EDP et matrice

[invite6696a2c1]

Bonjour

J'aurais besoin de votre aide. Voici le problème :

Je me suis depuis hier atteler à la tache de résoudre numériquement l'équation de la chaleur en 1D. Après avoir discrétisé l'équation, j'obtiens :




Ce qui me donne : avec .
i est la position du noeud .
n est l'itération courante.
est la diffusivité thermique en W/m/K.
est la température au noeud à l'itération n.

Puis je le met sous forme matricielle:


est la température à
est la température à
est la température à

Les présentations faites, voici le pourquoi de ma demande:

Je n'arrive pas résoudre ces matrices car je ne vois pas comment faire du tout, afin plus exactement, on me parle d'une algorithme, mais le problème n'est pas l'implantation de l'algorithme, mais les valeurs nécessaire pour réaliser le calcul. Si quelqu'un pouvait m'apporter ses lumières, je lui serais reconnaissant.

Merci par avance

PetitPhysicien
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[LPFR]

Bonjour.
Je pense qu'il faut mettre la température de tous les points à la température initiale.
Il faut faire attention à la source (ou au puits) de chaleur et mettre les points en contact avec la source ou le puits à sa température.
Cela vous donnera un sacré gradient de température au départ, mais c'est bien ce qui arrive dans la réalité.
Je pense aussi que si on vous parle d'algorithme, c'est que des algorithmes pour résoudre des équations différentielles sont bien connus.
Je vous conseille le livre "Numerical Recipes", de Press, Flannery et al. C'est une vrai "bible" des méthodes numériques. De plus, il vient avec les programmes et, surprise, ils fonctionnent au premier coup.
Au revoir.

[invite6696a2c1]

Merci, mais est-ce que le fait de mettre la même température à tous les points va me donner un modèle cohérent ?

[LPFR]

Bonjour.
La même température partout est une situation d'équilibre et nécessairement cohérente.
Mais ce n'est pas dans cette direction qu'il faut regarder, mais vers l'objet physique que vous simulez. Vous pouvez probablement prédire sans calcul la distribution de température et son évolution avec le temps (la forme, pas les valeurs).
C'est quoi, en fait?
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ketchupi]

Salut,

je n'ai pas du tout compris d'où sort le terme à droite. Ca ressemble à un terme source, mais il ne devrait pas du tout être là.
LPFR a raison, il faut avant tout considérer le problème d'un point de vue analytique, avant de se lancer dans une usine à gaz numérique.
Bon admettons que le numérique soit la solution à votre problème, dans ce cas, l'équation de la chaleur se résoud traditionnellement :
1) en choisissant les conditions initiales, à priori le matériau est à la température ambiante.
2) en choisissant les conditions aux limites, et notamment aux interfaces x = 0 et x . Ce sont ces conditions qui vont donner un sens physique à vos résultats.
3) choisir un schéma numérique, et respecter les difficultés que chacun amène : explicite (condition pas de temps-espace), implicite (pas de condition), Cranck Nicholson
4) comparer les résultats numériques aux résultats physiques, expérimentaux.

Cordialement.

[invite6696a2c1]

C'est quoi, en fait?
Au revoir.

Bonsoir

Il s'agit juste d'une barre de 1mètre. Il me fallait un support pour aborder les EDP et c'est ce que proposé un cours comme exemple.

Merci ketchupi, je vais prendre note de vos remarques pour la suite.

PetitPhysicien