Equations de Bloch en RMN

[inviteec8f5c66]

Bonjour !!

J'ai un gros probleme concernant la resolution des equations de Bloch pour trouver l'evolution de l'aimantation après une impulsion d'excitation.

La methode consiste à se placer dans un referentiel tournant à la vitesse de precession des spins. On introduit donc une matrice de rotation et on reecrit les equations de bloch dans ce referentiel.

J'ai un gros probleme au niveau du calcul de champ B dans le nouveau referentiel. Le champ B est la somme du champ statique B0 et du champ d excitation B1. Le champ B0 n'a qu'une composante suivant l'axe z et le champ d'excitation est un champ precessant à la vitesse omega et n'a que deux composantes non nulles x et y.

Calculer le nouveau vecteur dans le nouveau repere revient à calculer le produit de la matrice de rotation avec l'ancien vecteur. Je ne comprends pas pourquoi la composante selon z est B0 + omaga/constante gyromagnetique !!!


Merci pour votre aide
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[CoucouHibou]

La methode consiste à se placer dans un referentiel tournant à la vitesse de precession des spins. On introduit donc une matrice de rotation et on reecrit les equations de bloch dans ce referentiel.

J'ai un gros probleme au niveau du calcul de champ B dans le nouveau referentiel. Le champ B est la somme du champ statique B0 et du champ d excitation B1. Le champ B0 n'a qu'une composante suivant l'axe z et le champ d'excitation est un champ precessant à la vitesse omega et n'a que deux composantes non nulles x et y.

Calculer le nouveau vecteur dans le nouveau repere revient à calculer le produit de la matrice de rotation avec l'ancien vecteur. Je ne comprends pas pourquoi la composante selon z est B0 + omaga/constante gyromagnetique !!!

Tu dois avoir oublié un quelque part...

C'est tout l'intérêt de changer de référentiel. Dans le référentiel tournant, tu ne dois plus voir B₀ (ou à peine si tu ne tournes pas tout à fait à la bonne vitesse, en général on préfère suivre B₁ que les spins) parce que justement, tu te places dans un référentiel qui est en mouvement. Il va donc falloir faire apparaître un terme d'entrainement dans ton référentiel de telle sorte que ce que tu suis (l'aimantation) n'évolue plus dans ton nouveau référentiel (si tu tournes avec l'aimantation, elle doit t'apparaître comme immobile, donc comme si elle ne voyait pas de champ B₀).

C'est un peu comme un pendule de Foucault si tu veux. Quand tu te places dans le référentiel géocentrique, le plan d'oscillation du pendule ne tourne pas. Mais si tu le regarde dans ton laboratoire, tu vois ce plan tourner, justement parce que ton laboratoire tourne lui aussi. Pour rendre compte de ce phénomène, il faut introduire des termes d'entraînement et de Coriolis dans les forces qui s'exercent sur ton pendule pour le décrire dans un référentiel non Galiléen.

Bon courage, cordialement,

Hibou

[inviteec8f5c66]

Coucou !

he bien justement, je comprends bien tout l'interet de prendre un referentiel tournant mais la matrice de rotation est une matrice qui agit sur les variables x et y mais laisse inchangé la coordonnées suivant z. Du cou si tu appliques un champ tournant, se trouvant dans le plan xy, alors dans le nouveau referentiel, ce champ B_1 sera statique et ces coordonnées seront les coordonnées qu'il avait dans l'ancien referentiel à t=0. Mais la matrice n'agit pas sur la composante selon z, donc si est appliqué le long de l'axe z, alors dans le nouveau référentiel il sera inchangé et le long de l'axe z. Ce qui est trés drôle c'est que j'ai pris ça dans un bouquin de physique et il est écrit juste après le calcul matriciel que :
"La valeur du troisieme terme (composante selon z) n'est pas simplement le résultat du calcul matriciel. Nous avons dit que le but du référentiel tournant était d'éliminer la rotation à la fréquence de Larmor des noyaux. L'application du référentiel tournant est équivalente à la diminution de la valeur du champ magnétique statique. Dans ce referentiel, c'est comme si le vecteur de magnetisation ressentait un champ plus faible. Ainsi



Pour être plus précise le livre dit que M est régi par l'équation de Bloch donnée par l'expression :



où R est la matrice de relaxation : et .

Ensuite il pose

Il pose ensuite la matrice de rotation T :

L'équation dans le nouveau repere s'ecrit :



Et c'est la que je vais avoir un probleme : lors du calcul de




C'est écrit texto comme ça !!! Moi à la place de XX je mettrai c'est la modélisation qui est foireuse ??

