méthode des élement fini

[inviteccb0e881]

Bonsoir,

Pour la résoulution numérique des équations aux déérivées partielles on utilise l'approximation des élement finis .

A quoi consiste cette approximation dans le domaine de mécanique des milieux continue

Merci d'avance
-----

[Jeanpaul]

Quand on a un milieu continu, on ne peut pas analyser tous les points (ils sont en nombre infini), alors on crée un maillage, sorte de filet qui a la forme de l'objet étudié. On va en fait se contenter de calculer la déformation (en mécanique) ou la vitesse (en écoulements) sur les noeuds du maillage. Le nombre de noeuds peut atteindre plusieurs centaines de mille, si l'on dispose d'un ordinateur costaud.
Ca permet de calculer la déformation d'un objet complexe : carrosserie de voiture, structure d'avion, pont, etc.. et aussi les modes de vibration.
Un petit polynôme d'interpolation permet de calculer la déformation en chaque point de la maille quand on connaît la déformation aux noeuds (il y a des astuces subtiles), donc l'énergie de déformation sur tout le volume.

Créer un bon maillage est un art autant qu'une science, mais ça influe sur le résultat. Un maillage fait de tétraèdres (le plus simple pour un volume) donne une raideur artificiellement grande. Il faut du sens physique pour faire ce genre de calcul mais c'est essentiel.

[inviteccb0e881]

Merci pr votre réponse
mais comment on choisie des points ( les noeuds)
quelle est sont les limites de cette approximation?

[Jeanpaul]

A priori on pourrait les prendre n'importe comment mais ce ne serait pas astucieux car la précision pourrait en souffrir.
En fait on les répartit régulièrement sauf dans les zones où on soupçonne des variations rapides de la grandeur calculée (vitesse, contrainte, déformation...). Les mailles doivent être aussi cubiques que possible pour permettre une bonne interpolation.
Pour des calculs de contraintes, il faut en mettre suffisamment mais pas trop car l'expérience montre que plus le maillage est fin, plus l'objet paraît mou.
Un adage dit que par le calcul on ne trouve que ce qu'on cherche, ça veut dire que si on soupçonne qu'un trou va jouer un rôle important, il faut mailler serré autour, sinon on peut l'omettre. Le sens physique du calculateur est donc important, il s'agit de créer un modèle, pas de dessiner un objet, et ce modèle doit avoir des propriétés physiques voisines de la réalité, ce qui ne suppose pas forcément que le maillage doit ressembler fidèlement à l'objet.
C'est toute une science et souvent on doit valider quand même par des essais.
Prédire la précision est chose à peu près impossible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteccb0e881]

Merci jeanpaul pr tes belle explication