Calcul d'un écoulement bidimensionnel

Fjord · 08/12/2008 - 20h01

Bonsoir,

Mon problème concerne la résolution de l'équation de Stockes pour un écoulement incompressible:
$\mu \nabla^2 u = \nabla p$ (1)
$\nabla . u =0$ (2)

Dans le cas bidimensonnel, pour résoudre plus facilement (1), mon professeur introduit une fonction de transfert $\psi$ telle que:

$\left \lbrace \begin{array}{l} \frac{\partial \psi}{\partial y}=u_x \\ \frac{\partial \psi}{\partial x}=-u_y \end{array} \right. (3)$

Le cours dit alors qu'en utilisant les relations précédentes (3), ainsi que (2):
$\frac{\partial u_x}{\partial x}+\frac{\partial u_y}{\partial y}=0$
... on arrive à la relation suivante:
$\nabla^4 \psi=0$ (4)

En remplaçant dans (2) $u_x$ et $u_y$ par leur expressions dans (3), j'arrive à 0=0.

De plus, je ne connais pas l'opérateur $\nabla^4$ .

Je souhaiterais donc vous poser les deux question suivantes:
- Cet opérateur existe-t-il?
- Quelle est la bonne équation au quelle on doit parvenir?

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît?

Bonne soirée,

Fjord

Fjord · 08/12/2008 - 20h38

Dans le cas bidimensonnel, pour résoudre plus facilement (1), mon professeur introduit une fonction de transfert $\psi$ telle que:

Je voulais dire une fonction de courant.

commonsense · 08/12/2008 - 21h09

Bonsoir.

L'équation que vérifie la fonction de courant découle (c'est le cas de la dire!!) de la définition même de $\psi$

En effet on peut définir également une fonction potentielle phi vérifiant (désolé de ne pas mettre les flèches vecteur) :

u=grad(phi)

Par ailleurs, on définit psi par :

u=Rot(psi.k)=grad(psi) produit vect k où k: vecteur unitaire de la direction orthogonale au plan de l'écoulement.

Donc, on a :

ux=d(phi)/dx et
uy=d(phi)/dy

et par définition de psi, on a le système que tu as écrit.

Donc par identification :

d(psi)/dy=d(phi)/dx et
d(psi)/dx=-d(phi)/dy

Donc lorsque l'on forme le Laplacien de psi, ce que l'on note aussi $\nabla^2$ ,

on a d^2(phi)/dxdy -d^2(phi)/dydx ce qui est bien nul.

Donc psi vérifie :

$\nabla^2 \psi =0$

ie : $\Delta \psi =0$ (Laplacien (psi)=0)

Pour ce qui est de $\nabla ^4$ , je pense que c'est le laplacien du laplacien :

$\nabla ^4 \psi =\Delta (\Delta \psi))$

Ce qui est bien sur vérifié puisque $\Delta \psi =0$

commonsense · 08/12/2008 - 21h10

PS : Pour définir la fonction potentielle phi ainsi, on doit en plus supposer l'écoulement irrotationnel ce qui, je pense, est le cas dans cette partie de ton cours.

Bonne soirée

commonsense · 08/12/2008 - 22h07

PPS :

l'équation de Stockes

Stokes

Fjord · 08/12/2008 - 22h21

Merci pour ces explications

!

Stokes

En effet, merci!

commonsense · 08/12/2008 - 22h23

Mais je t'en prie

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