Et donc c'est à partir de là qu'il met son gros blabla :
"La valeur du troisieme terme (composante selon z) n'est pas simplement le résultat du calcul matriciel. Nous avons dit que le but du référentiel tournant était d'éliminer la rotation à la fréquence de Larmor des noyaux. L'application du référentiel tournant est équivalente à la diminution de la valeur du champ magnétique statique. Dans ce referentiel, c'est comme si le vecteur de magnetisation ressentait un champ plus faible. Ainsi








Il rajoute comme ça ?

Marmotte.

[CoucouHibou]

Bonjour Marmotte,

Je te répondrai en détails ce soir, mais si tu as envie de chercher un peu par toi même, essaye de trouver ce qu'est une représentation dans un référentiel d'interaction en mécanique quantique. C'est ce dont il s'agit ici. Mais si tu ne trouves rien, j'essayerai de te donner plus de détails ce soir.

Bon courage, cordialement,

Hibou

[A voir en vidéo sur Futura]

[CoucouHibou]

Bon, alors, si tu as cherché dans la wikipedia ce que c'était que la représentation d'interaction, tu as peut-être compris quelque chose... ou pas.

On va donc commencer par regarder de plus près les équations de Bloch que tu as écrites, et après on verra...

he bien justement, je comprends bien tout l'interet de prendre un referentiel tournant mais la matrice de rotation est une matrice qui agit sur les variables x et y mais laisse inchangé la coordonnées suivant z. Du cou si tu appliques un champ tournant, se trouvant dans le plan xy, alors dans le nouveau referentiel, ce champ B_1 sera statique et ces coordonnées seront les coordonnées qu'il avait dans l'ancien referentiel à t=0. Mais la matrice n'agit pas sur la composante selon z, donc si est appliqué le long de l'axe z, alors dans le nouveau référentiel il sera inchangé et le long de l'axe z.

C'est tout à fait vrai, B₀ est inchangé par rotation autour de l'axe z mais... Il y a une nouvelle composante qui apparaît dans le référentiel tournant, un champ magnétique d'entraînement en quelque sorte, qui vient du fait que tu es dans un référentiel tournant, autrement dit, il est sacrément pas Galiléen !

Ce qui est trés drôle c'est que j'ai pris ça dans un bouquin de physique et il est écrit juste après le calcul matriciel que :
"La valeur du troisieme terme (composante selon z) n'est pas simplement le résultat du calcul matriciel."

Ce qui veut bien dire que B₀ est bel et bien inchangé par la rotation, mais...

"Nous avons dit que le but du référentiel tournant était d'éliminer la rotation à la fréquence de Larmor des noyaux. L'application du référentiel tournant est équivalente à la diminution de la valeur du champ magnétique statique. Dans ce referentiel, c'est comme si le vecteur de magnetisation ressentait un champ plus faible. Ainsi

Je pense que, pour que tu comprennes ça,il faut écrire ceci :

Soit B_L la résultante du champ dans le référentiel du laboratoire, on a donc :



Avec



et



Tout ceci tu l'as déjà écrit.

Maintenant, on change de référentiel avec la matrice de rotation que tu as, encore une fois, déjà décrite :



Le champ B_L est donc transformé en :



Tu as bel et bien raison de mettre B₀ à la place du XX donc...

Mais ce que tu ne comprends sans doute pas ici, c'est que, quand tu te places dans le référentiel tournant à vitesse autour d'un axe quelconque, tu rajoutes dans tes équations un champ "d'entraînement" qui vaut :



où u_r est le vecteur directeur de l'axe en question.

Ça correspond à cette phrase que tu citais :

"La valeur du troisieme terme (composante selon z) n'est pas simplement le résultat du calcul matriciel. Nous avons dit que le but du référentiel tournant était d'éliminer la rotation à la fréquence de Larmor des noyaux. L'application du référentiel tournant est équivalente à la diminution de la valeur du champ magnétique statique. Dans ce referentiel, c'est comme si le vecteur de magnetisation ressentait un champ plus faible."

En fait ça vient de cette représentation d'interaction dont je te parlais. Tu peux regarder la page wikipedia à ce sujet, je la trouve relativement incomplète, mais ce qu'il faut savoir c'est que le Hamiltonien H₀ dont il est question dans cette page provient du champ B₀, et le terme perturbatif provient de B₁. Ainsi, en te plaçant dans le bon référentiel d'interaction, tu élimines le terme principal et tu ne gardes que la perturbation (qui en plus commute avec elle même au cours du temps, ce qui est vraiment pratique en MQ)...

Il rajoute comme ça ?

Pour info, c'est plutôt (pour annuler le champ). Mais sinon, oui, ce terme est ajouté "comme ça", mais c'est bien parce que le référentiel tourne (pense encore une fois aux "forces" de type Coriolis, ou centrifuge en mécanique classique. Ce ne sont pas des vraies forces, mais on en a besoin pour modéliser les mouvements dans un référentiel non Galiléen).

Cordialement,

Hibou