symetrie de Jauge VS systeme contraint

[invite8ef897e4]

Cette question a souleve une remarque il y a quelque jours, mais je n'ai pas vraiment essaye d'y repondre. Les symetries dites de jauge sont-elles de veritables symetries, ou alors ne sont-elles qu'une technique, certes tres elegante, pour travailler avec des systemes sous contraintes ? J'ai vu a plusieurs reprises certains auteurs qui disaient que la question est simplement indecidable, et donc plutot une affaire de gout.

Le coeur du probleme est la difference entre transformation active et transformation passive. Prenons le cas des symetries spatio-temporelles (conservation du tenseur energie-impulsion) dont personne ne doute qu'elles sont "reelles" (pour autant que l'on sache proceder a l'attribution de ce terme !, cf par exemple l'article original EPR). Par exemple pour les translations, je peux effectuer une deplacement lineaire uniforme de tous les objets dans l'espace, et dire que les lois de la physique restent les memes. Dans ce cas on parle de transformation active. Alternativement, je peux effectuer une translation (opposee) du referentiel de coordonnees, et dire que les lois de la physique restent les memes. Dans ce cas, on parle de transformation passive. Pas de probleme, les deux types de transformations vont mener a la meme conclusion : l'impulsion est conservee. Cette affirmation est equivalente a "Les lois de la physique sont les memes a Paris et a Berlin".

Egalement parmi les symetries spatio-temporelles, les rotations menent a la conservation du moment angulaire. On travaille toujours avec des transformations passives, parce que c'est plus naturel (referentiel arbitraire).

Mais comment faire une transformation active dans le cas d'une symetrie de jauge !? Les symetries de jauge sont dites "internes" elles sont definitivement "cachees" parce qu'on n'a pas acces directement aux degres de libertes correspondants. On peut dire que ces derniers ne nous servent qu'a tenir une liste de nombres pour lesquelles nous n'avons aucune representation physique directe. Peut-on leur attribuer le meme statut aux symetries de jauge qu'aux symetries "classiques", ces dernieres seules possedant une transformation active ?

Alors d'habitude j'aurais tendance a pencher pour la solution suivante : arretons de nous creuser la tete sans fin a essayer de tout formuler en terme de Hamiltonien, contentons-nous de l'interpretation geometrique de la connection de jauge dans le formalisme Lagrangien. Nous savons que ce sont les deux faces d'une meme piece, on utilise la plus commode lorsque cela nous arrange. Donc l'autre jour je n'ai pas insiste avec mon objection. Et puis, je suis pour la geometrisation de la Nature, c'est tellement joli. Cela dit, au moins par honnetete intellectuelle, je veux citer l'exemple de QCD pour laquelle il est necessaire d'introduire des fantomes pour preserver l'unitarite quand on fait des diagrammes de Feynman d'ordres superieurs. Ces fantomes sont des particules non-physiques, qui ont l'extreme desobligeance de ne pas respecter la relation spin-statistique, mais que l'on fait disparaitre a la fin des calculs. Donc, meme si c'est plus casse-tete, la formulation Hamiltonienne est parfois plus directement liee a l'interpretation physique.

Pour unique reference, je propose cet article, sorti aujourd'hui :
Symmetries and physical functions in general gauge theory
D.M. Gitman, I.V. Tyutin

The aim of the present article is to describe the symmetry structure of a general gauge (singular) theory, and, in particular, to relate the structure of gauge transformations with the constraint structure of a theory in the Hamiltonian formulation. We demonstrate that the symmetry structure of a theory action can be completely revealed by solving the so-called symmetry equation. We develop a corresponding constructive procedure of solving the symmetry equation with the help of a special orthogonal basis for the constraints. Thus, we succeed in describing all the gauge transformations of a given action. We find the gauge charge as a decomposition in the orthogonal constraint basis. Thus, we establish a relation between the constraint structure of a theory and the structure of its gauge transformations. In particular, we demonstrate that, in the general case, the gauge charge cannot be constructed with the help of some complete set of first-class constraints alone, because the charge decomposition also contains second-class constraints. The above-mentioned procedure of solving the symmetry equation allows us to describe the structure of an arbitrary symmetry for a general singular action. Finally, using the revealed structure of an arbitrary gauge symmetry, we give a rigorous proof of the equivalence of two definitions of physicality condition in gauge theories: one of them states that physical functions are gauge-invariant on the extremals, and the other requires that physical functions commute with FCC (the Dirac conjecture).

