Diffusivité thermique...

[invited79232c6]

Bonjour,

Une question sans doute triviale me pose problème :

Si une plaque métallique (L*l) d'épaisseur "e" et de température initiale homogène T0 est placée à l'instant t=0 dans un milieu (infini) à température homogène T1 (>T0), à quel instant t l'intégralité du volume de la plaque aura atteint la température T1 ?

Je n'arrive pas vraiment à m'en dépatouiller avec la diffusivité et l'équation de la chaleur...


Merci d'avance !
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[LPFR]

Bonjour.
Jamais.
La température tend vers la température finale asymptotiquement. Donc, elle ne sera jamais atteinte.
Au revoir.

[invited79232c6]

Merci.

En fait, ce que je recherche, c’est justement la loi d’évolution de la température en fonction du temps…

[LPFR]

Re.
Il faut que vous écriviez votre équation de diffusion. Les conditions limites seront T=T0 pour la surface du mur, et dT/dx=0 pour le milieu du mur. Les deux conditions indépendantes du temps.
Comme le problème est symétrique, Le flux de chaleur ne peux aller que jusqu'au milieu du mur. Là, le flux et nul et le gradient de température aussi.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[olouis]

Bonjour,

On peut effectivement résoudre l'équation de la chaleur (par exemple par une transformation de Laplace, et on trouve une solution en erf). Mais si seulement l'ordre de grandeur du temps t'intéresse, tu en as une estimation à partir de la diffusivité a (en m^2/s) et de l'épaisseur e (en m): le temps caractéristique de diffusion est ...
Ca peut souvent éviter des calculs inutiles...

Juste un complément pratique important: la condition à la paroi peut être restrictive parce que l'échange avec l'air extérieur n'est pas parfait. Cet échange se fait dans ton cas par convection naturelle de l'air ambiant et cette résistance thermique supplémentaire est en général modélisée par un coefficient d'échange h (typiquement de l'ordre de 5-20 W/m^2/K en convection naturelle). La densité de flux sortant s'écrit



On peut faire aussi le calcul rigoureux en changeant la condition frontière, mais il est adroit de voir d'abord laquelle de cette résistance, dite convective, et de la résistance conductive est prépondérante. On calcule pour cela un nombre adimensionnel, le nombre de Biot :



où conductivité thermique. Ensuite:

• si , la résistance limitante est celle de l'échange avec l'air extérieur, le corps est a peu près uniforme en température. c'est l'hypothèse du petit corps. Dans ce cas le problème peut être approximé par une équadiff en faisant un bilan d'énergie global sur le corps qui est à température uniforme
• si , la température de surface du corps est environ T1, tu reviens à la solution précédente, et il faut résoudre l'équation de la chaleur.

Si ton corps est vraiment mince, il y a des chances que tu sois dans le premier cas, et ta résolution de l'équation de la chaleur avec T=T1 à la frontière te donnera alors un résultat irréaliste.

Cordialement,

[FC05]

Juste une précision, le temps tau est bien celui que l'on retrouve avec une expression du type T(t) = Text + (To - Text) . e(-t/tau) ?

[olouis]

Juste une précision, le temps tau est bien celui que l'on retrouve avec une expression du type T(t) = Text + (To - Text) . e(-t/tau) ?

Dans le cas général non puisque la solution est en erf (fonction erreur).
Comme cette dernière converge vers 1 aux temps longs, on peut aussi
parler de constante de temps, mais qui n'est pas celle d'une exponentielle.

Par contre dansle cas de l'hypothèse corps mince ( )
on retrouve bien une exponentielle. En effet le bilan d'énergie du corps s'écrit :



( surface d'échange, capacité calorifique, volume, masse volumique,
et on a bien une solution en exp avec une constante de temps :



Cordialement,