Flèche d'un anneau

[fafy]

Bonjour,
Ceci est mon 1er message sur ce site de discussion. Je suis à la recherche d’une formule ( certainement simple !) de mécanique. Je cherche la flèche d’un anneau ouvert ( comme un circlips par exemple) sachant qu’une extrémité est encastrée. Je tente maintenant de décrire l’ effort. L’effort « d’ouverture » se trouve sur l’autre extrémité. Cet effort est dans le plan de l’anneau et est perpendiculaire au diamètre de l’anneau. Un peu comme si on tentait d’ouvrir un circilps à la main ! C’est dur mais l’image me paraît explicite. Merci aux futurs lecteurs de cette question.
fafy
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[f6bes]

Bjr à toi,
C'est bien imagé, mais je trouve que le terme "fléche" n'est peut etre pas approprié, mais ..
La "fléche" maxi est celle de l'anneau sans containte, ensuite tu ne peux
que diminuer cette fléche, jusqu'à obtenir (si rien ne casse) un "fil" rectiligne.
Me demande si une formule existe pour cela.
Y a pas mal de paramétres: nature du matériau, le diamétre, la section,la résilence (dureté) etc...
A+

[lguenhael]

Bonjour,

La formule est :

f = 3 * PI * F * R^3 / (E * Iz)

Cordialement.

[Jaunin]

Bonjour, Fafy,
Après votre demande sur le déplacement (écartement) d'un anneau, référence au circlips, et la réponse de Lguenhael, je me suis "amusé" (curiosité) à simuler les déplacements d'un anneau dans les conditions suivantes :
Un anneau ouvert, de ligne moyenne circulaire, dont la section constante est faible devant la longueur de la ligne moyenne développée, est sollicité par deux forces opposées.
Ainsi que pour un circlips.
La formule de Lguenhael correspond bien, pour un anneau fendu, au résultat de la simulation pour les forces horizontales.
Cordialement.
Jaunin__

[A voir en vidéo sur Futura]

[fafy]

Bonjour Iguenhael,
Merci pour cette formule. J’ai tenté quelques calculs qui donnent des résultats intéressants. Pourriez vous par ailleurs me citer le source de votre information si cela ne vous dérange pas. ( Même le « Müller », livre de mécanique général ancien et rodé, ne donne pas cette formule ! ) Pouvez vous aussi me confirmer dans votre formule que R est le rayon de l’anneau mesuré à la fibre neutre et que Iz est bien le moment d’inertie de la section de l’anneau ?
Dans ma question, je décrivais un anneau dont une extrémité est encastrée et l’autre sollicitée. En réalité, les deux extrémités sont sollicitées comme dans le cas du circlips, preuve en est, la forme d’un circlips montre que la sollicitation maxi se trouve au »milieu » des 2 « oreilles » et non pas à l’ extrémité encastrée comme dans le cas d’une poutre…Je pense que votre formule répond à cette réalité. Merci encore en attendant votre réponse.
Fafy

[fafy]

Bonjour Jaunin,
Dans ma question, je décrivais un anneau dont une extrémité est encastrée et l’autre sollicitée. En réalité, les deux extrémités sont sollicitées comme dans le cas du circlips, preuve en est, la forme d’un circlips montre que la sollicitation maxi se trouve au »milieu » des 2 « oreilles » et non pas à l’ extrémité encastrée comme dans le cas d’une poutre… D’après votre simulation et les couleurs ( du bleu au rouge), on a le sentiment que la contrainte maxi se trouve à une extrémité ! Je me demande si cette simulation ne serait pas plus juste en fixant l’encastrement au milieu de l’anneau (dans sa partie la plus épaisse comme le montre la forme d’un circlips). Qu’en pensez vous ? Merci encore en attendant votre réponse.
Fafy

[fafy]

essai de réponse
merci fafy

[Jaunin]

Bonjour, Fafy,
Comme indiqué dans le texte, dans la formule et dans les simulations, ce sont des déplacements (flèche) qui son représentés. Les anneaux sont retenus par le centre, en bas. Voir petit triangle jaune.
Maintenant je vous joins un circlips avec ses contraintes, retenu dans les mêmes conditions.
Si c'est le calcul de circlips que vous recherchez, cela ce calcul différemment et il faut voir avec un spécialiste, voir lien ci-joint.
Cordialement.
Jaunin__

http://www.seeger-orbis.de/en/index.php?article_id=351

[fafy]