Avis, commentaires ?
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[mariposa]

Cette question a souleve une remarque il y a quelque jours, mais je n'ai pas vraiment essaye d'y repondre. Les symetries dites de jauge sont-elles de veritables symetries, ou alors ne sont-elles qu'une technique, certes tres elegante, pour travailler avec des systemes sous contraintes ? J'ai vu a plusieurs reprises certains auteurs qui disaient que la question est simplement indecidable, et donc plutot une affaire de gout.

Le coeur du probleme est la difference entre transformation active et transformation passive. Prenons le cas des symetries spatio-temporelles (conservation du tenseur energie-impulsion) dont personne ne doute qu'elles sont "reelles" (pour autant que l'on sache proceder a l'attribution de ce terme !, cf par exemple l'article original EPR). Par exemple pour les translations, je peux effectuer une deplacement lineaire uniforme de tous les objets dans l'espace, et dire que les lois de la physique restent les memes. Dans ce cas on parle de transformation active. Alternativement, je peux effectuer une translation (opposee) du referentiel de coordonnees, et dire que les lois de la physique restent les memes. Dans ce cas, on parle de transformation passive. Pas de probleme, les deux types de transformations vont mener a la meme conclusion : l'impulsion est conservee. Cette affirmation est equivalente a "Les lois de la physique sont les memes a Paris et a Berlin".

Egalement parmi les symetries spatio-temporelles, les rotations menent a la conservation du moment angulaire. On travaille toujours avec des transformations passives, parce que c'est plus naturel (referentiel arbitraire).

Intéressante ta question transformation passive/active.

Je me lance.

quand tu fais une transformation active tu compares un point A a un point B (par exemple translation de A et B) et tu dis que les propriétés de B ont la même écriture dans le système de coordonnée commun. Tu peux ainsi a partir de A balayé tous les points de ta variété.

Dans le cas de la transformation passive tu gardes le point A et tu change le système de coordonnée et tu constates que les propriétés de A ne dépendent pas du système de coordonnée quelqu'il soit.

il me semble que les 2 types de transformations ne sont pas "équivalentes" la première étant plus fondamentale parceque comparant les points d'une variété entre-eux.

Mais comment faire une transformation active dans le cas d'une symetrie de jauge !? Les symetries de jauge sont dites "internes" elles sont definitivement "cachees" parce qu'on n'a pas acces directement aux degres de libertes correspondants. On peut dire que ces derniers ne nous servent qu'a tenir une liste de nombres pour lesquelles nous n'avons aucune representation physique directe. Peut-on leur attribuer le meme statut aux symetries de jauge qu'aux symetries "classiques", ces dernieres seules possedant une transformation active ?

Pour ce qui concerne les transformations de jauge (je ne connais pas la question) mais j'ai cru comprendre qu'il s'agissait de "comparer" entre eux des points d'une variété fibré, uniquement en terme de connexion, ce qui renvoie a la tranformation active!

Je me demande donc si le "concept" transformation active/passive n'est pas lié a une notion de métrique?

[Karibou Blanc]

SAlut,

Mais comment faire une transformation active dans le cas d'une symetrie de jauge !?

Pour l'étude des théories de jauges, la géométrie différentielle apporte beaucoup de précision par rapport à l'approche usuelle. Le cadre pour faire cela est basé sur des fibrés principaux (la base est la variété d'espace temps et la fibre un groupe de Lie type U(1), SU(N)...). Afin de comparer des vecteurs (généralement des tenseurs) en des points différents il faut pour cela définir une structure de connexion sur le fibré.
On construit cette connexion en définisant une 1-forme sur le fibré à valeur dans l'algèbre de Lie du groupe avec des propriétés particulières (le noyau de la forme est le sous-espace horizontal). Avec cette connexion sur le fibré on peut construire localement à partir de la 1-forme une autre 1-forme mais cette fois ci sur la base (var. diff. d'espace temps) en faisant une section locale. Cette 1-forme définit localement des champs de jauge qui se transforment dans la représentation adjointe du groupe de Lie.

