Besoin d'aide moment cinétique

[invite19455ec4]

Bonjour,

Je m'appelle Laura je suis en 2ème année de licence et j'ai quelques problèmes pour résoudre un exercice de mécanique du solide car je suis assez fâchée avec les moments cinétiques.
Je vous donne l'intitulé de l'exercice en espérant que vous pourrez m'aider à commencer.

Un pendule double est constitué de deux barres OA et AB identiques, homogènes, de masse m, de longueur 2b et articulées en A. Les deux barres sont astreintes à se déplacer dans un plan vertical (Oxy) et leurs inclinaisons sont définies par les angles a et b par rapport à la verticale (Ox) descendante. On rappelle le moment d’inertie d’une barre homogène, de longueur 2b, de masse m par rapport à sa médiatrice passant par son centre d’inertie vaut J =1/3mb².

Calculer le moment cinétique en O et l’énergie cinétique de ce pendule double.

Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à commencer car je suis perdue et ne vois pas par où commencer. Merci

Cordialement Laura.
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[LPFR]

Bonjour et bienvenue au forum.
Pour ce que vous demandez il y a les formules de base du mouvement cinétique (ou angulaire). Le moment cinétique d'un objet est Iω (à comparer à mv pour le moment linéaire). Et l'énergie cinétique est ½Iω² (comparez à ½mv²).
Au revoir.
P.S.: J'ai utilisé I à la place de votre J.

[invite19455ec4]

Tout d'abord merci de votre réponse et de votre réactivité. Je joins un schéma pour plus de clarté. Je déduis de votre réponse que je dois utiliser Jω et donc par exemple le moment cinétique de la barre OA serait Jω où ω aurait pour coordonnées -b sin(α) selon ox et b cos(α) selon oy. Je ne suis pas sûre de mon ω je l'ai obtenu en dérivant le vecteur position OG avec G milieu de la barre OA. Est-ce que mon raisonnement est bon ? De plus je n'arrive pas à comprendre pourquoi on utilise le moment d'inertie d'une barre par rapport à sa médiatrice et non par rapport au point O. J est-il dans ce cas directement exploitable ?

[LPFR]

Tout d'abord merci de votre réponse et de votre réactivité. Je joins un schéma pour plus de clarté. Je déduis de votre réponse que je dois utiliser Jω et donc par exemple le moment cinétique de la barre OA serait Jω où ω aurait pour coordonnées -b sin(α) selon ox et b cos(α) selon oy. Je ne suis pas sûre de mon ω je l'ai obtenu en dérivant le vecteur position OG avec G milieu de la barre OA. Est-ce que mon raisonnement est bon ? De plus je n'arrive pas à comprendre pourquoi on utilise le moment d'inertie d'une barre par rapport à sa médiatrice et non par rapport au point O. J est-il dans ce cas directement exploitable ?

Bonjour.
Avec vos deux barres articulées, le problème devient nettement plus compliqué.
D'une façon générale, l'énergie cinétique d'un objet est l'énergie cinétique de son centre de masses plus l'énergie de rotation ½Jw² autour de son centre de masses.
De même, le moment angulaire ou cinétique est égal au moment cinétique autour de son centre de masses Jw plus le moment angulaire (ou cinétique, mais je préfère angulaire) du centre de masses. Et ici, on peut venir à la définition de base:

L est le moment angulaire d'un point de masse de vitesse v et 'r' est le vecteur qui va du point par rapport auquel on calcule, à la masse 'm'. Et est le produits vectoriel.

Pour la barre OA, sa vitesse angulaire est simplement w_A=d(alpha)/dt et la vitesse de son centre de masses est bw_A.
Pour la barre AB, la vitesse de rotation autour de son centre de masses est, comme pour l'autre barre, w_B=d(bêta)/dt. Et la vitesse de son centre de masses est:

Les deux vecteurs sont ceux qui vont de 0 à A et de A à B. Le ½ est dû à la position du centre de masses au milieu de la barre.
Il ne faut s'affoler avec les produits vectoriels. Les vecteurs oméga et les rayons sont orthogonaux. J'ai gardé les vecteurs car la direction du résultat est perpendiculaire aux rayons.
Je crois que vous avez de quoi commencer à vous amuser.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Infra_Red]

le plus simple est de partir du torseur cinématique, t'en déduis le torseur cinétique, et ensuite l'E cinétique est égale à la moitié du torseur cinématique x torseur cinétique.

