Théorème de Gauss et principe de Curie

[invite388d08ab]

COucou tout le monde. Alors voilà, j'ai des exos d'électrostatique à faire, avec en général une distribution continue de charge.
La plupart ont une symétrie basique (on a un fil uniformément chargé, ou une sphére ou un cylindre, ou encore on se place entre 2 fils infinis uniformément chargés etc).
Cependant, en cours, on ne nous a pas appris le théorème de gauss ni le principe de Curie.
Donc j'ai appris (essayé au moins) en autodidacte. J'ai à peu près intégré l'idée pour le principe de curie (symétrie + invariance = champ électrique sur le plan de symétrie).
Par contre, je bloque un peu pour Gauss. Je voudrais savoir d'une part comment déterminer une surface de gauss (et ce que c'est). A quoi ca sert d'avoir une surface de gauss, comment on la trouve et est-ce qu'on peut l'appliquer partout (une surface sur un fil, j'ai du mal à voir ca).

Et ma deuxième série de questions concerne Curie: dans le cas d'une antisymétrie basique (sur ox on a part exemple un fil chargé uniformément + et un autre - avec oz comme plan de symétrie), pour le champ est perpendiculaire aux fils? Enfin comment l'expliquer par l'antisymétrie?
Voilà, je vous remercie d'avance. (J'ai déjà des notions d'électrostat, potention, champ, energie pot, etc donc allez y pour les explications, ne me ménagez pas )
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[Jeanpaul]

Le théorème de Gauss dit, de manière générale que le flux de E à travers une surface fermée est égal à la charge contenue dans la surface divisée par eps0.
De manière pratique, on ne l'utilise que si une symétrie permet de prédire la direction de E, par exemple un fil chargé ou un plan infini. Il est alors plus facile de calculer ce flux surtout si on trouve une surface où E a un module constant.

Le second aspect est plus subtil. Prenons l'exemple des 2 fils chargés, on peut dire que le champ résultat est la somme des 2 champs et comme chacun est dans le plan de symétrie, la somme le sera aussi.
On peut aussi raisonner sur le centre d'antisymétrie et dire que si on fait tourner la figure autour d'un axe passant par ce point, la figure est la même sauf que les signes ont changé. Le champ a tourné de 180° et a changé de signe mais en fait il est le même. Un petit dessin montre qu'il est forcément dans le plan de symétrie.

Ce raisonnement par rotation fonctionne toujours mais pas un raisonnement par symétrie miroir quand on a affaire à un champ magnétique car les lois ne sont pas iinvariantes par cette symétrie miroir (voir règle des 3 doigts).

[invite388d08ab]

Ok merci j'ai compris à peu près tout.
"Prenons l'exemple des 2 fils chargés, on peut dire que le champ résultat est la somme des 2 champs et comme chacun est dans le plan de symétrie, la somme le sera aussi."
Là on utilise juste le principe de superposition. C'est ca?

"Le champ a tourné de 180° et a changé de signe mais en fait il est le même" C'est pour ca qu'entre 2 plaques identiques chargées + et -, le champ est nulle? En fait, on a un champ de même "norme" mais de signe opposé.
Je crois avoir bien compris. Juste une dernière question, c'est quoi une surface fermée?
Ca veut dire surface finie? (par rapport à infinie)?

[Jeanpaul]

Ok merci j'ai compris à peu près tout.
"Prenons l'exemple des 2 fils chargés, on peut dire que le champ résultat est la somme des 2 champs et comme chacun est dans le plan de symétrie, la somme le sera aussi."
Là on utilise juste le principe de superposition. C'est ca?

"Le champ a tourné de 180° et a changé de signe mais en fait il est le même" C'est pour ca qu'entre 2 plaques identiques chargées + et -, le champ est nulle? En fait, on a un champ de même "norme" mais de signe opposé.
Je crois avoir bien compris. Juste une dernière question, c'est quoi une surface fermée?
Ca veut dire surface finie? (par rapport à infinie)?

On peut appeler ça le principe de superposition ou dire que le champ est la somme de 2 vecteurs.
Une surface fermée c'est un ballon qui délimite un intérieur et un extérieur, pas comme une bulle de savon qui prend appui sur un cercle de fil de fer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Dans la suite de l'explication de Jeanpaul, le flux est (dans Gauss et ailleurs) l'intégrale:

Pour que le théorème de Gauss permette de calculer E il faut que l'on puisse sortir le E de l'intégrale. Si non, il est vrai, mais inutile pour le calcul. Pour sortir le E il faut trouver une surface qui soit perpendiculaire à E (pour que les deux vecteurs de l'intégrale soient parallèles), et que E ait la même valeur su toute la surface. Évidemment E n'aura la même valeur que qui la surface est une surface avec la même symétrie que le problème.
Dans ce cas, le produit scalaire est égal au produit des modules, on peut sortir E de l'intégrale et il ne nous reste que l'intégrale de la surface, c'est à dire, la surface elle même.

