Probleme de calcul de trajectoire, mecanique de Lagrange

Jackyzgood · 28/11/2007 - 16h25

Bonjour a tous !

J'ai cherché sur le forum, il y a des sujets similaires, mais aucun ne traite ce que je cherche exactement. J'aimerais programmé (en 2D) la trajectoire d'un objet soumis a une force centrale, dont la position initiale sera libre, on se trouve donc dans un cas ou le rayon n'est pas constant et ca me pose enormément de probleme lors de la résolutions des equations.

J'ai essayé avec la mécanique de Newton, en coordonnées cartésiennes (les intégrales a faire sont de véritables cauchemard !), en coordonnées cylindrique, c'est pas beaucoup mieu ...

Par contre la mécanique de Lagrange parrait plus approprié pour ce genre de probleme, le seul soucis c'est que j'aurais besoin d'une piqure de rappel et d'un peu d'aide.

Apres quelques calculs je tombe sur ce systeme :

$ r^{2}\ddot r=K\\\dot r \dot\theta + r \ddot\theta =0 $

Deja de 1 je c pas si c'est juste, et de 2 je ne vois pas comment résoudre cette *********.....

Un peu d'aide serait la bienvenue.

Merci

yahou · 28/11/2007 - 17h38

Envoyé par Jackyzgood

$ r^{2}\ddot r=K \\ \dot r \dot\theta + r \ddot\theta =0 $

Tes équations semblent être les projections du principe de la dynamique sur les axes polaires (pas besoin de cylindrique si c'est à 2D). Sauf qu'il manque des termes.

La deuxième équation (projection sur l'axe orthoradial) est $2 \dot r \dot\theta + r \ddot\theta =0$ , qui s'intègre une fois pour donner la conservation du moment cinétique : $r^2 \dot\theta=cste$ .

La première équation est $\ddot r - r \dot\theta^2=f/m$ où $f$ est la composante radiale de la force (l'autre étant nulle), et $m$ la masse. Tu semble te restreindre à une force newtonienne $f=-mK/r^2$ ; dans ce cas l'équation devient $r^2 \ddot r - r^3 \dot\theta^2=K$ .

A ma conaissance cette dernière équation ne s'intègre pas analytiquement : on peut pas avoir l'équation horaire $(r(t),\theta(t))$ . En revanche on peut éliminer le temps des équations et intégrer pour avoir l'équation de la trajectoire $r(\theta)$ ; c'est un calcul classique qu'on trouve dans tous les bouquins.

Maintenant j'ai du mal à cerner ce que tu veux faire exactement :
- cherches-tu à avoir l'équation de la trajectoire ou l'équation horaire ?
- tu parles d'un programme ; doit-il intégrer numériquement les équations du mouvement, ou seulement représenter graphiquement une solution calculée analytiquement ?

The Artist · 28/11/2007 - 17h49

Salut, on peut faire le calcul avec la mécanique newtonienne en coordonnées polaires je crois.
Cf le chapitre des forces centrales.
La conservation du moment cinétique montre que le mouvement se fait dans un plan et obéit à la loi des aires.
La particule décrit alors une conique d'équation :
$r=\frac{p}{1+e cos \theta} p>0$
avec:

- si e=0 la trajectoire est un cercle
- si 0<e<1 la trajectoire est elliptique
- si e=1 la trajectoire est parabolique
- si e>1 la trajectoire est hyperbolique.

Voilà... par contre peux tu me dire comment as tu trouvé tes équations ? Je débute en mécanique de Lagrange donc j'aimerais bien en savoir plus

Jackyzgood · 28/11/2007 - 18h20

En fait je souhaiterais faire un programme qui sera capable de faire l'animation de la trajectoire d'un corps autour d'un autre (fixe et applicant une force sur le premier). Pour ce qui est de l'animation, pas de probleme ! Mais c'est pour le calcul de la trajectoire que je seche ! Pour ce qui est de l'equation en elle même, peut importe que ca soit en fonction du temps ou non.

Merci yahou, je vais essayé de trouver l'equation de la trajectoire avec ce que tu m'as donné.

The Artist, pour ce qui est de la mécanique de Lagrange, je suis totalement rouillé !! J'ai ressortis mes cours mais je ne sais plus comment faire la moitié des choses ! Tout ce que je peux te dire c'est que :

L = T-V
T etant l'energie cinétique
V l'energie potentielle.

et que :

$ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q} - \frac{\partial L}{\partial q} = 0 $

q etant les différentes coordonnées de ton systeme, il faut trouver autant de coordonnées que de degrés de liberté.

Cette equation traduit le fait que la transformation d'energie cinétique vers l'energie potentielle, doit etre la plus lente possible et qu'au contraire la transformation inverse doit se faire le plus rapidement possible.

Mais malheureusement je ne pourrais pas t'en dire d'avantage, je suis moi même en train de réapprendre les bases.

The Artist · 28/11/2007 - 19h25

Re ! Ici tu vois que cette simulation est possible : :http://en.wikipedia.org/wiki/Two-body_problem
Tu verras aussi comment on calcule la trajectoire.