[invite19455ec4]

Bonsoir et merci de ces explications très détaillées.

J'ai suivi vos indications et j'obtiens ω_a=-sin alpha selon Ox, cos alpha selon Oy. Il y va de même avec ω_b mais avec bêta à la place de alpha. J'obtiens donc la vitesse du milieu de OA (que j'appelle G1) telle que v_G1=-bsin(alpha) selon Ox et bcos(alpha) selon Oy. Le moment angulaire de G1 par rapport à O est donc L=OG1^bω_a ac L, OG1 et ω_a vecteurs.
Ce qui me donne L=bcos(alpha)(mbcos(alpha))-(bsin(alpha)(-mbsin(alpha))) selon Oz soit L=2mb² .

Est-ce bon pour l'instant pour G1 ?

Pour le milieu de AB (que j'appelle G2) les choses se compliquent car j'ai du mal à saisir la formule que vous m'avez donnée pour V_ab alors j'ai essayé deux manières :

-La première en appliquant la formule citée précédemment ce qui me donne v_ab=(-2b(1-(sin²(bêta)-cos²(bêta))) selon Oz. Est-ce normal d'obtenir une vitesse selon z ? De plus en appliquant L=mOG2^v_ab j'obtiens un vecteur ayant des coordonnées non nulles en x et y (mais pas en z).

-La seconde méthode est sur le même principe que pour le calcul de G1 soit v_G2=2bω_a+bω_b
v_G2=-2bsin(alpha)-bsin(bêta) selon Ox et 2bcos(alpha)+bcos(bêta) selon Oy.
Après j'applique L=mOG2^v_G2 et après sans doute quelques erreurs de calcul j'obtiens L=b(2cos(alpha)+cos(bêta))(2mc os(alpha)+mcos(bêta))-(b(2sin(alpha)+sin(bêta))(-2msin(alpha)-msin(bêta))) selon Oz ce qui me paraît plus vraisemblable.

Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie.

Le moment angulaire du pendule double est-il égal au moment angulaire de G2 ou au moment angulaire de G2 + moment angulaire de G1 ?

[invite19455ec4]

J'ai également une petite question concernant l'énergie cinétique.
L'énergie cinétique du pendule double est énergie cinétique de G1 + celle de G2 + ½Jω_a² + ½Jω_b² ai-je bon ?

Dans ce cas ω_a=(-sin(alpha))²+(cos(alpha))²=1=ω_b.

Ainsi l'énergie cinétique totale du système serait E= m/2(-bsin(alpha)+bcos(alpha))+m/2(-2bsin(alpha)-bsin(bêta)+2bcos(alpha)+bcos(b êta))+(mb²)/3.

Bonne nuit à tous je vais .

[LPFR]

Bonjour.

J'ai suivi vos indications et j'obtiens ω_a=-sin alpha selon Ox, cos alpha selon Oy. Il y va de même avec ω_b mais avec bêta à la place de alpha.

La vitesse angulaire est une variation de l'angle avec le temps. C'est simplement la dérivée de l'angle par rapport au temps. De plus, si on la considère comme un vecteur, elle a le sens de la "loi du tirebouchon". Quand vous tournez votre volant vers la droite, la vitesse angulaire du volant est celle de la barre de direction et dirigée vers le roues de la voiture. Si vous tournez le volant vers la gauche, la vitesse angulaire est dirigée vers vous. Quand la voiture tourne à droite, sa vitesse angulaire est verticale et dirigée vers le bas.

Dans votre cas les deux vitesses angulaires sont perpendiculaires au dessin. Elles sortiront ou rentreront du papier suivant le mouvement. Vous aurez ω_a=d(alpha)/dt dirigée selon OZ.

J'obtiens donc la vitesse du milieu de OA (que j'appelle G1) telle que v_G1=-bsin(alpha) selon Ox et bcos(alpha) selon Oy. Le moment angulaire de G1 par rapport à O est donc L=OG1^bω_a ac L, OG1 et ω_a vecteurs.
Ce qui me donne L=bcos(alpha)(mbcos(alpha))-(bsin(alpha)(-mbsin(alpha))) selon Oz soit L=2mb² .

