Symétrie de Jauge

[mtheory]

euh, remarque naïve (en étant plus très bien réveillé la connexion étant le champ de jauge A, elle n'est pas uniquement définie, non ?

AH OUI!dis comme ça

En fait je sais pas trés bien comment prendre où répondre à sa question.
En effet l'invariance de jauge te permet d' avoir plusieurs valeurs du champ A , mais la connexion, c'est plutôt la structure mathématique lié à l'algèbre de Lie du groupe (forme sur cette algèbre) et en ce sens elle me paraît unique.
Tu me diras qu'il existe plusieurs représentation d'un(e) groupe(algèbre) donné(e) ,et donc, on devrait pouvoir avoir différents fibrés avec 'différentes' connexions.
En ce sens là la connexion n'est pas unique.
En conclusion, je suis plutôt court et mal à l'aise sur ce coup.
Je pense que tu dois y voir plus clair que moi cependant.So?
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[Rincevent]

En conclusion, je suis plutôt court et mal à l'aise sur ce coup. Je pense que tu dois y voir plus clair que moi cependant.

euh, je suis plutôt certain que tu as une vue sur ça plus générale que la mienne

la connexion, c'est plutôt la structure mathématique lié à l'algèbre de Lie du groupe (forme sur cette algèbre) et en ce sens elle me paraît unique.

la connexion c'est pour moi avant tout plutôt ce qui lie les divers espaces tangents et ça, ça reste un choix. Pour parler de ce que je connais le moins mal : en géométrie riemannienne, tu montres qu'il existe une unique connexion compatible avec la métrique et sans torsion, la connexion de Levi-Civita. Mais pour une variété donnée, tu peux très bien travailler avec une autre connexion (ça peut t'être utile pour écrire les équations d'Einstein sous une forme plus simple), voire avec deux en même temps. Ce sont juste des "outils de découpage" qui doivent respecter la symétrie sous-jacente.

[mtheory]

la connexion c'est pour moi avant tout plutôt ce qui lie les divers espaces tangents et ça, ça reste un choix. Pour parler de ce que je connais le moins mal : en géométrie riemannienne, tu montres qu'il existe une unique connexion compatible avec la métrique et sans torsion, la connexion de Levi-Civita. Mais pour une variété donnée, tu peux très bien travailler avec une autre connexion (ça peut t'être utile pour écrire les équations d'Einstein sous une forme plus simple), voire avec deux en même temps. Ce sont juste des "outils de découpage" qui doivent respecter la symétrie sous-jacente.

N'est-ce pas la même connexion fixée par le groupe mais dans un système de coordonnées/repère différent?
Tout comme le choix d'une jauge en QED ne change pas le fait que la connexion est fixé par U(1) et pas par SU(457)?

[Floris]

Oui. La connexion de l'électromagnétisme par ex est indépendante de la métrique.
Par contre si on se place dans le cadre de Kaluza-Klein alors le champ électromagnétique est un effet de la métrique tout comme sa symétrie de jauge.La charge électrique est alors un effet de la symétrie cylindrique de la dimension suplémentaire compactifiée.
U(1) c'est bien lié au rotation des points d'un cercle.

Salut, mtheory, la tu veux parler que l'électromagnetisme ne modifie pas la propriètè de l'espace temps, ces bien sa?

merci encore
@+

[mtheory]

Salut, mtheory, la tu veux parler que l'électromagnetisme ne modifie pas la propriètè de l'espace temps, ces bien sa?

merci encore
@+

Salut Floris
Non,je parle des rapprochements mathématiques entre la structure de jauge de l'electromagnétisme et celle de la RG.
Et que dans le cadre de KK l'une procède de l'autre mais physiquement

[Rincevent]

N'est-ce pas la même connexion fixée par le groupe mais dans un système de coordonnées/repère différent?Tout comme le choix d'une jauge en QED ne change pas le fait que la connexion est fixé par U(1) et pas par SU(457)?

non, c'est différent. Le choix de la connexion est un choix de découpage de la variété totale (le fibré) alors que le choix de jauge est un choix de coordonnées. Mais en fait, je crois que j'ai la réponse si mes souvenirs sont bons [je te fais confiance pour vérifier et/ou invalider ]

le truc, c'est que Cartan (et je sais plus qui, mais je crois pas que ce soit Maurer même si...) ont montré qu'il existe une façon de définir un "parallélisme absolu" pour les groupes de Lie (enfin, la démo porte sûrement pas que sur ces derniers, et il me semble également que plus tard il a été montré qu'il y avait une exception). C'est celui qui est associé avec la "connexion de Maurer-Cartan", laquelle est celle qu'on utilise le plus souvent pour les groupes de Lie. Cela correspond à montrer que le fibré admet un découpage "trivial" en tranches de fibres.

