[éléc] Echantillonage, Théoreme de Shannon. precision svp !

[invite027c07f8]

Bonjour

Après la lecture de l'article wikipedia
http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...yquist-Shannon

il dit : Le théorème de Nyquist-Shannon, nommé d'après Harry Nyquist et Claude Shannon, énonce que la fréquence d'échantillonnage d'un signal doit être égale ou supérieure au double de la fréquence maximale contenue dans ce signal, afin de convertir ce signal d'une forme analogique à une forme numérique.

Je ne comprends pas exactement ce que l'on veut faire avec un signal de passe

Dans la formule Fe>2Fmax avec Fmax=FC
Fe est la frequence d'échantillonage mais que signifie t elle concretement ? De même pour FC ?

Je sais résoudre ce probleme mais je ne comprends pas concretement ce qu'il reprensente
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[invité576543]

Je devrais pouvoir répondre, mais je ne comprends pas tout dans la question...

Je ne comprends pas exactement ce que l'on veut faire avec un signal de passe

C'est quoi un "signal de passe" ?

Dans la formule Fe>2Fmax avec Fmax=FC
Fe est la frequence d'échantillonage mais que signifie t elle concretement ? De même pour FC ?

C'est quoi FC? Fréquence de coupure? Dans quel cadre poses-tu ces questions?

Sinon la fréquence d'échantillonage c'est juste l'inverse du temps entre deux prises d'échantillons. Si la fréquence est 1000 Hz, on mesure la valeur du signal analogique toutes les ms.

Cordialement,

[invite027c07f8]

En fait je voulais dire , je ne comprends pas ce que signifie échantilloner un signal. On a un signal de base. Pourquoi l'échantilloner ?

FC est la frequence de coupure , FE est la frequence d'échantillonage

Pour moi , on a F , la frèquence de signal
FC frequence de coupure. pour un filtre ? mais a quoi sert le filtre ?
FE , frequence échantillonage , je ne signifie pas ce qu'elle represente

ps : frequence de passe , ce n'est rien , simplement une erreur d'écriture

[invite027c07f8]

Pour etre plus precis, voici la chaine

Image passée en pièce jointe : les images hébergées sur un site extérieur ne sont plus acceptées.
JPL, modérateur

la calculateur va échantilloner le signal ? cad ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

En fait je voulais dire , je ne comprends pas ce que signifie échantilloner un signal. On a un signal de base. Pourquoi l'échantilloner ?

Echantillonner, c'est prendre une valeur instantanée du signal régulièrement.

La fréquence d'échantillonnage c'est le nombre d'échantillons pris chaque seconde.

Pourquoi échantillonner? C'est la première phase d'une discrétisation d'un signal. C'est comme les pixels d'une image. Un meilleur exemple est un film: on enregistre 25 images par seconde, c'est un échantillonnage à 25 Hz, ça consomme moins de bobine que de prendre une infinité de photos chaque seconde.

Pour coder en numérique, on ne peut prendre tous les instants du signal, il y en a une infinité! On n'en prend donc la valeur qu'à intervalle régulier, ça fait un nombre fini de valeurs chaque seconde.

Pour moi , on a F , la frèquence de signal

Non. Le signal a un spectre, pas une fréquence. (Sauf le cas particulier d'une sinusoïde pure, mais c'est assez limité.)

FC frequence de coupure. pour un filtre ? mais a quoi sert le filtre ?

Échantillonner "replie le spectre". C'est comme un stroboscope (un stroboscope est une méthode d'échantillonnage!), si un mouvement est trop rapide par rapport au rythme du stroboscope, on peut voir des mouvements rotatifs "tourner à l'envers" plus généralement des mouvements rotatifs ou oscillants apparaître comme plus lents qu'ils ne le sont.

