Calcul d'un écoulement bidimensionnel

[Fjord]

Bonsoir,

Mon problème concerne la résolution de l'équation de Stockes pour un écoulement incompressible:
(1)
(2)

Dans le cas bidimensonnel, pour résoudre plus facilement (1), mon professeur introduit une fonction de transfert telle que:



Le cours dit alors qu'en utilisant les relations précédentes (3), ainsi que (2):

... on arrive à la relation suivante:
(4)



En remplaçant dans (2) et par leur expressions dans (3), j'arrive à 0=0.

De plus, je ne connais pas l'opérateur .



Je souhaiterais donc vous poser les deux question suivantes:
- Cet opérateur existe-t-il?
- Quelle est la bonne équation au quelle on doit parvenir?

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Bonne soirée,

Fjord
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[Fjord]

Dans le cas bidimensonnel, pour résoudre plus facilement (1), mon professeur introduit une fonction de transfert telle que:

Je voulais dire une fonction de courant.

[invite9f1cc1ef]

Bonsoir.

L'équation que vérifie la fonction de courant découle (c'est le cas de la dire!!) de la définition même de

En effet on peut définir également une fonction potentielle phi vérifiant (désolé de ne pas mettre les flèches vecteur) :

u=grad(phi)

Par ailleurs, on définit psi par :

u=Rot(psi.k)=grad(psi) produit vect k où k: vecteur unitaire de la direction orthogonale au plan de l'écoulement.

Donc, on a :

ux=d(phi)/dx et
uy=d(phi)/dy

et par définition de psi, on a le système que tu as écrit.

Donc par identification :

d(psi)/dy=d(phi)/dx et
d(psi)/dx=-d(phi)/dy

Donc lorsque l'on forme le Laplacien de psi, ce que l'on note aussi ,

on a d^2(phi)/dxdy -d^2(phi)/dydx ce qui est bien nul.

Donc psi vérifie :



ie : (Laplacien (psi)=0)

Pour ce qui est de , je pense que c'est le laplacien du laplacien :



Ce qui est bien sur vérifié puisque

[invite9f1cc1ef]

PS : Pour définir la fonction potentielle phi ainsi, on doit en plus supposer l'écoulement irrotationnel ce qui, je pense, est le cas dans cette partie de ton cours.

Bonne soirée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f1cc1ef]

PPS :

l'équation de Stockes

Stokes

[Fjord]

Merci pour ces explications !

Stokes

En effet, merci!

[invite9f1cc1ef]

Mais je t'en prie