Liaisons atomiques

[invite0044c777]

Salut,

J'ai des difficultés à résoudre un exercice sur les liaisons atomiques (Modèle électrostatique). En fait le problème vient plutôt du fait que je n'arrive pas à trouver un développement limité juste. La partie du problème que je n'arrive pas à faire est la suivante :
L'énergie potentielle de deux atomes distants de r se met sous la forme : U(r) = A/r^m + B/rⁿ Où A,B,met sont des constantes positives avec n>m. Donner un développement limité de F au voisinage de r₀. En exprimant le nombre de liaisons par unité de surface, donner l'expression de la contrainte . Retrouver la loi de Hooke et exprimer le module d'Young E en fonction de m, n U₀ et r₀.
En fait c'est un problème très long j'ai déjà fait les premières questions et je crois qu'elles sont indépendantes.
Voilà ce que j'ai fait :
Comme la liaison est stable on a F= 0
et F = dU/dr = mAr^-m-1 - nBr^-n-1
et c'est là tout le soucis je n'arrive pas à trouver un développement limité convenable avec F. Je suis passé par le dvlpt de Taylor mais rien n'y fait j'ai des expressions trop longue qui me semble assez invraisemblable. Je ne sais plus quoi faire!
Merci d'avance pour votre aide.

PS : Je tiens à signaler que j'ai les valeurs numériques de A, B, m et n
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[mariposa]

Salut,

J'ai des difficultés à résoudre un exercice sur les liaisons atomiques (Modèle électrostatique). En fait le problème vient plutôt du fait que je n'arrive pas à trouver un développement limité juste. La partie du problème que je n'arrive pas à faire est la suivante :
L'énergie potentielle de deux atomes distants de r se met sous la forme : U(r) = A/r^m + B/rⁿ Où A,B,met sont des constantes positives avec n>m. Donner un développement limité de F au voisinage de r₀. En exprimant le nombre de liaisons par unité de surface, donner l'expression de la contrainte . Retrouver la loi de Hooke et exprimer le module d'Young E en fonction de m, n U₀ et r₀.
En fait c'est un problème très long j'ai déjà fait les premières questions et je crois qu'elles sont indépendantes.
Voilà ce que j'ai fait :
Comme la liaison est stable on a F= 0
et F = dU/dr = mAr^-m-1 - nBr^-n-1
et c'est là tout le soucis je n'arrive pas à trouver un développement limité convenable avec F. Je suis passé par le dvlpt de Taylor mais rien n'y fait j'ai des expressions trop longue qui me semble assez invraisemblable. Je ne sais plus quoi faire!
Merci d'avance pour votre aide.

PS : Je tiens à signaler que j'ai les valeurs numériques de A, B, m et n

Tu pourrais déjà écrire la valeur de r°.

Ensuite tu sais écrire la dérivée de F(r) dF(r)/dr et tu prends ta valeur au point r°.

Il n'est pas nécessaire de faire un développement de Taylor compliqué. Seul le premier terme suffit.

[philou21]

Bonsoir
je pense que tu devrais faire un développement limité de U :



Le premier terme est constant, le deuxième terme est nul comme tu l'as fait remarqué.
Si on se limite au troisième terme on a l'approx harmonique :


en supprimant le terme constant (changement d'origine des énergies)

Tu peux calculer la valeur de K puisque tu as les valeurs de A B et r0


edit : croisement avec Mariposa ...

[invite0044c777]

Merci pour vos explications. Philou je n'ai pas très bien compris ce que eq voulait dire, équivalent peut être? D'un autre coté avec le résultat final U = 1/2 kr² je ne vois pas très bien comment je peut calculer k.
Merci encore.

[A voir en vidéo sur Futura]

[philou21]

eq c'est pour équilibre : la distance d'équilibre r₀
K c'est la dérivée seconde de U à la distance d'équilibre (donc pour r₀)
et r c'est (r-r₀)

[invite0044c777]

Merci, je pense pouvoir m'en sortir avec ces nouvelles données.
Merci encore!

[philou21]

J'ai oublié de préciser, une fois que tu as l'approx de U tel que :
U=1/2Kr²
tu as sans peine (en dérivant) une approx de F :
F=-Kr

[mariposa]

Merci pour vos explications. Philou je n'ai pas très bien compris ce que eq voulait dire, équivalent peut être? D'un autre coté avec le résultat final U = 1/2 kr² je ne vois pas très bien comment je peut calculer k.
Merci encore.

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Philou a calculer directement l'énergie potentielle au voisinage d'un point avec un DL du second ordre. Ce qui est la meilleure façon de pratiquer.
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Pour ta part tu as d'abord calculer la force en dérivant le potentiel puis ensuite en rédérivant la force tu obtiends celle-ci au voisinage d'un point.
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Pour mieux comprendre il suffit de faire les 2 "méthodes".