Theorie des groupes pour physiciens !

[invite2e8ce853]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :



et apres le livre que je lis m'explique que ce n'est pas une representation unique du groupe parce que


Pour me dire ensuite que la premiere equation definie un mapping ou a chaque R(\phi) est assigne 2 nombres complexe. ce qui est censé etre une "two-valued representation"
(bien sur ca me fait penser a un spin 1/2 qui est invariant par rotation de 4\pi mais bon c loin d'etre claire)
Si quelqu'un pouvait m'expliquer dans ce cas particulier ce que l'auteur a pu bien vouloir dire par la !
Merci d'avance!

[invitee8334059]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :



et apres le livre que je lis m'explique que ce n'est pas une representation unique du groupe parce que


Pour me dire ensuite que la premiere equation definie un mapping ou a chaque R(\phi) est assigne 2 nombres complexe. ce qui est censé etre une "two-valued representation"
(bien sur ca me fait penser a un spin 1/2 qui est invariant par rotation de 4\pi mais bon c loin d'etre claire)
Si quelqu'un pouvait m'expliquer dans ce cas particulier ce que l'auteur a pu bien vouloir dire par la !
Merci d'avance!

Bonjour Melkior, il me semble qu'avant de tenter une explication je dois écrire quelques principes de bases de la théorie des représentations qui est associé à la théorie des groupes.
Dans le cadre d'un groupe de symétrie, et SO(2) en est un, il est possible de définir des représentation du groupe c'est à dire une caractérisation matricielle du groupe.
Ainsi, une symétrie s'applique dans un espace donné et elle donne une représentation du groupe de symétrie.
Par ailleurs, une représentation multivaluée est une représentation qui fait appel à plusieurs valeurs propres pour un même opérateur de symétrie.
dans le plan complexe, une matrice de rotation peut ainsi avoir deux valeurs multiples d'un même angle modulo 2*Pi.
Les fonctions associés à des paramètres complexes qui donnent pour des angles modulo 2*Pi des valeurs différentes sont dites "multiformes".peut être est ce là le sens à donner à "multivalués", des fonctions multiformes qui définirait des représentations de groupe de symétrie dans le plan complexe.

[inviteeb5c505e]

Dans l'espace ordinaire, une rotation R(phi) et R(Phi+2pi) c'est la même chose.
Dans l'espace de Hilbert des particules de spin 1/2, la représentation des rotations est bivaluée (Two-valued représentation), puisque on voit que l'opérateur Unitaire correspondant à R(phi+2pi) n'est pas U mais -U. Pour un même état de base par exemple de cet espace, les deux opérateurs unitaires représentants de la même rotation d'espace, donneront des valeurs propres (nombres complexes exp(-iphi/2) et -exp(-iphi/2)) différentes, donc des mesures différentes pour un même état.

Sur ce lien, http://www.imprimerie.polytechnique....s/toledano.pdf
aux pages 50 et 29, entre autres c'est bien expliqué.

[invite7ce6aa19]

Bonjour a tous,


Je suis en train d'apprendre la theorie des groupes et je bloque quelque peu sur la notion de representation multivaluée...
J'ai hesite a pose ma question dans la rubrique math, mais je me suis dis qu'une reponse de physicien serait plus claire pour moi !

Dans le cadre de la representation de SO(2), on considere le mapping suivant ( je ne sait meme pas comment cela ce traduit en francais a force de lire tout en anglais) :

Mapping = application

Au vu de ce que tu as écrit il ne s"agit certainement pas du groupe SO(2) mais plus vraisemblablement du groupe SU(2).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteca4b3353]

Au vu de ce que tu as écrit il ne s"agit certainement pas du groupe SO(2) mais plus vraisemblablement du groupe SU(2).

Non il me semble qu'il s'agit bien de SO(2) qui est isomorphe à U(1).

[invite7ce6aa19]

Non il me semble qu'il s'agit bien de SO(2) qui est isomorphe à U(1).

.
Je ne crois pas parce qu'il se pose une question sur un problème de representation bivaluée.

SO(2) represente U(1) et lycée de vesailles. Les representations de U(1) sont en correspondance avec les representations de SO(2).
.
Par contre a une representation de SO(3) correspond 2 representations de SU(2) une matrice U et une matrice -U; D'ailleurs il y a un indice 1/2 dans ses notations qui fait certainement référence au spin

[inviteca4b3353]

Je ne crois pas parce qu'il se pose une question sur un problème de representation bivaluée.

je ne vois pas en quoi cela empêche qu'il parle bien de SO(2) ?

D'ailleurs il y a un indice 1/2 dans ses notations qui fait certainement référence au spin

Le 1/2 me fait penser à la charge associée à cette représentation, si on pense à exp(ip/2) comme une transformation de U(1).

[invite7ce6aa19]

je ne vois pas en quoi cela empêche qu'il parle bien de SO(2) ?