Dans ce cadre, ce qu'on appelle une transformation de jauge passive est simplement un changement de section locale (on choisit un point différent de chaque fibre pour chaque point de la base). Ceci correspond à une reparamétrisation de la 1-forme de connexion sur la base (des champs de jauge donc), c'est donc juste un choix de "référentiel" en quelques sorte.
Une transformation active est une action de ce qu'on appelle le groupe de jauge associé au fibré (je n'ai plus la définition exacte en tête). Par action d'un élément de ce groupe sur la 1-forme de connexion sur le fibré, on obtient une autre forme différente. La connexion est modifié par l'action du groupe de jauge, et on conserve la même section locale pour faire descendre cette connexion sur la base.

Bref, transfo passive, la connexion sur le fibré est la même mais la section locale est modifiée.
Transfo active, la connexion sur le fibré est modifié sous l'action du groupe de jauge et la section locale est la même.

J'espère que cela répond à ta question. Personnellement je pense que ce sont de véritables symétries, mais comme tu le dis c'est peut-être une simple question de goût.

Je me demande donc si le "concept" transformation active/passive n'est pas lié a une notion de métrique?

A première vue, je dirais non, on n'est pas obligé d'imposer une métrique sur la variété de base ou sur le fibré lui même pour faire des transformations jauge. Ce peut se comprendre quand on se souvient que ce sont des symétries internes qui n'ont pas lien directe avec les coordonnées locales.

[invite8ef897e4]

Salut !

J'espère que cela répond à ta question. Personnellement je pense que ce sont de véritables symétries, mais comme tu le dis c'est peut-être une simple question de goût.

Merci pour ta reponse. J'ai peut-etre un peu vise a cote en insistant sur la notion de transformation active/passive. Il n'empeche qu'une transformation de jauge active reste toujours innobservable et ressemble furieusement a une transformation de coordonnees. La fibre reste definitivement innaccessible a la mesure. Le choix arbitraire de jauge correspond au choix arbitraire de la section.

Je ne dis pas que je ne suis pas seduit par l'extreme elegance du formalisme initie par Cartan de la geometrie differentielle. Je suis trouble par le fait que Dirac lui-meme ait ecrit que les symetries de jauge son interpretables en termes de systemes contraints. Le fait est que la symetrie U(1) pour l'EM est equivalente a la nullite de la masse du photon. Et le systeme sous contrainte est simple : on utilise un vecteur (3 composantes) pour decrire le photon qui n'a que 2 etats de polarisation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Karibou Blanc]

Le choix arbitraire de jauge correspond au choix arbitraire de la section

dans la cas passif oui. Mais la vraie symétrie (active) est celle qui laisse invariante la théorie lorsqu'on change de connexion sur le fibré. Mais je suis bien d'accord avec toi, on n'observe cette symétrie uniquement par ces effets sur le nombre de degrés de liberté physique des champs.

Je suis trouble par le fait que Dirac lui-meme ait ecrit que les symetries de jauge son interpretables en termes de systemes contraints. Le fait est que la symetrie U(1) pour l'EM est equivalente a la nullite de la masse du photon. Et le systeme sous contrainte est simple : on utilise un vecteur (3 composantes) pour decrire le photon qui n'a que 2 etats de polarisation.