Est-ce bon pour l'instant pour G1 ?

La vitesse du milieu de la barre est ω_ab perpendiculaire à la barre. Donc, ses composantes sont b ω_a cos(alpha) suivant 'x' et b ω_a sin(alpha) .

Pour le milieu de AB (que j'appelle G2) les choses se compliquent car j'ai du mal à saisir la formule que vous m'avez donnée pour V_ab

Vous pouvez écrire les composantes en disant que la composante en 'x' est la vitesse du point A en 'x' plus la vitesse du point milieu de G2 en 'x' par rapport au point A. Cette dernière composante se calcule de la même manière que celle de la vitesse en 'x' du milieu de G1.
Même chose pour la composante en 'y'.

Le moment angulaire du pendule double est-il égal au moment angulaire de G2 ou au moment angulaire de G2 + moment angulaire de G1 ?

Oui, les moments angulaires s'ajoutent. Mais il faut faire très attention. Quand vous voyez passer un objet, son moment angulaire par rapport à vous est la somme de:
- "le moment de sa vitesse", c'est à dire, sa vitesse multipliée par la distance entre vous et la droite qui contient sa vitesse.
- le moment angulaire de l'objet par rapport à son centre de masses (s'il tourne sur lui-même).

Donc, pour G1 c'est du gâteau, mais pour G2 il faut ajouter son moment angulaire, car il tourne su lui même, plus le moment angulaire de son centre de masses par rapport à O.

J'ai également une petite question concernant l'énergie cinétique.
L'énergie cinétique du pendule double est énergie cinétique de G1 + celle de G2 + ½Jω_a² + ½Jω_b² ai-je bon ?

Oui, c'est bon, mais pas la suite.

Au revoir.

[invite19455ec4]

Bonjour,

Merci de votre patience grâce à vous je commence à comprendre.
Donc on a ω_a=d(alpha)/dt orienté selon z et positif puisque alpha est de sens positif, de même pour bêta.

V_G2=2bω_a+bω_b

Si l'on projette:

V_G2=2bω_acos(alpha)+bω_bcos(bêta) selon Ox et 2bω_asin(alpha)+bω_bsin(bêta) selon Oy

pour G1

V_G1=2bω_acos(alpha) selon Ox et 2bω_asin(alpha) selon Oy

énergie cinétique totale = ½Jω_b²+½Jω_a²=((mb²)(ω_a²+ω_b²))/6

Est-ce bon pour l'énergie cinétique ?

[LPFR]

Bonsoir.

Donc on a ω_a=d(alpha)/dt orienté selon z et positif puisque alpha est de sens positif, de même pour bêta.

V_G2=2bω_a+bω_b

Je vois ce que vous voulez dire, mais c'est très mal dit. Votre équation n'est pas bonne telle quelle. Elle n'est bonne qu'en notation vectorielle, comme je vous l'avais écrite. Pour vous en convaincre imaginez que bêta est égale à 180° (avec G1 dans la position du dessin). La vitesse due à (bêta)' est vers le x négatifs, mais dans votre formule elle apparaît comme positive.

Si l'on projette:

V_G2=2bω_acos(alpha)+bω_bcos(bêta) selon Ox et 2bω_asin(alpha)+bω_bsin(bêta) selon Oy

pour G1

V_G1=2bω_acos(alpha) selon Ox et 2bω_asin(alpha) selon Oy

Oui je pense que c'est bon.

énergie cinétique totale = ½Jω_b²+½Jω_a²=((mb²)(ω_a²+ω_b²))/6

Est-ce bon pour l'énergie cinétique ?

Non.
D'abord, pour l'énergie cinétique de G1, c'est le moment d'inertie par rapport à l'extrémité de la barre qu'il faut utiliser. Vous avez utilisé le moment par rapport au centre de masses.

Pour G2 vous pouvez garder J, mais il vous manque l'énergie cinétique du centre de masses de G2 qui est ½ m V² où V est la vitesse du centre de masses de G2 (celle que vous avez mal calculée au début).
Je crois que vous ne pourrez pas couper au produit vectoriel des rayons par les oméga.

À demain (j'arrête la bécane).