A un nombre complexe de module unité de U(1) correspond un seul et un seul angle teta qui définit une matrice réelle de dimension 2 de SO(2). Il n(y a donc pas de bivualition dans ce cas. Ce n'est plus le cas de SO(3)

Le 1/2 me fait penser à la charge associée à cette représentation, si on pense à exp(ip/2) comme une transformation de U(1).

C'est fortuit. D'aillueurs sa présentation est peu claire, ce qui a comme avantage d'alimenter notre discussion.

[invite9c9b9968]

Je ne sers à rien si ce n'est que je suis d'accord avec Karibou, c'est du SO(2) : tu la vois où la matrice de Pauli dans son écriture de U ??

[inviteeb5c505e]

Ce que je comprends c'est qu'il s'agit par exemple des rotations dans le plan autour de Oz, donc bien de SO(2). La représentation bivaluée étant alors dans un sous-groupe à un paramètre de SU(2).

[invite7ce6aa19]

Je ne sers à rien si ce n'est que je suis d'accord avec Karibou, c'est du SO(2) : tu la vois où la matrice de Pauli dans son écriture de U ??

Si je comprends ses notations il s'interroge sur le fait qu'une rotation décalée de 2 Pi donne une representation avec le signe moins.

Cette situtation ne peut pas avoir lieu avec SO(2) par contre ceci est une caractéristique de SO(3) où une rotation de 2.PI fait correspondre dans SU(2) la même matrice avec le signe moins. Ceci pour des raisons de topologie globale bien connues.
;
D'aillieurs examinons l'argument de Karibou . Supposons qu'il s'agisse de U(1). Karibou interprète le 1/2 comme une charge. Dans la terminologie des groupes cela veut dire qu'il s'agit de la representation irréductible 1/2 de U(1).

pour être plus précis l'angle Teta qui est représenté par une matrice réel 2.2 de SO(2) est en relation biunivoque avec la representation de U (1) qui est:

exp[i.1/2.teta]

téta varie entre 0 et 2.Pi de SO(2).

Quand on compose teta = teta1 + teta2 teta ne peut pas prendre de valeur supérieur à 2.Pi (le groupe est compact). Donc teta + 2.pi = téta

Donc pour un angle tétat et la representation irréductible q (la charge) il n'y qu'une seule matrice (ici c'est un nombre) qui est: exp[i.q.teta]: la representation est monovaluée.
.
Aurais-je fait une erreur de raisonnement? a vous de me le dire.

[inviteeb5c505e]

Si je comprends ses notations il s'interroge sur le fait qu'une rotation décalée de 2 Pi donne une representation avec le signe moins.

Cette situtation ne peut pas avoir lieu avec SO(2) par contre ceci est une caractéristique de SO(3) où une rotation de 2.PI fait correspondre dans SU(2) la même matrice avec le signe moins. Ceci pour des raisons de topologie globale bien connues.

Je n'arrive pas à voir pourquoi ce ne pourrait pas être possible avec SO(2)?

En fait je pense que le livre dont est parti Melkior pour sa question, est "Tung Wu-Ki, Group theory in physics" (même notations que Melkior). Je comprends que SO(2) est topologiquement "multiplement connexe" puisque les tours de cercles de nombre de tours différents ne peuvent se déformer les uns dans les autres. D'où les représentations multivaluées. En tout cas c'est ce que je comprends (paragraphe 6.5 page 88).

Par ailleurs une rotation de SO(2), n'est-elle pas qu'un cas particulier de rotation de SO(3), donc bivaluée dans SU(2)?

[invite7ce6aa19]

Je n'arrive pas à voir pourquoi ce ne pourrait pas être possible avec SO(2)?

.
SO(2) c'est le groupe de transformation qui laisse invariant le cercle. Une tranformation agissant sur un vecteur est représenté par une matrice 2.2 paramétré par l'angle teta. Cet angle varie sur l'intervalle [0,2pi[ ; 2pi a été identifié à 0. Il n'est pas question de sortir de cet intervalle. Si c'est le cas il ne s'agit plus de SO(2).

Le groupe U(1) c'est le groupe qui laisse invariant la forme X.X* X est un vecteur complexe à 1 dimension
.
(on rappelle que cos(teta) + i.sin(teta) = exp(i.teta) qui établit la correspondance entre le paramètre teta de SO(2) et le changement de base U(1) ci-dessous.

Par un changement de base exp (i.Q.teta)

X devient X.exp (i.Q.teta)
X* devient: x*exp (- i.Q.teta)

donc X.X* est bien invariant

Ce qui signifie pour le groupe U(1) quer la tranformation Teta est représentée dans la base des nombres complexes par la matrice (1 dimension) exp (i.Q.teta) qui est la representation irréductible Q.