La symétrie de jauge a un effet désagréable en théorie des champs, qui est de ne pas permettre de caractériser complètement les champs à partir des équations du mouvement. Il reste un certain arbitraire dans les solutions car ces équations ne font pas intervenir tous les degrés de liberté. C'est sans doute pour cela qu'il faut ajouter une (ou plusieurs) contrainte(s) à ces équations du mouvement qu'on appelle dans ce cas là une fixation de jauge.
Dans le cas de U(1), en lorsqu'on se place en jauge de coulomb on remarque la composante temporelle A₀ n'est pas dynamique (moment conjugué nul), ce n'est donc pas une composante physique du champs. Lorsqu'on impose de façon canonique la valeur des commutateurs des champs avec leurs moments, on remarque que la composante longitudinale de A est nulle. Il ne reste donc que deux degré de liberté physique. La fixation de jauge a permis de tuer l'arbitraire généré par la symétrie de jauge. Mais attention fixer la jauge ne signifie par pour autant que la symétrie est brisée. Rien n'empêche de faire des transformations de jauge sous laquelle la théorie est invariante. On s'est juste placé dans une jauge pour expliciter les degrés de liberté des champs.

[invite8ef897e4]

Finalement, ce qui me turplupine actuellement, c'est que nous n'avons pas encore d'interpretation physique. Mais les theories des cordes devraient apporter une reponse sans aucun doute. C'est dommage que je ne sois pas pres de ma bibiotheque tout de suite, parce que je sais qu'il y a beaucoup de choses qui ont ete faites en termes de structure de la partie compacte de l'espace. Sans doute, lorsque l'on aura une base physique au choix de l'espace de Calabi-Yau non simplement connexe, la forme du groupe du modele standard devrait emerger naturellement.

[Karibou Blanc]

C'est vrai que le groupe de jauge du modèle standard est arbitraire il n'y a rien qui le définit. Peux tu en dire un peu plus (quand tu seras proche de ta biblio ) sur les moyens qu'à la théorie des cordes de sortir de son chapeau le groupe SU(3)xSU(2)xU(1) à basse énergie ?

[invite8ef897e4]

Ah ben non ! La il faut demander a mtheory !
Je me rapelle que c'etait dans AN INTRODUCTION TO STRING THEORY AND D-BRANE DYNAMICS
Richard J Szabo
au chapitre "D-Branes and Gauge Theory"

cela dit, plus de details sont disponibles la :
Lectures on D-branes, Gauge Theory and M(atrices)
Washington Taylor

These notes give a pedagogical introduction to D-branes and Matrix theory. The development of the material is based on super Yang-Mills theory, which is the low-energy field theory describing multiple D-branes. The main goal of these notes is to describe physical properties of D-branes in the language of Yang-Mills theory, without recourse to string theory methods. This approach is motivated by the philosophy of Matrix theory, which asserts that all the physics of light-front M-theory can be described by an appropriate super Yang-Mills theory.

D-branes in Yang-Mills theory and Emergent Gauge Symmetry
Vijay Balasubramanian, David Berenstein, Bo Feng, Min-xin Huang

Four-dimensional supersymmetric SU(N) Yang-Mills theory on a sphere has highly charged baryon-like states built from anti-symmetric combinations of the adjoint scalars. We show that these states, which are equivalently described as holes in a free fermi sea of a reduced matrix model, are D-branes. Their excitations are stringlike and effectively realize Dirichlet and Neumann boundary conditions in various directions. The low energy brane dynamics should realize an emergent gauge theory that is local on a new space. We show that the Gauss' Law associated to this emergent gauge symmetry appears from combinatorial identities relating the stringy excitations. Although these excitations are not BPS, they can be near-BPS and we can hope to study them in perturbation theory. Accordingly, we show that the Chan-Paton factors expected for strings propagating on multiple branes arise dynamically, allowing the emergent gauge symmetry to be non-Abelian.

[mtheory]

Salut !
Merci pour ta reponse. J'ai peut-etre un peu vise a cote en insistant sur la notion de transformation active/passive. Il n'empeche qu'une transformation de jauge active reste toujours innobservable et ressemble furieusement a une transformation de coordonnees. La fibre reste definitivement innaccessible a la mesure. Le choix arbitraire de jauge correspond au choix arbitraire de la section.

