Energie totale d'un système = constante du mouvement

Jemy · 28/10/2007 - 20h10

Bonsoir,

en voulant m'avancer un peu dans mes TD je suis tombé sur un exo de ce type :

3 points matériels M1, M2, M3 se déplacent sur l'axe des x, de coordonnées X1, X2, X3. Ils interagissent deux à deux, et le potentiel d'interaction entre Mi et Mj est noté : Vij = V(Xi-Xj).

Un des questions est de montrer que l'energie totale du système est une constante du mouvement.. Moi je veux bien, mais bon, en l'absence de l'expression du potentiel d'interaction, je vois pas bien comment conclure au final..

L'énoncé est-il incomplet où est ce que je rate un truc?

Merci d'avance

rlo · 28/10/2007 - 20h39

salut,

je dois louper un truc, mais l'énergie totale intègre les potentiels d'interaction, en l'absence de perte d'énergie, l'énergie totale se conserve (1er principe de la thermodynamique ou principe fondamental de la dynamique)

Sigmar · 28/10/2007 - 20h40

Un système soumis à des forces qui dérivent d'un potentiel a une énergie constante. C'est ce que tu cherches à prouver.

Tu as l'expression du potentiel, c'est Vij=V(Xi-Xj)...

Il te reste à trouver l'expression de l'énergie (je te rappelle que la force dérive d'un potentiel tu peux donc en connaitre l'expression -je t'aide c'est f=-grad V-, et je parie que tu connais la définition qui lie la variation d'énergie potentielle et la force conservative associée).
Avec tout ça tu trouves pour chaque point matériel la variation d'énergie potentielle. Tu fais la somme des trois et magie, c'est 0.
Il n'y a pas variation d'énergie potentielle, donc l'énergie est une constante du mouvement.

Jemy · 28/10/2007 - 21h37

Merci pour vos réponses rapides !

rlo -> oui, l'énergie se conserve, elle est donc une constante du mouvement ( en la derivant par rapport au temps on obtient 0 ), j'ai peut-être mal résumé l'exercice mais c'est ce que je voudrais démontrer

Sigmar -> je ne comprends pas bien pourquoi tu souhaites passer par les forces, ni pourquoi tu voudrais utiliser ces relations? Puis il ne faut pas oublier l'énergie cinétique dans le lot ?

Je me disais qu'on pourrait cht'être utiliser le crochet de poisson, puisque on identifie l'hamiltonien H du système à E, on a :

$dE/dt = \{ H, E \} = \{ H, H \} = 0$ de par l'antisymétrie du crochet de poisson, mais ce qui me gène c'est que lors de ce td nous n'aurons pas encore vu le crochet de poisson.. Alors mafoi si quelqu'un a une idée

PS : tiens je viens de découvrir ces balises TEX, c'est super chouette dites donc

Sigmar · 28/10/2007 - 21h43

Si j'ai oublié l'énergie cinétique.
Ben je sais pas, tu vois une meilleure méthode ? Passer par l'Hamiltonien, c'est pas un peu utiliser un marteau pour écraser une mouche ?^^

Jemy · 28/10/2007 - 22h19

Envoyé par Sigmar

Passer par l'Hamiltonien, c'est pas un peu utiliser un marteau pour écraser une mouche ?^^

Je pensais presque exactement la même chose : " Traire une puce avec des gants de boxe " .. 'Fin bref ^^

On a même pas la symétrie Vij=Vji même pas un chtit indice...

Dans la suite on travaille avec un potentiel en $1/X^2$ mais avant ça, aucune expression du potentiel n'est donnée.

Ptêtre que le prof a oublié un détail... Si quelqu'un a une piste je suis tout ouïe !