Donc a l'ensemble des transformations teta correspond une infinité de representations irréductibles nommées par l'indice Q. Bien entendu cela n'a rien à voir avec une quelconque multivaluation

.

En fait je pense que le livre dont est parti Melkior pour sa question, est "Tung Wu-Ki, Group theory in physics" (même notations que Melkior). Je comprends que SO(2) est topologiquement "multiplement connexe" puisque les tours de cercles de nombre de tours différents ne peuvent se déformer les uns dans les autres. D'où les représentations multivaluées. En tout cas c'est ce que je comprends (paragraphe 6.5 page 88).

Pour qu'il y ai une notion de multiconnexité il faudrait qu'il y ai un trou au centre du cercle, mais je ne vois pas le rapport avec SO(2)

Par ailleurs une rotation de SO(2), n'est-elle pas qu'un cas particulier de rotation de SO(3), donc bivaluée dans SU(2)?

rien d'évident a vue de nez. Une representation irréductible de SO(3) va se décomposer en plusieurs représentations irréductibles de SO(2).Donc je ne voi pas immédiatement comment les representations de sO(2) vont être associées aux representations irréductibles multivaluées de SU(2)

[inviteeb5c505e]

Mariposa,

Je comprends plus ou moins ce que tu dis mais j'avoue être un peu perdu. Que penses-tu de ce que dit Tolédano dans son cours à la page 46 : http://www.imprimerie.polytechnique....s/toledano.pdf.
Je cite :" (1.79) U'=U(theta+2pi)= - U(theta); Les rotations T(theta) autour de z engendrent le groupe continu G=SO(2). L'identité (1.79) [...] montre que U(theta) engendre un sous-groupe à un paramètre de SU(2), homomorphe (1:2) de SO(2)."

Je croyais avoir compris et c'est pour ça que je suis intervenu dans cette discussion, mais maintenant je suis largué. Peut-être est-ce un problème de définition de SO(2)?

Je cite Tung aussi : "ln the case of SO(2), the group parameter space (the unit circle) is "multiply-connected, which implies the existence of multi-valued representations." Je croyais aussi avoir compris ça...

Plus je comprends (les phrases), moins je comprends (la physique)!

[inviteeb5c505e]

J'ai un peu de mal à suivre, mais je pense que beaucoup de réponses aux questions posées doivent se trouver dans le livre de Tung qui est je pense à l'origine de cette discussion.

[invite35452583]

Je vais essayer de clarifier certains points (au moins au niveau mathématique).
U(1) groupe unitaire de C¹=C qu'on identifie sans aucune difficulté avec les complexes unitaires.
SO(2) groupe spécial orthogonal de R² qu'on identife sans difficulté avec les rotations de centre O ou encore avec les matrices de la forme

deux matrices ou deux rotations en décalage de phase un multiple de sont égales.
Comme les complexes unitaires sont de la forme deux complexes en décalage de phase un multiple de sont égaux.
On a donc un isomorphisme (ou homomorphisme (1;1)) entre U(1) et SO(2).
Maintenant, on a aussi l'isomorphisme R/Z->U(1) x->.
Preuve : f : R->U(1) x-> est un revêtement universel de fibre Z car R est trivialement simplement connexe (il est contractile).
A partir de celui-ci on peut montrer que les groupes d'homotopie de U(1) et donc de SO(2) et de S¹ sont nuls sauf celui de degré 1 qui est isomorphe à Z.
L'idée de la démonstration est celle-ci :
Degré 1 : on envoie dans Z ainsi :
Soit un lacet de S1 càd un chemin continue c : [0,1]->s1 avec c(0)=c(1)=1
Alors il existe un uniquement relèvement c' : [0,1]->R, càd foc'=c, tel que c'(0)=0. Comme d(c)=foc'(1_R)=c(1_R)= 1_C (l'indice précise l'espace dans lequel on est placé) c'(1) est dans Z. (C'est de l'holonomie)
En effet, comme [0,1] est compact il existe e>0, nombre de Lebesgue associé au recouvrement de [0,1] par les composantes connexes des deux ouverts c^-1(S1\{1}) et c^-1(S1\{1}) tel que pour tout intervalle c([ke;(k+1)e]) soit inclus dans S1\{1} ou dans S1\{-1}.
Comme c'([0,e]) est connexe car image d'un connexe, or c(0) est dans ]-1/2;1/2[ donc c'([0,e]) est dans ]-1/2;1/2[, or la restriction de c à cet ouvert est un homéomorphisme de cet ouvert sur S1\{-1} donc on peut définir c' sur [0,e] et ceci de manière unique. En procédant par étape de longueur e on aboutit à l'existence et l'unicité.
Il faut montrer que c'est compatible aux classes.
Maintenant si on a une homotopie de lacets H : Ix[0,1]->S1 entre c₀(s)=H(0,s) et c₁(s)=H(1,s) (I=[0,1] aussi mais contient ici le paramètre de l'homotopie [0,1] contient le paramètre des lacets).
On recouvre Ix[0,1] par des rectangles R_i tels que H(Ri) soit inclus dans S1\{1} ou S1\{-1} et on relève H en H' (foH'=H) grace à l'homéomorphisme local et en imposant H(0,0)=0.
Maintenant, H(t,0) est un lacet constant donc se relève en un lacet constant par unicité ainsi H'(t,0)=0 pour tout t Ainsi, H'(0,s) (resp. H'(1,s)) est un lacet relevant c₁ (resp. c₂) commençant en 0 donc finit en d(c₁) (resp. d(c₂)). Comme de même H(t,1) est un lacet constant on a d(c₁)=d(c₂).
Maintenant l'injectivité, c₁ et c₂ tel que d(c₁)=d(c₂).
Il n'est pas difficile de voir que d est un morphisme de groupe (il faut penser à décaler le relèvement du deuxième lacet).
L'injectivité de d* (l'application induite par d sur le groupe fondamental) se voit ainsi, soit un lacet tel que d(c)=0, c'est donc un lacet dans R donc trivial. Il existe une homotopie dans R vers le lacet trivial, il suffit de composer cette homotopie avec f.
Ceci finit de montrer que et d'illustrer ce que signifie faire n tours (avec les relevés dans R on est capable de les compter).
Degré=2
On considère une application de [0,1]x[0,1] tel que tous les points du bord sont envoyés sur 1_C.
Cela se relève, comme une homotopie de lacets, dans R en imposant (0,0)->0 Mais comme le bord est connexe le relevé du bord est connexe et contient 0 tout le bord est envoyé sur 0 (ou on utilise l'unicité des relevés des chemins dont l'origine est fixé). Comme R est contractile en 0 on peut déformer continument vers l'application triviale et on peut projeter cette homotopie.
Degré>3, le même principe s'applique.