En clair, sauf erreur de ma part, je dirais qu'en physique des particules, les champs de jauge sont bien des connexions "uniques" car on utilise celles de Maurer-Cartan qui sont uniques pour un groupe de Lie donné. L'équivalent en RG est la connexion de Levi-Civita qui est l'unique connexion métrique sans torsion compatible avec la métrique. Mais parfois on utilise d'autres connexions en RG, j'en suis certain...

cf la page 5 de ce papier [qui n'est pas le mieux pour cette discussion mais je me souviens qu'il est joli et je te fais confiance pour nous donner plein de belles réfs bientôt ]

http://arxiv.org/abs/math-ph/0402052

[invite143758ee]

En clair, sauf erreur de ma part, je dirais qu'en physique des particules, les champs de jauge sont bien des connexions "uniques" car on utilise celles de Maurer-Cartan qui sont uniques pour un groupe de Lie donné. L'équivalent en RG est la connexion de Levi-Civita qui est l'unique connexion métrique sans torsion compatible avec la métrique. Mais parfois on utilise d'autres connexions en RG, j'en suis certain...

et il y a la connection de "spin" qui vérifie l'équation de structure de cartan en RG, et elle est unique.

[Rincevent]

et il y a la connection de "spin" qui vérifie l'équation de structure de cartan en RG, et elle est unique.

si tu la supposes sans torsion (pour rester en RG) elle n'est rien d'autre que la connexion de Levi-Civita.

mais si tu autorises l'existence de torsion (et donc sors de la RG), es-tu certain que tu gardes l'unicité de la connexion ?

il me semblait que dans la théorie d'Einstein-Cartan elle était définie de manière unique en imposant pour raison physique la conservation du moment angulaire total. M'enfin j'ai jamais regardé ça de très très près, donc si tu as des détails supplémentaires, je suis intéressé...

[invite143758ee]

sinon,une raison physique de l'unicité de la connection de 'spin' (ou de levi civita ...c'est donc la même chose ?)
c'est de regarder les équations du mouvement de l'action d'hilbert einstein pour une connection quelconque, qui ne sont autres que l'équation de structure de cartan, ce qui implique que cette connection est nécessairement la connection de spin.
mais, ça rejoint ce que tu as dis .

pour le reste, je ne sais vraiment pas
on compte sur toi pour nous en apprendre plus

[Rincevent]

c'est donc la même chose ?

pas exactement, ça dépend si tu parles "physiquement" ou mathématiquement...

la connexion de spin est plus riche (c'est une 1-forme et permet de jouer avec des spineurs) mais elle sort de la géométrie riemannienne proprement dite (la métrique devient un objet dérivé). C'est d'ailleurs là ce qui fait que tu as pas mal de formulations différentes de la RG (utilisées pour tenter de quantifier la gravitation de diverses manières) : suivant le modèle mathématique utilisé, c'est telle ou telle grandeur qui devient fondamentale (métrique, tétrade, 1-forme de connexion ?).

Pour tenter de résumer, comme tu le sais, si tu prends le formalisme de Cartan tu as la connexion (dont la connexion de spin est un cas particulier) comme objet indépendant de la tétrade mais qui est compatible avec la métrique (par opposition avec une connexion affine quelconque qui ne vérifie pas nécessairement cette propriété, auquel cas on se place dans la "géométrie métrique-affine") et possède une torsion. Mais si tu autorises que ta connexion ait une torsion, tu obtiens a priori :

- un couplage entre moment cinétique intrinsèque et orbital,
- une contribution au tenseur énergie-impulsion provenant du spin,

ce qui n'existe pas en RG, même si ça apparaît naturellement avec la supergravité (en tous cas dans certains cas, je sais pas si c'est systématique). Idem si au lieu de supposer une invariance locale de Lorentz (dans les espaces tangents), tu veux une invariance locale de Poincaré, tu tombes pas sur la RG mais sur Einstein-Cartan. Cependant, ce dernier cas coïncide avec la RG dans le vide (là où la théorie a été testé jusqu'à présent) et les écarts sont a priori assez faibles dans la matière.

Par ailleurs, si tu imposes à une connexion de Cartan d'être sans torsion, elle est compatible avec la métrique et sans torsion, ce qui signifie qu'elle est "égale" (par ces effets physiques) à celle de Levi-Civita (l'unique connexion riemannienne à vérifier ces propriétés). Comme tu le disais, c'est aussi ce sur quoi on tombe à partir du lagrangien d'Einstein-Hilbert avec la formulation de Palatini ou celle d'Ashtekar (en tous cas dans le vide car encore une fois en présence de matière tu te retrouves avec de la torsion).

pour revenir sur l'unicité et illustrer ce pour quoi je doute un peu de l'unicité mathématique de la partie "torsionnelle" de la connexion de Cartan (mais je répète que ce sont des choses que je n'ai jamais regardées de très près) : il existe des théories "concurrentes" de la RG dites "téléparallèles" dans lesquelles la torsion n'est pas nulle (c'est au contraire la courbure de la connexion qui peut l'être, je crois).

on compte sur toi pour nous en apprendre plus

bah navré, mais je suis pas expert sur tout ça et n'ai malheureusement pas le temps de regarder plus en détails pour le moment...