chwebij · 28/10/2007 - 23h22

j'ai débuté mais je bute un peu vers la fin
pour une des particules on a
$E_1=\frac 1 2 m_1 v_1^2 +V(x_2-x_1)+V(x_3-x_1)$
et de même pour les autres
en les dérivant on a
$\frac{dE_1}{dt}=m_1 v_1 \frac{d v_1}{dt}+v_2 \frac{dV(x_2-x_1)}{dx_2}+v_1 \frac{dV(x_2-x_1)}{dx_1}+v_3 \frac{dV(x_3-x_1)}{dx_3}+v_1 \frac{dV(x_3-x_1)}{dx_1}$
$\frac{dE_2}{dt}=m_2 v_2 \frac{d v_2}{dt}+v_1 \frac{dV(x_1-x_2)}{dx_1}+v_2 \frac{dV(x_1-x_2)}{dx_2}+v_3 \frac{dV(x_3-x_2)}{dx_3}+v_2 \frac{dV(x_3-x_2)}{dx_2}$
$\frac{dE_3}{dt}=m_3 v_3 \frac{d v_3}{dt}+v_1 \frac{dV(x_1-x_3)}{dx_1}+v_3 \frac{dV(x_1-x_3)}{dx_3}+v_2 \frac{dV(x_2-x_3)}{dx_2}+v_3 \frac{dV(x_2-x_3)}{dx_3}$

j'ai utilisé le fait que $\frac{df(x,y)}{dt}=(\frac{df(x ,y)}{dx})_y \frac{dx}{dt}+(\frac{df(x,y)}{ dy})_x\frac{dy}{dt}$
(les gens rigoureux me corrigeront en remplacant les d par $\partial$ dans les parenthèses)

or l'énergie totale $E=E_1+E_2+E_3$ et donc $\frac{dE}{dt}=\frac{dE_1}{dt}+ \frac{dE_2}{dt}+\frac{dE_3}{dt }$
en faisant le calcul et ayant Vij=Vji
on devrait arriver à une formule qui en factorisant respectivement par V1, V2 et V3 on devrait avoir trois termes nuls grâce au PFD.
$m\frac{dv}{dt}+grad V=0$
mais ca capote...a suivre

Jemy · 29/10/2007 - 03h37

Il ne vaut mieux pas poser Vij=Vji, car on ne sait pas si V est symétrique après tout..

Je propose ça :

1/ On a
$\frac{dT}{dt} = m_1\dot x_1\ddot x_1 + m_2\dot x_2\ddot x_2 + m_3\dot x_3\ddot x_3$

2/
$\frac{dV}{dt} = \frac{dV_1}{dt} + \frac{dV_2}{dt} + \frac{dV_3}{dt}$

Comme tu l'as dit :

$\frac{df(x,y)}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial df}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

On a donc :

$\frac{dV}{dt} = \frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_1}\dot x_1 + \frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_2}\dot x_2 + \frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_1}\dot x_1 + \frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_3}\dot x_3 + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_1}\dot x_1 + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_2}\dot x_2 + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_2}\dot x_2 + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_3}\dot x_3 + \frac{\partial V_{3,1}}{\partial x_1}\dot x_1 + \frac{\partial V_{3,1}}{\partial x_3}\dot x_3 + \frac{\partial V_{3,2}}{\partial x_3}\dot x_3 + \frac{\partial V_{3,2}}{\partial x_2}\dot x_2<br />$

$= \dot x_1(\frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_1} + \frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_1} + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_1} + \frac{\partial V{3,1}}{\partial x_1} ) + \dot x_2(\frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_2} + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_2} + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_2} + \frac{\partial V{3,2}}{\partial x_2} ) + \dot x_3(\frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_3} + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_3} + \frac{\partial V_{3,1}}{\partial x_3} + \frac{\partial V{3,2}}{\partial x_3} )$

On identifie :

$\frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_1} + \frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_1} + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_1} + \frac{\partial V{3,1}}{\partial x_1} = \frac{\partial V_1}{\partial x_1}= ||grad V_1||$

De même :

$\frac{\partial V_{1,2}}{\partial x_2} + \frac{\partial V_{2,1}}{\partial x_2} + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_2} + \frac{\partial V{3,2}}{\partial x_2} = \frac{\partial V_2}{\partial x_2} = ||grad V_2||<br />$

$\frac{\partial V_{1,3}}{\partial x_3} + \frac{\partial V_{2,3}}{\partial x_3} + \frac{\partial V_{3,1}}{\partial x_3} + \frac{\partial V{3,2}}{\partial x_3} = \frac{\partial V_3}{\partial x_3}=||gradV_3||$

Et pour conclure :

$\frac{dE}{dt} = \frac{dT}{dt} + \frac{dV}{dt}$

$=\dot x_1(m_1\ddot x_1 + ||grad V_1||) + \dot x_2(m_2\ddot x_2 + ||grad V_2|| ) + \dot x_3(m_3\ddot x_3 + ||grad V_3||)$

Et d'après le PFD on a bien $\frac{dE}{dt}=0$ !