Maintenant, reprenons dans l'autre sens, comment "tuer" le groupe fondamental de S1.
On fait un tour "au-dessus" de S1, recolle-t-on avec l'origine ? non sinon on a un lacet non trivial donc on se place un peu au-dessus et on refait un tour, là aussi on ne recolle pas sinon il y a un lacet non trivial, etc on finit par faire la partie haute d'une spirale, puis on reprend dans l'autre sens et on ne recolle jamais avec les autres points au-dessus de 1 sinon on crée un lacet non trivial.
(Comment fait-on un revêtement universel en général ? La même idée on ne représente plus les points par eux-mêmes mais par des classes d'homotopie de chemin de même origine et de même extrémité (les homotopies laissant cette origine et cette extrémité invariante). On ne recolle donc pas si cela crée un lacet non trivial. Pour la topologie on munit l'espace de ces chemins de la topologie de la convergence uniforme puis on quotiente. Si l'espace est localement simplement connexe alors le gros espace et lui-même sont localement homéomorphes. On a un revêtement dont l'espace total est simplement connexe car on a détruit tous les lacets non triviaux.)
Revenons à notre cercle et à ces recollages. Si au 1er tour on ne recolle pas mais on recolle au deuxième que crée-t-on comme espace, un petit dessin montre vite que c'est aussi un cercle. On peut ainsi décider de recoller seulement au bout de n tours, on obtient encore un cercle.
Au niveau des groupes, R->R morphisme compatible avec le quotient=> c'est de la forme x->nx avec n entier. On a donc en quotientant R/Z->R/Z homomorphisme (1;n). On a donc aussi des homomorphismes de degré n de U(1) dans U(1) .

Par homéomorphisme de groupe continu, si on considère une application que l'on sait un morphisme de groupe continu U(1)->SO(2) il y a une indéterminée : combien de tour dans SO(2) doit-on faire pour revenir à l'identité dans U(1) (la même question se pose si on considère SO(2)->U(1), U(1)->U(1), SO(2)->SO(2)...). Comment détermine-t-on ce n ? En faisant comme précédemment en faisant continument un "tour" pour savoir où on aboutit dans l'espace de départ. C'est ce qui est fait dans le document de Toledano où U(1) est l'espace de représentation du spin d'une particule et SO(2) une rotation dans l'espace appliquée à cette particule autour d'un axe. Là par contre je ne me lance pas dans l'explication physique.
Par contre si on a un morphisme continu de groupe de SU(2) dans SO(3) alors à conjugaison près il est unique, entre autre il est bivalué, car on a pas l'équivalent de la multiplication par n. Ainsi, je pense que dans une situation où U(1) est un sous-groupe de U(2) et SO(3) un sous-groupe de SO(3), alors l'homomorphisme aura bien du mal à être autrement que bivalué (ce qui doit être une manière de montrer la relation pour un décalage de phase de 2pi).