Modèle des électrons

[invite6e406c55]

Salut a tous
Je voudrais savoir dans quelles cas on applique le modèle des éléctrons faiblement liés, fortement liés ou libres (je parle dans les solides)
Merci
-----

[LPFR]

Bonjour et bienvenue au forum.
Il faudrait que vous précisiez ce que vous voulez dire par "dans quel cas".
Les électrons liés sont ceux qui ne sont pas "partagés". Ils sont ceux de la bande de valence dans des isolants et des bandes plus profondes. Les électrons libres sont ceux qui sont partagés par tout le cristal. Ce sont ceux du bas de la bande de conduction. Aussi bien dans les isolants que dans les conducteurs.
Je ne sais pas exactement ce que l'on veut dire pas électrons faiblement liés. Il est possible qu'il s'agisse des électrons de niveaux proches de la bande de conduction et que peuvent monter des que la température monte un peu au dessus du zéro absolu, comme pour les donneurs dans le semi-conducteurs N.
Au revoir.

[Armen92]

Salut a tous
Je voudrais savoir dans quelles cas on applique le modèle des éléctrons faiblement liés, fortement liés ou libres (je parle dans les solides)
Merci

Dans les solides cristallins (construits sur un réseau de Bravais) :
1) Le schéma des électrons quasi-libres (faiblement liés) correspond au cas où le potentiel de réseau est suffisamment faible pour pouvoir être traité par une méthode perturbative (astucieuse). On obtient des lois de dispersion proches de la parabole libre sauf quand la (pseudo-)impulsion des électrons est voisine de certaines valeurs particulières définies par référence au réseau réciproque. On y obtient l'ouverture de petits gaps d'énergie, d'où des bandes fortement dispersées séparées par des petits gaps.
2) Le schéma des électrons fortement liés (dite approximation des liaisons fortes) correspond au cas extrême opposé où les électrons, fortement liés, peuvent néanmoins sauter d'un site à l'autre (par effet-tunnel). On obtient alors des bandes faiblement dispersées séparées par des grands gaps.

On utilise une approximation ou l'autre (ou plein d'autres d'ailleurs) en fonction du solide analysé. Dans tous les cas, ce type de traitement est un préalable pour régler le problème de la conductivité, dans l'hypothèse où le réseau est rigide (sinon, on peut tomber sur l'instabilité de Peierls) et/ou dans celle où une théorie à une particule tient la route (dans le cas contraire : possibilité d'un isolant de Mott).

[invite6e406c55]

On utilise une approximation ou l'autre (ou plein d'autres d'ailleurs) en fonction du solide analysé. Dans tous les cas, ce type de traitement est un préalable pour régler le problème de la conductivité, dans l'hypothèse où le réseau est rigide (sinon, on peut tomber sur l'instabilité de Peierls) et/ou dans celle où une théorie à une particule tient la route (dans le cas contraire : possibilité d'un isolant de Mott).

Merci pour vos explications , je voudrais aussi avoir plus d'info sur l'instabilité de peierls vu que j'ai un TP la dessus mais j'ai pas bien saisi le concept , même sur google y'a pas trop d'info sur ça , si vous pouvez me guider ou m'expliquer en quoi ça consiste.
Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

Merci pour vos explications , je voudrais aussi avoir plus d'info sur l'instabilité de peierls vu que j'ai un TP la dessus mais j'ai pas bien saisi le concept , même sur google y'a pas trop d'info sur ça , si vous pouvez me guider ou m'expliquer en quoi ça consiste.
Merci

Je peux vous renvoyer au Tome III de Mécanique quantique par Claude Aslangul, problème 31.4, où tout est expliqué en détail dans le cas d'un réseau unidimensionnel.

[invite1acecc80]

Bonjour,

On utilise une approximation ou l'autre (ou plein d'autres d'ailleurs) en fonction du solide analysé. Dans tous les cas, ce type de traitement est un préalable pour régler le problème de la conductivité, dans l'hypothèse où le réseau est rigide (sinon, on peut tomber sur l'instabilité de Peierls) et/ou dans celle où une théorie à une particule tient la route (dans le cas contraire : possibilité d'un isolant de Mott).

On utilise 2 modèles extrèmes principaux:
modèle faiblement des électrons faiblement perturbés ( "pseudo-potential approximation");
modèle des électrons fortements liés ("tight-binding model").

Ces modèles permettent de déterminer le spectre électronique d'un cristal...et sa surface de Fermi ( ce qui est très important).
Ces calculs se font sur un réseau fixe (pas nécessairement de Bravais ; exemple du réseau en nid d'abeille).
Cependant, à des températures non nulles, le réseau "vibre" (concept de phonon) et influe sur le comportement des électrons près de la surface de Fermi (couplage électron-phonon) ...ce qui modifie la conductivité "d'un cristal".

Concernant, l'instabilité de Peirls (transition de Peirls): elle n'est observable que pour des cristaux de faible dimension (1D-2D)... il s'agit d'un réarangement du réseau cristalin du au couplage électron-phonon...
Concernant, le modèle d'isolant de Mott: ce qu'il faut retenir c'est que les modèles précédents supposent les électrons "indépendants", ce qui est dans certains contextes, une bonne approximation...cependant on peut se retrouver avec un comportement conducteur dans cette hypothèse tandis que l'expérience montre un comportement isolant ( exemple des oxides de vanadium).