Yahoooo ! Allez, je vais enfin pouvoir dormir !

PS : Les formules TeX, c'est super cool, mais pinaise qu'est ce que c'est long à taper

Jemy · 29/10/2007 - 22h04

C'est re-moi, avec le même exercice...

Cette fois on a : $V_{i,j} = \frac{g}{(x_i-x_j)^2}$ donc $V_{i,j} = V_{j,i}$

Le but est de prouver que $C = m\dot x_1\dot x_2\dot x_3 -\dot x_1V_{2,3}-\dot x_2V_{3,1}-\dot x_3V_{1,2}$ est une constante du mouvement : la constante de Calogero-Ragnisco ( la seule référence que j'ai trouvé sur le net c'est le cours de mon prof... )

$m=m_1=m_2=m_3$

Donc bon, c'est partit :

$\frac{dC}{dt}=m\ddot x_1\dot x_2\dot x_3 + m\ddot x_2\dot x_1\dot x_3 + m\ddot x_3\dot x_1\dot x_2 -\ddot x_1\frac{g}{(x_2-x_3)^2} -\ddot x_2\frac{g}{(x_3-x_1)^2} - \ddot x_3\frac{g}{(x_1-x_2)^2} + \[ \frac{2g}{(x_2-x_3)^3}\dot x_1(\dot x_2-\dot x_3) + \frac{2g}{(x_3-x_1)^3}\dot x_2(\dot x_3-\dot x_1) + \frac{2g}{(x_1-x_2)^3}\dot x_3(\dot x_1-\dot x_2) \]$

On développe la partie entre crochets :

$\[ \frac{2g}{(x_2-x_3)^3}\dot x_1(\dot x_2-\dot x_3) + \frac{2g}{(x_3-x_1)^3}\dot x_2(\dot x_3-\dot x_1) + \frac{2g}{(x_1-x_2)^3}\dot x_3(\dot x_1-\dot x_2) \] = \dot x_1\dot x_2$\frac{2g}{\(x_2-x_3$^3}-\frac{2g}{$x_3-x_1$^3}\) + \dot x_1\dot x_3$\frac{2g}{\(x_1-x_2$^3}-\frac{2g}{$x_2-x_3$^3}\) + \dot x_2\dot x_3$\frac{2g}{\(x_3-x_1$^3}-\frac{2g}{$x_1-x_2$^3}\)$

$=\dot x_1\dot x_2$-\frac{2g}{\(x_3-x_2$^3}-\frac{2g}{$x_3-x_1$^3}\) + \dot x_1\dot x_3$-\frac{2g}{\(x_2-x_1$^3}-\frac{2g}{$x_2-x_3$^3}\) + \dot x_2\dot x_3$-\frac{2g}{\(x_1-x_3$^3}-\frac{2g}{$x_1-x_2$^3}\)$

On identifie :

$-\frac{2g}{$x_3-x_2$^3}-\frac{2g}{$x_3-x_1$^3}={\frac{\partial V_3}{\partial x_3}=||grad V_3||$

$-\frac{2g}{$x_2-x_1$^3}-\frac{2g}{$x_2-x_3$^3}={\frac{\partial V_2}{\partial x_2}=||grad V_2||$

$-\frac{2g}{$x_1-x_3$^3}-\frac{2g}{$x_1-x_2$^3}={\frac{\partial V_1}{\partial x_1}=||grad V_1||$

On injecte :

$\frac{dC}{dt}=\dot x_1\dot x_2$m\ddot x_3 + ||grad V_3||$ + \dot x_1\dot x_3$m\ddot x_2 + ||grad V_2||$ + \dot x_2\dot x_3$m\ddot x_1 + ||grad V_1||$ -\ddot x_1\frac{g}{(x_2-x_3)^2} -\ddot x_2\frac{g}{(x_3-x_1)^2} - \ddot x_3\frac{g}{(x_1-x_2)^2}$

Donc d'après le P.F.D. :

$\frac{dC}{dt}=-\ddot x_1\frac{g}{(x_2-x_3)^2} -\ddot x_2\frac{g}{(x_3-x_1)^2} - \ddot x_3\frac{g}{(x_1-x_2)^2}$

Donc j'imagine que j'ai fait une erreur, puisque je ne vois pas quoi faire de ces trois termes, mais je n'arrive pas à trouver où... Si quelqu'un a une idée

Bonne fin de soirée !