Pour éviter ces phénomènes, le plus simple est de procéder à un traitement préalable enlevant "ce qui va trop vite" dans le signal, c'est à dire filtrer par un filtre passe-bas, de fréquence de coupure inférieure ou de l'ordre de la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

Cordialement,

[gatsu]

En fait je voulais dire , je ne comprends pas ce que signifie échantilloner un signal. On a un signal de base. Pourquoi l'échantilloner ?

Salut,

Un signal c'est quelque chose de très général. Ca peut être par exemple la coordonnée x d'un mobile autoporteur sur un banc à coussin d'air (comme on fait au lycée). Je ne sais pas si tu as déjà fait des acquisitions de trajectoires mais ton appareil photo (ou un capteur quelconque) va prendre des relevés de la position x espacés par un certain intervalle de temps . A ce moment là tu fais un échantillonage de la trajectoire en fonction du temps c'est à dire :
"tu ne prélèves qu'une certaine partie de l'information contenue dans la trajectoire"
cette certaine partie représente un échantillon de l'ensemble de la trajectoire d'où le terme échantillonage.

Le théorème de Schannon te dit que si tu fais un échantillonage "idéal" avec une certaine fréquence d'échantillonage et que ton signal a un spectre qui dispose d'une fréquence de coupure alors si l'échantillonage que tu as fait te permettra (par filtrage et TF inverse) de retrouver l'ensemble du signal échantilloné....ce qui est assez extraordinaire !

[chrisric]

bonsoir,
vous avez un exemple typique d'une chaine d'acquisition numérique.
Le calculateur traite des nombres, il doit alors transformer le signal analogique en une suite de nombres. On commence par prélever des échantillons (des valeurs prises périodiquement sur le signal). Ensuite on convertit chaque échantillon en un nombre représentatif.
Le théorème de Shannon indique qu'il faut au moins deux échantillons par période d'évolution du signal analogique pour en saisir toutes les informations.
Comme il y a un filtre qui coupe les fréquences supérieures à Fc, on devra prendre Fe ≥ 2 Fc. en pratique on prend un peu plus.
Bonne continuation.

[invite027c07f8]

Merci beaucoup pour ces explication très claires

Dans le cas d'une période " complexe " , avec seulement deux points , la precision est très faible !?

[b@z66]

Merci beaucoup pour ces explication très claires

Dans le cas d'une période " complexe " , avec seulement deux points , la precision est très faible !?

Qu'entends-tu par "période complexe"? Dans le cas où on échantillonne une sinusoïde de fréquence fm par un échantillonnage de fréquence fe=2fm(où très légèrement supérieure car sinon tu peux tomber sur le cas où tu échantillonnes tous les passages par zéro de la sinusoïde), on arrive très bien à reconstruire le signal "non-échantillonné" à partir des seuls échantillons grâce à un filtrage passe-bas "très abrupte" de fréquence de coupure fc légèrement supérieure à fm. Lorsque le signal est composé d'autres fréquences plus faible que fm, le taux d'échantillonnage de période Te=1/fe=1/(2fm) garantit que pour chacune de ces fréquences, on aura au moins deux échantillons par période. C'est ce qu'indique le théorème de Shannon concernant l'échantillonnage.

[invite027c07f8]

J'entends par complexe , " compliqué " avec de nombreuses variations sur la période

Mais l'explication a été très claire

merci beaucoup aux membres ayant répondu a mes questions

[b@z66]

J'entends par complexe , " compliqué " avec de nombreuses variations sur la période

Mais l'explication a été très claire

merci beaucoup aux membres ayant répondu a mes questions

La théorie de Fourier montre qu'un signal "complexe" peut-être considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux. Le théorème de Shannon se généralise alors facilement en considérant que si la condition de Shannon(f<fe/2) est réalisé pour la fréquence maximale du signal, elle l'est également pour les fréquences plus faibles.

[stefjm]

Le théorème de Schannon te dit que si tu fais un échantillonage "idéal" avec une certaine fréquence d'échantillonage et que ton signal a un spectre qui dispose d'une fréquence de coupure alors si l'échantillonage que tu as fait te permettra (par filtrage et TF inverse) de retrouver l'ensemble du signal échantilloné....ce qui est assez extraordinaire !