Merci Jaunin de votre réponse. Je comprends maintenant que vous avez bien cerné la question. Je vous remercie aussi pour cette nouvelle image des contraintes. Pour répondre à votre interrogation, je ne recherche pas particulièrement des calculs relatifs aux circlips. Je cherchai la formule qu ‘Iguenhael m’a gentillement trouvée concernant les calculs (force et flèche) d’un simple anneau. J’ai par ailleurs envoyé une réponse à Iguenhael pour lui demander de me citer sa source. En effet, je dois dans le cadre de mon travail justifier cette formule !! A bientôt et merci encore. Fafy

[Jaunin]

Bonjour,
C'est juste pour avoir une idée et des références.
http://iut.univ-lemans.fr/ydlogi/doc/exeoss.pdf
Cordialement.
Jaunin__

[Jaunin]

Bonjour,
Encore une info.
Page 12, on doit pouvoir obtenir un résultat si on intègre de 0 à 2Pi, et arriver à l'équation de Lguenhael.
Cordialement.
Jaunin__

http://www.librecours.org/documents/25/2514.pdf

[fafy]

Merci, je vais potasser cela. Fafy

[lguenhael]

Bonsoir,

Désolé pour cette réponse tardive mais j’étais en déplacement.

Je n’ai pas de lien à vous donner, c’est un calcul que j’avais déjà fait. Et puis ça serait bien plus valorisant pour vous de redémontrer cette formule.

Page 12, on doit pouvoir obtenir un résultat si on intègre de 0 à 2Pi, et arriver à l'équation de Lguenhael

Non il ne faut pas intégrer ce résultat, on peut toutefois s’inspirer de cet exercice pour retrouver la formule que j’ai donné.

Essayez tout d’abord de poser votre problème en isolant la poutre et en définissant les efforts extérieur qui s’exercent sur celle-ci, vous devriez alors vous apercevoir que votre problème est légèrement différent que celui proposé en page 12. Ensuite, suivez la démarche de résolution donnée à la suite de cet exercice.

Cordialement.

[fafy]

Bonjour,
Je n'ai plus le temps et les compétences pour me replonger dans les maths... Par contre, j'ai à partir de votre formule, fait qques essais dans un atelier. Je suis encore agréablement surpris des résultats. Cette formule est donc pour moi suffisamment approchante. merci encore fafy

[Jaunin]

Bonjour, Fafy,
Merci pour ce renseignement pratique exécuté en atelier, ce qui me permet de contrôler aussi mes résultats, voire le message #4.
Cordialement.
Jaunin__

[MrMuMu]

Bonjour,

Je tombe sur cette vieille discussion sur l'anneau élastique qui, peut-être, peut encore intéresser certains - puisque je suis moi-même tombé dessus ;o).

Alors, oui la formule reliant l'ouverture d'un anneau complet - et non un 1/2 anneau - de rayon initial Ro soumis à une force F est : 3 * pi * F (R^3) / (E I)

Pour faire ce calcul on considère que l'anneau ne travaille qu'en flexion et ne subit pas de variation de longueur.
On travaille sur un demi anneau, on écrit la densité d'énergie de déformation en flexion, on la dérive par rapport à F et on intègre sur le demi anneau pour obtenir le déplacement du point d'application de F dans la direction de F -Thm de Castigliano -
on obtient la demie ouverture de l'anneau complet.
Si on veut connaitre la force nécessaire pour enfiler le circlips sur l'arbre on écrit que la longueur de l'anneau est conservée, en supposant que dans la configuration déformée la fibre moyenne est toujours circulaire, on obtient donc la valeur de l'ouverture nécessaire donc la force F !

[fafy]

Bonsoir MrMumu, merci pour cette nouvelle info!
Pourriez-vous svp m'envoyer un simple croquis qui montre ce que vous appelez "l'ouverture" dans votre message ci-dessous ?
"Alors, oui la formule reliant l'ouverture d'un anneau complet"
Merci, à plus tard.
Fafy