de thermodynamique (pour plus de détail je t'invite à lire l'oeuvre de L de Broglie). Ainsi comme le second principe de thermo agit partout dans l'univers, c'est naturel, selon de broglie, que ce principe soit respecté et soit fécond pour la recherche.

[jojo17]

Merci champunitaire pour ces explications et ce conseil de lecture.
En relisant mon dernier post, je m'aperçois que je passe allégrement du "toujours avec, depuis" au "toujours avec, dorénavant".
Une question alors, par rapport à cette distinction, serait de savoir si un principe comme le PMA ne devrait pas justement être obligatoire à priori?
Je vais peut-être écrire une bêtise...mais n'est-ce pas ce qu'à fait A.Einstein avec le principe de relativité, en le posant à priori, c'est à dire que face à l'invariance de la vitesse de la lumière dans le vide, le principe de relativité devait être conserver coûte que coûte.
Si certains principes semblent émergés comme "universels", pourquoi ne seraient-ils pas obligatoires à priori?

Qu'est-ce qui t'amène à penser qu'il est indispensable ?

Qu'est-ce qui nous amène à penser qu'il ne l'est pas?

[invitefa5fd80c]

Qu'est-ce qui nous amène à penser qu'il ne l'est pas?

Une chose très simple : la science n'est pas dogmatique, du moins pas pour l'instant. Et rien ne permet d'affirmer que le PMA survivra aux prochaines révolutions de la physique.