En fait, ce n'est pas si extraordinaire que cela!
Comme il n'y a pas de fréquence supérieure à fe/2, deux points suffisent à définir la sinusoïde de fréquence maximum! (Sauf si pas de chance, on tombe toujours sur 0, d'ou le strictement > .)

Ce théorème de Shannon m'apparait comme un principe d'économie.
Si la fréquence des signaux physiques est bornées, procéder à un échantillonnage ne perd pas d'information.
Cette raison m'encourage à penser que nous vivons dans un monde numérique car la nature est économe et donc échantillonne ses signaux avant traitements numériques. ?

[stefjm]

Pour éviter ces phénomènes, le plus simple est de procéder à un traitement préalable enlevant "ce qui va trop vite" dans le signal, c'est à dire filtrer par un filtre passe-bas, de fréquence de coupure inférieure ou de l'ordre de la moitié de la fréquence d'échantillonnage.

"Traitement préalable" (avant traitement numérique) implique filtrage analogique. (non numérique évidement)
Cordialement.

[GrisBleu]

Salut

Si ca se trouve, dans le filtre, il y a un un CAN avec une frequence tres rapide, un filtre numerique et un CNA

[invite17b4d62c]

D'ailleurs, une question que je me suis souvent posée : un signal qui est échantillonné dans le temps et quantifié en intensité permet-il vraiment de restituer TOUT le spectre < freq d'éch. /2, sans distortion harmonique ni décalage de phase ? Ça m'a toujours semblé impossible parce que ça prétendrait avoir une infinité d'informations alors que le signal est justement échantillonné (donc perte d'information).

[Chip]

D'ailleurs, une question que je me suis souvent posée : un signal qui est échantillonné dans le temps et quantifié en intensité permet-il vraiment de restituer TOUT le spectre < freq d'éch. /2, sans distortion harmonique ni décalage de phase ?

Oui! (après filtrage) C'est justement l'objet de ce théorème

[invite17b4d62c]

Oui! (après filtrage) C'est justement l'objet de ce théorème

Non justement, à ma connaissance ce théorème ne prend pas en compte la discrétisation des intensités, il considère que le signal échantillonné l'est parfaitement, qu'il s'agit de nombres réels, ce qui n'est pas le cas avec un signal numérique. Si par exemple tu échantillonnes à 44ksps avec 1 seul bit d'information, tu vas obtenir de l'aliasage, des harmoniques non désirées dans le signal une fois restitué.

[Chip]

Non justement, à ma connaissance ce théorème ne prend pas en compte la discrétisation des intensités, il considère que le signal échantillonné l'est parfaitement, qu'il s'agit de nombres réels, ce qui n'est pas le cas avec un signal numérique. Si par exemple tu échantillonnes à 44ksps avec 1 seul bit d'information, tu vas obtenir de l'aliasage, des harmoniques non désirées dans le signal une fois restitué.

Désolé je n'avais pas vu que tu parlais de discrétisation. Le théorème de Shannon ne porte effectivement pas sur cet aspect. Ceci dit je ne pense pas qu'on puisse dire que quantifier avec une profondeur insuffisante produit de l'aliasage (repliement de spectre).

[invité576543]

D'ailleurs, une question que je me suis souvent posée : un signal qui est échantillonné dans le temps et quantifié en intensité permet-il vraiment de restituer TOUT le spectre < freq d'éch. /2, sans distortion harmonique ni décalage de phase ? Ça m'a toujours semblé impossible parce que ça prétendrait avoir une infinité d'informations alors que le signal est justement échantillonné (donc perte d'information).

La quantification de l'intensité est obligatoirement une perte d'information. Donc, non, un signal échantillonné et quantifié ne permet pas de restituer le signal d'origine.

Par contre un signal de durée infinie de spectre parfaitement borné peut être reconstitué parfaitement à partir de l'infinité des valeurs analogiques échantillonnées. L'échantillonnage n'est donc pas nécessairement une perte d'information.