Je ne dis pas que je ne suis pas seduit par l'extreme elegance du formalisme initie par Cartan de la geometrie differentielle. Je suis trouble par le fait que Dirac lui-meme ait ecrit que les symetries de jauge son interpretables en termes de systemes contraints. Le fait est que la symetrie U(1) pour l'EM est equivalente a la nullite de la masse du photon. Et le systeme sous contrainte est simple : on utilise un vecteur (3 composantes) pour decrire le photon qui n'a que 2 etats de polarisation.

Salut Humanino!
J'ai regardé un peu l'article,bon je ne prétends pas avoir raison car je ne maitrise pas le sujet mais je crois que cela ne se passe pas comme tu le dit.
Les symétries de jauges sont bien des symétries ça c'est clair,ce qui se passe c'est que quand on passe en régime quantique on doit se débrouiller pour imposer des contraintes sur l'espace de Hilbert des solutions pour avoir des solutions physiques qui ne soient pas des artefacts de la liberté de rejauger et tout simplement pour assurer qu'une transformation de jauge ne détruise pas les conditions de quantifications.Au début en QED c'était la fameuse condition de Fermi,puit aprés c'est Gupta Blauer et maintenant c'est BRST pour becchi rouet stora TUYTIN avec YM.
Les travaux de Dirac sur les système contraints sont issues de ses tentatives pour quantifier la gravitation et donc tenir compte de la covariance(changements arbitraire de coordonnées) des équations en RG .Il est partit de la formulation Hamiltonienne,sa préférée.
Dans la même optique c'est en cherchant à quantifier la RG que Feynman est tombé sur les Ghosts.
Le papier que tu cites porte seulement sur la connexion entre la structure d'un groupe de gauge,les contraintes en système Lagrangien et celle en système Hamiltonien sur les solutions physiques admissibles.Ce qu'il dit c'est que les contraintes physiques pour une théorie de jauge donnée sont univoquement reliées aux contraintes de Dirac en formulation Hamiltonienne.
Pas que les symétries de jauge sont des contraintes de Dirac.
Bon je suis pas sur d'avoir été clair ni même d'avoir raison mais je ne crois pas,à ce stade,que ce que tu dis soit correct.

[mtheory]

>
> La fixation de jauge a permis de tuer l'arbitraire généré par la symétrie de jauge. Mais attention fixer la jauge ne signifie par pour autant que la symétrie est brisée. Rien n'empêche de faire des transformations de jauge sous laquelle la théorie est invariante. On s'est juste placé dans une jauge pour expliciter les degrés de liberté des champs.

En fait dans l'espace des phases des équations de champs le système ne décrit qu'une sous variété parce qu'il posséde en fait moins de degré de liberté que prévu.Il reste la possibilité de faire des changements de coordonnées/variables canoniques arbitraires dans les équations du système tant qu'il reste sur cette sous variété.
C'est comme un système mécanique avec des forces de contraintes, comme une bille obligé de rester sur un fil dans l'espace.
Les forces de contraintes(liaisons) quantifiées ont leur propres pseudo quanta ,les Ghosts.
Le système 3d est en fait 1d mais reste la liberté de changer de paramétrage pour le parcourt de la bille sur le fil.

[mtheory]

C'est vrai que le groupe de jauge du modèle standard est arbitraire il n'y a rien qui le définit. Peux tu en dire un peu plus (quand tu seras proche de ta biblio ) sur les moyens qu'à la théorie des cordes de sortir de son chapeau le groupe SU(3)xSU(2)xU(1) à basse énergie ?

En fait il y a différent moyens.En gros les isométries ou les caractéristiques topologiques des dimensions supplémentaires te donnent des groupes de symétrie qui sont ceux des champs de Yang-Mills.
Dans cette optique toutes les symétries dérivent bien de la géométrie de l'espace-temps.
C'est trés satisfaisant car la dichotomie entre symétries internes et externes disparait.
Voila une des raisons qui poussent à adopter les cordes,à partir d'objets simples et qq contraintes mathématiques et physiques puissantes on arrive à engendrer de façon homogène toutes les structures FORMELLES du modèle standard.
C'est suffisament non trivial pour y consacrer du temps.
En Kaluza Klein U(1) est la symétrie de rotation selon un cylindre(cercle),la conservation de l'impulsion selon cette direction te donne la charge et si tu quantifie la quantification te donne des nombre entier = quantification de la charge
SU(2) c'est si tu as une 3 sphère si je me souvient bien.
Pour les Calabi Yau on préfère le groupe d'Holonomie.