Dans certains cas, on peut "tricher" si on peut trouver une surface dans laquelle E satisfasse les conditions, même si la surface n'est pas fermée. Mais dans ce cas il faut que l'intégrale soit nulle sur la surface qu'il faut ajouter pour fermer la surface d'intégration.
C'est le cas du fil infini avec une charge uniforme. L'intégrale sur les ""couvercles" du cylindre est nulle.
Au revoir.

[invite388d08ab]

Je crois avoir compris la chose.
Une surface fermée, c'est une surface avec un dedans et un dehors. Par exemple, un tuyau, c'est pas une surface fermée parce qu'il a 2 trous de chaque côté. Mais si on le bouche le tuyau, des 2 cotés, ca devient une surface fermée.
Je comprends pourquoi, pour le fil infini, c'est pas vraiment une surface fermée mais je vois pas pourquoi on a la condition: "intégrale doit être nulle". L'intégrale ici est égale au produit scalaire de E et de dS (normale à la surface de gauss). Si c'est nulle, avec la surface est perpendiculaire au champ électrique... (je viens de relire ce que j'ai écrit lol...).
Si j'ai bien compris, cette condition E.dS = vecteur nul, elle découle de la direction de E (qu'on peut trouver grâce au principe de curie et la symétrie du problème).
En fait, pour un fil, le théorème gauss ne nous apporte pas grand chose, ca serait plutot pour des trucs volumiques non?
Le plus difficile, ca va être de choisir la surface en fait =(

[LPFR]

Re.
Le vecteur associé à une surface est perpendiculaire à la surface. Évidemment il y a toujours une ambiguïté sur lequel des deux côté de la surface on choisit. Pour Gauss, on choisit la surface extérieure. Et le produit scalaire de E avec le vecteur surface est maximum si E est perpendiculaire à la surface.

Dans le cas du fil. On choisit un cylindre. Sur la partie cylindrique, E est perpendiculaire à la surface (dont parallèle au vecteur surface) et E serait sortable de l'intégrale. Sauf que ce n'est pas un volume. On ferme le cylindre et sur les couvercles E est parallèle à la surface et le produit scalaire est nul, puisque E et le vecteur surface sont perpendiculaires. L'intégrale est formée de trois parties, dont les deux couvercles, qui donnent zéro.

Même chose quand on détermine les conditions limites à l'interface entre deux milieux. On utilise une "boite de camembert" comme volume d'intégration, et on se débrouille pour que l'intégrale sur le pourtour soit nulle.

Au revoir.

[invite388d08ab]

Oki je vois.
Donc, un fil infini, on l'assimile à un tuyau cylindrique. Au niveau de la section circulaire (ce que tu appelles les couvercles), E est bien parallèle à ces couvercles donc on s'en occupe pas. Mais sur les parois du cylindre (2πrl avec l longueur du cylindre (on suppose qu'il est fini mais qu'il est bien bien long lol) et r son rayon (même si c'est pas un volume, on peut supposer que r c'est la distance fil/point M qu'on étudie)), E est perpendiculaire à la surface, donc:

FluxE = Intr (E.dS) =E.S (prodScal)= ES (car E perpend à Surface) = E2πrl or FluxE = q/ε
On a alors: E = q/2πrlε
et q/l = densité linéique
Tout ca ca marche si E est uniforme près de la surface considérée. C'est trop cooool je crois avoir compris le truc
Désolé d'être lourd comme ca, mais c'est la première fois que j'utilise ce théorème, les notions qui vont avec (surface fermée, flux de courant etc).
Juste une dernière question, qu'est-ce qui permet le passage de Intégr(E.dS) à E.S (produit scal) ? C'est la derniere chose qui reste floue.

Merci beaucoup Il est bien puissant ce théorème =)

[LPFR]

Re.
D'abord, si les deux vecteurs sont parallèles le produit scalaire se réduit au produit de modules. Puis, si E a le même module sur toute la surface, on peut le sortir de l'intégrale et il ne reste que
.

Je peux vous ajouter la version "grande mère" du théorème de Gauss: "Tout ce qui se crée à l'intérieur (d'un volume) est égal à tout ce qui sort (du volume)". Ce qui côté maths s'écrit:

A+

[Jeanpaul]

Le produit scalaire E.ds est un scalaire, comme son nom l'indique. Il s'ajoute simplement. Si E.ds est constant sur toute la surface et si E est perpendiculaire à la normale, ça revient à multiplier E par S.
a part cela, le flux de E c'est bien le flux sortant, qu'on serait bien en peine de définir si la surface n'était pas fermée.

[invite388d08ab]

Je vois. Donc en général on utilise le produit scalaire (cos(A)= 1 car les vecteurs sont colinéaires).
Merci beaucoup pour toutes ces précisions, je vais m'amuser à tester ces nouvelles connaissances. =)