Notons que c'est un résultat sans application pratique tel quel, puisque les infinis en question ne correspondent pas à une situation pratique. Et sans l'infini, l'échantillonnage est source de perte d'information, pas en lui-même, mais parce qu'on ne dispose pas de l'infinité des échantillons pour reconstruire le signal.

Cordialement,

[GrisBleu]

D'ailleurs, une question que je me suis souvent posée : un signal qui est échantillonné dans le temps et quantifié en intensité permet-il vraiment de restituer TOUT le spectre < freq d'éch. /2, sans distortion harmonique ni décalage de phase ? Ça m'a toujours semblé impossible parce que ça prétendrait avoir une infinité d'informations alors que le signal est justement échantillonné (donc perte d'information).

Salut

La quantification amene du bruit. En gros, tu peux modeliser sans faire d'erreur importantes que le signal quantifie est le signal original plus un bruit. La puissance de ce bruit etant directement lie au pas de quantification: plus de bit, moins de bruit
++

[stefjm]

Ce théorème de Shannon m'apparait comme un principe d'économie.
Si la fréquence des signaux physiques est bornées, procéder à un échantillonnage ne perd pas d'information.
Cette raison m'encourage à penser que nous vivons dans un monde numérique car la nature est économe et donc échantillonne ses signaux avant traitements numériques.
?

"Traitement préalable" (avant traitement numérique) implique filtrage analogique. (non numérique évidement)

Salut

Si ca se trouve, dans le filtre, il y a un un CAN avec une frequence tres rapide, un filtre numerique et un CNA

Je le savais, je le savais.
En fait, tout est numérique, même l'analogique; simplement la fréquence d'échantillonage est très élevée. (fréquence de Broglie?)

[gatsu]

En fait, ce n'est pas si extraordinaire que cela!
Comme il n'y a pas de fréquence supérieure à fe/2, deux points suffisent à définir la sinusoïde de fréquence maximum! (Sauf si pas de chance, on tombe toujours sur 0, d'ou le strictement > .)

Bien sûr mais ce n'est pas évident a priori au moment de l'échantillonage. L'idée intuitive voudrait qu'un échantillon du signal ne puisse pas contenir toute l'information du signal (je sais pas pourquoi mais ça me fait un peu penser aux ensembles de Cantor...).

[invité576543]

Et ce qui est "évident" pour une sinusoïde ne l'est pas pour une somme infinie de sinusoïdes, surtout quand elles ont des fréquences irrationnelles entre elles...

Cordialement,

[stefjm]

Bien sûr mais ce n'est pas évident a priori au moment de l'échantillonage.

Sans doute parce qu'on "oublie" à priori le fameux théorème de Shannon?
L'expression "au moment de l'échantillonnage" cache le fait que cet échantillonnage est périodique et qu'il y a donc une information de période d'échantillonage et une information implicite de période max de signal.

Je reconnais néamoins que c'est troublant, mais je pense que c'est parce que l'échantillonnage est mal présenté au départ. (en général, sinon, cela ne devrait pas troubler... )

L'idée intuitive voudrait qu'un échantillon du signal ne puisse pas contenir toute l'information du signal (je sais pas pourquoi mais ça me fait un peu penser aux ensembles de Cantor...).

Sûr qu'il y a derrière tout cela des histoires de continuité ou de discontinuité.
Dès qu'on cherche à échantilloner une discontinuité, il faut une fréquence infinie!

Si tu voulais bien préciser ta pensée à propos des ensembles de Cantor, je manque un peu de culture générale à ce sujet. (et je ne veux pas finir fou! )

[invité576543]

Sûr qu'il y a derrière tout cela des histoires de continuité ou de discontinuité.

Et pour cause... Supposer un spectre à support borné implique que le signal est C_infini.