The Artist · 28/11/2007 - 19h31

Sinon si tu as le courage je te conseille ça http://www.hpmuseum.org/software/41/41grvnbd.htm
Avec la méthode de Runge-Kutta tu peux t'amuser !!

anass sayd · 06/09/2008 - 01h53

Envoyé par yahou

Tes équations semblent être les projections du principe de la dynamique sur les axes polaires (pas besoin de cylindrique si c'est à 2D). Sauf qu'il manque des termes.

La deuxième équation (projection sur l'axe orthoradial) est $2 \dot r \dot\theta + r \ddot\theta =0$ , qui s'intègre une fois pour donner la conservation du moment cinétique : $r^2 \dot\theta=cste$ .

La première équation est $\ddot r - r \dot\theta^2=f/m$ où $f$ est la composante radiale de la force (l'autre étant nulle), et $m$ la masse. Tu semble te restreindre à une force newtonienne $f=-mK/r^2$ ; dans ce cas l'équation devient $r^2 \ddot r - r^3 \dot\theta^2=K$ .

A ma conaissance cette dernière équation ne s'intègre pas analytiquement : on peut pas avoir l'équation horaire $(r(t),\theta(t))$ . En revanche on peut éliminer le temps des équations et intégrer pour avoir l'équation de la trajectoire $r(\theta)$ ; c'est un calcul classique qu'on trouve dans tous les bouquins.

Maintenant j'ai du mal à cerner ce que tu veux faire exactement :
- cherches-tu à avoir l'équation de la trajectoire ou l'équation horaire ?
- tu parles d'un programme ; doit-il intégrer numériquement les équations du mouvement, ou seulement représenter graphiquement une solution calculée analytiquement ?

sallam
j'ai vu le probleme et je voudrais aussi ecrire un programme faisant la même chose. sauf que le corps rntre dans le champs F avec une vitesse initiale V₀ et un angle $\alpha$ avec l'axe radiale.
j'ai pas reussi à avoir les même equations à savoir que j'ai ajouté les forces fictives centrifuges et de Coriolis.
mon resultat est:

axe radiale

$r^2 \ddot r + k - r^3 \dot\theta^2 - 2r^3 \dot\theta^2 sin(\alpha) - 2r^2 \dot r\theta \dot\theta sin(\alpha) = 0$

axe orthoradiale

$\ddot\theta + 2r\dot\theta^2cos(\alpha) + 2\dot r\theta \dot\theta cos(\alpha) = 0$

j'aimerais savoir si l'ajout de Coriolis est bien juste. sinon veuillez je vous pris de détailler comment vous avez eu vos equations.
merci d'avance Yahou.

**LPFR** · 06/09/2008 - 08h53

Bonjour.
Il y a quelques années, je me suis amusé à faire cette animation avec plusieurs corps.
On peut le faire en coordonnées cartésiennes et intégrer le système d'équations par Runge-Kutta. Mais la méthode simple pose de problèmes quand deux corps se rapprochent de trop. Il faut utiliser une version adaptative de la méthode.
J'ai utilisé les programmes du livre "Numerical recipes", qui ont fonctionné sans toucher un point virgule.
Vous trouverez dans cette merveilleuse bible, tout ce qu'il faut savoir pour résoudre ce type de problèmes et bien d'autres. C'est un des meilleurs achats que j'en ai jamais fait. Je crois que l'ancienne édition se trouve librement sur la toile.

On n'a pas a rajouter ni des forces fictives ni Coriolis si vous écrivez les équations du système vu d'un repère inertiel (ou galiléen comme on les a re-baptisés). Mais les résoudre à partir d'un repère non inertiel tient du masochisme. Si vraiment vous voulez montrer le mouvement comme vu par un des objets, il vaut infiniment mieux de faire les calculs dans le système inertiel et puis faire une translation de repère uniquement pour l'affichage.
Au revoir.

armene · 06/09/2008 - 18h52

entierement d'accord avecLPFR mais pour etre rigoureux et puriste ne faudrait-il pas operer dans le repere non inertiel .

anass sayd · 07/09/2008 - 03h01

sallam
merci bien pour l'info je vais cherhcer le livre cité et je vais eeseyer de voir avec un repert galilien en cordonnées cartesiennes.
merci encore pour l'aide.

**LPFR** · 07/09/2008 - 08h17

Envoyé par armene

entierement d'accord avecLPFR mais pour etre rigoureux et puriste ne faudrait-il pas operer dans le repere non inertiel .

Bonjour.
Je ne vois pas pourquoi vous pensez qu'opérer dans un repère non-inertiel est plus rigoureux et puriste qu'opérer dans un repère inertiel.
Je pense que c'est plutôt l'inverse. Dans un repère inertiel on n'a pas besoin d'ajouter des forces fictives. Je pense que cette toutouille d'ajouter des forces "artificielles" pour pouvoir utiliser les lois de Newton dans un repère où elles ne s'appliquent pas est beaucoup moins "puriste" que travailler avec les seules forces réelles.
Mais c'est peut-être une question de goûts.
Au revoir.