[Karibou Blanc]

Salut,

En fait il y a différent moyens.En gros les isométries ou les caractéristiques topologiques des dimensions supplémentaires te donnent des groupes de symétrie qui sont ceux des champs de Yang-Mills.

Si je regarde le nombre de générateurs de groupe de jauge du modèle standard : 1+3+3=7, n'est-ce pas exactement le nombre de dimensions supplémentaires qu'il faut considèrer dans une théorie de cordes supersymétriques ? Coïncidence ou indice plus profond ?

[mtheory]

Salut,


Si je regarde le nombre de générateurs de groupe de jauge du modèle standard : 1+3+3=7, n'est-ce pas exactement le nombre de dimensions supplémentaires qu'il faut considèrer dans une théorie de cordes supersymétriques ? Coïncidence ou indice plus profond ?

U(1)->1 générateur.
SU(2)->3 générateurs.
SU(3)->8 générateurs.
SU(N)-> N^2-1 générateurs.
Rien que comme ça cela ne va pas.
Witten a montré que le nombre minimal de dimensions pour engendrer les groupes du MS à la KK c'est 11.Comme initialement la sugra d11 N1 ne donnait pas de théorie chirale en 4d par compactification(entre autres) les gens se sont rabattus sur les cordes et les Calabi-Yau,les orbifolds et les groupes d'holonomies avec les cordes.Avec la théorie M tout change.

[Karibou Blanc]

Quel idiot, bien sûr que SU(3) à 8 générateurs, je réflèchirai la prochaine fois avant d'écrire un truc !! Désolé...

[mtheory]

Quel idiot, bien sûr que SU(3) à 8 générateurs, je réflèchirai la prochaine fois avant d'écrire un truc !! Désolé...

OUAF!!!t'inquiètes pas j'ai dit pire sur ce forum et dans ma vie

[mtheory]

Salut Humanino!
J'ai regardé un peu l'article,bon je ne prétends pas avoir raison car je ne maitrise pas le sujet mais je crois que cela ne se passe pas comme tu le dit.
Les symétries de jauges sont bien des symétries ça c'est clair,ce qui se passe c'est que quand on passe en régime quantique on doit se débrouiller pour imposer des contraintes sur l'espace de Hilbert des solutions pour avoir des solutions physiques qui ne soient pas des artefacts de la liberté de rejauger et tout simplement pour assurer qu'une transformation de jauge ne détruise pas les conditions de quantifications.Au début en QED c'était la fameuse condition de Fermi,puit aprés c'est Gupta Blauer et maintenant c'est BRST pour becchi rouet stora TUYTIN avec YM.
Les travaux de Dirac sur les système contraints sont issues de ses tentatives pour quantifier la gravitation et donc tenir compte de la covariance(changements arbitraire de coordonnées) des équations en RG .Il est partit de la formulation Hamiltonienne,sa préférée.
Dans la même optique c'est en cherchant à quantifier la RG que Feynman est tombé sur les Ghosts.
Le papier que tu cites porte seulement sur la connexion entre la structure d'un groupe de gauge,les contraintes en système Lagrangien et celle en système Hamiltonien sur les solutions physiques admissibles.Ce qu'il dit c'est que les contraintes physiques pour une théorie de jauge donnée sont univoquement reliées aux contraintes de Dirac en formulation Hamiltonienne.
Pas que les symétries de jauge sont des contraintes de Dirac.
Bon je suis pas sur d'avoir été clair ni même d'avoir raison mais je ne crois pas,à ce stade,que ce que tu dis soit correct.

Je précise bien que la théorie de Dirac porte sur des système Hamiltonien contraints ARBITRAIRE ,ce n'est pas lié directement à la RG bien sûr.