Cordialement,

[invité576543]

Par ailleurs, "l'étonnement" peut être relié à des réflexions mathématiques. L'espace des fonctions réelles définies sur tout R a un cardinal strictement supérieur à celui du continu. Or l'échantillonnage revient à utiliser une base dénombrable. Il est donc clair que l'ensemble des signaux qui peuvent être reproduits fidèlement après échantillonnage est (un sous-espace vectoriel) de mesure nulle dans l'ensemble de tous les signaux.

La restriction est bien évidemment le support borné du spectre, qui, via le théorème d'échantillonnage, est montré comme un tout petit petit sous-ensemble des signaux.

C'est d'ailleurs plus facile à voir dans l'autre sens, celui de la synthèse, où on voit bien qu'on construit un ensemble de signaux comme un sous-espace vectoriel ayant une base dénombrable, la base étant composée des sinus cardinaux centrés sur les moments d'échantillonnage et de paramètre la période.

Cordialement,

[stefjm]

Et ce qui est "évident" pour une sinusoïde ne l'est pas pour une somme infinie de sinusoïdes, surtout quand elles ont des fréquences irrationnelles entre elles...

J'ai choisi la sinusoïde de fréquence max pour le raisonnement intuitif.

Dans le cas d'un spectre continu, je reconnais que j'ai toujours été gêné par l'irrationnalité ou non des différentes fréquences. Que signifie cette irrationnalité d'un point de vue physique?

Dès qu'on passe en tout numérique, il y a moins de soucis : Tout est périodique et échantillonné dans les deux domaines. (temporel et fréquentiel)

Edit : croisement d'enfer avec Mmy

[invité576543]

Dans le cas d'un spectre continu, je reconnais que j'ai toujours été gêné par l'irrationnalité ou non des différentes fréquences. Que signifie cette irrationnalité d'un point de vue physique?

Dès qu'on passe en tout numérique, il y a moins de soucis : Tout est périodique et échantillonné dans les deux domaines. (temporel et fréquentiel)

A noter que que l'indétermination de Heisenberg relie temporel et fréquentiel, et que le double échantillonnage peut être vu comme la délimitation de petits "domaines" de l'espace temporo-fréquentiel, que le théorème de Shannon montre comme ayant une surface minimale (celle permettant de passer exactement un symbole par période, un degré de liberté du signal), ce qui est étroitement relié à l'indétermination de Heisenberg. On peut aussi faire un parallèle avec des calculs de l'entropie, un "domaine" de l'espace des phases devant avoir une taille minimum (h) par degré de liberté.

Comme la question de l'irrationalité n'a de sens qu'avec des fréquences infiniment précises, cette indétermination vide de sens la question de l'irrationalité du point de vue physique.

Cordialement,

[gatsu]

Si tu voulais bien préciser ta pensée à propos des ensembles de Cantor, je manque un peu de culture générale à ce sujet. (et je ne veux pas finir fou! )

Il n'y a rien de bien rigoureux mais c'est juste que tu prends a priori un sous-ensemble de points (l'échantillon) et ce sous ensemble d'une certaine manière contient l'ensemble de l'information du signal (moyennant un filtrage passe bas). Je me demandais si il existait une mesure de cette information telle que la mesure du sous ensemble soit égale à la mesure du tout comme dans l'ensemble de Cantor avec la mesure de Lebesgue.

[b@z66]

Il n'y a rien de bien rigoureux mais c'est juste que tu prends a priori un sous-ensemble de points (l'échantillon) et ce sous ensemble d'une certaine manière contient l'ensemble de l'information du signal (moyennant un filtrage passe bas). Je me demandais si il existait une mesure de cette information telle que la mesure du sous ensemble soit égale à la mesure du tout comme dans l'ensemble de Cantor avec la mesure de Lebesgue.

Je crois que le théorème de Shannon concernant le codage de canal continu utilise effectivement cette discrétisation de l'information, pour la définir, puisque l'on considère dans son expression un signal borné en fréquence(et donc échantillonnable selon son autre célèbre théorème).