2) Le schéma des électrons fortement liés (dite approximation des liaisons fortes) correspond au cas extrême opposé où les électrons, fortement liés, peuvent néanmoins sauter d'un site à l'autre (par effet-tunnel). On obtient alors des bandes faiblement dispersées séparées par des grands gaps.

Par forcément. Exemple: la relation de dispersion électronique pour un réseau en nid d'abeille. C'est un semi-métal...il n'y a pas de gap (parfois appelé à tord: semi-cond à gap nul).

Pour ce qui est de la littérature: je ne connais pas Aslangul...
Par contre le Hascroft-Mermin reste une bible ...

A plus.

[Armen92]

.............

Ces calculs se font sur un réseau fixe (pas nécessairement de Bravais ; exemple du réseau en nid d'abeille).

L'hypothèse du réseau de Bravais est essentielle, sans quoi on ne dispose pas de la notion de réseau réciproque, du groupe de translations, du théorème de Bloch, etc.
Pour le réseau en nid d'abeille, il faut (et il suffit de) partir d'un réseau (de Bravais) triangulaire, et définir le bon motif (deux atomes par maille).

Par forcément. Exemple: la relation de dispersion électronique pour un réseau en nid d'abeille. C'est un semi-métal...il n'y a pas de gap (parfois appelé à tord: semi-cond à gap nul).

Le plus souvent, on désigne par semi-métal un solide dont deux bandes d'énergie distinctes se recouvrent en énergie.
Concernant le réseau en nid d'abeille, c'est ce que l'on trouve quand, dans une approximation en liaisons fortes, on introduit un couplage allant jusqu'aux seconds voisins (exemple : le graphite, problème 30.4 du tome III d'Aslangul). A défaut, le gap est effectivement nul mais la surface de Fermi se réduit à 6 points et la conductivité est nulle (à température nulle).

[mariposa]

Bonjour,

Je voudrais apporter quelques précisions sur le modèle de l'électron quasi libre et le modèle des liaisons fortes.

Première remarque: Il s'agit bien de modèles dont l'intérêt principal et d'expliquer qualitativement ou semi-quantitativement un certain nombre de propriétés des solides à partir d'un spectre d'hamiltonien H qui donne une structure de bandes.

Pour vraiment calculer une structure de bandes on ne fait comme ceci pour la simple raison que le problème n'est pas définit.

Le postulat de base:

On suppose que le vrai hamiltonien du problème à N corps se réduit à un hamiltonien effectif à 1 corps de la forme:

H (r) = P2/2m + V(r)

Avec V(r) = V(r+T)

Ce qui signifie que le potentiel effectif à la périodicité du réseau.


Très important: On ne connait pas dans ces modèles le potentiel V(r). Dans ce cas on adapte le modèle aux expériences en ajustant la valeur des éléments de matrice pour rendre compte des phénomènes.

Le choix de base.

Pour diagonaliser l'hamiltonien il faut le représenter dans une base.
On peut choisir notamment 2 bases que l'on pourrait qualifier d'extrêmes.

1- Une base d'ondes planes.
2- une base d'harmoniques sphériques centrées sur chaque atome.

On peut d'ailleurs passer d'une base à l'autre par un changement de base. On sait décomposer une harmonique sphérique en ondes planes et réciproquement.

Bien entendu il faut choisir la base qui soit la plus proche des vecteurs propres. Comme les dimensions sont théoriquement infinies il va falloir fortement tronquer (il s'agit d'un modèle). On peut montrer dans ce cas que la troncature correspond à une solution variationnelle pour les états de plus basse énergie. Cela veut dire que seule la bande de plus énergie à 1 sens.


La base d'onde planes:


Une onde plane solution de de P2/2m s'écrit:

Exp (ik.r)

Dans le sous-groupe des translations du réseau ces solutions s'écrivent:

Exp[i(k +n.k°].r

Si on prend par exemple n= 0,1,2,3

Les solutions seront de la forme:

An.Exp[i(k +n.k°].r avec sommation sur les n

On aura pour chaque valeur de k à diagonaliser une matrice 4*4 car les seuls éléments de matrice non nuls sont du type:

<k,n1|V(r)|k,n2>

A noter que représenter les bandes par une combinaison linéaire d'ondes planes n'a rien à voir avec un calcul de perturbation.


Une base localisée:

Dans l'autre cas on ne prend pas des harmoniques sphériques sur chaque site mais les fonctions propres atomiques. L'idée sous-jacente est que si les atomes sont écartés mais en conservant la périodicité la solution du problème non perturbé est:

H° = Hn(r ) avec sommation sur les n


où Hn(r) est l'hamiltonien de l'atome au site n. La solution est alors tres simple puisqu'il s'agit des solutions atomiques n fois dégénérés qui sont connues et donc fournissent une base naturelle.

Quand on rapproche les sites il y aura des éléments de matrices non diagonaux de la forme:

<n,u1|H|m,u2>

|n,u1> représente la fonction atomique u1 centrée sur le site n

Par exemple pour un matériau comme le silicium on prendra une orbitale s et 3 orbitales p.

En fait dans ce modèle dit de liaison forte on ne prend comme éléments de matrices non nuls que ceux entre premiers voisins.

On est donc techniquement parlant ramener à la diagonalisation d'une matrice 4*4 pour chaque vecteur d'onde k.

En bilan:

Dans les 2 cas il faut diagonaliser une matrice de dimension réduite (par exemple une matrice 4*4) qui contient très peu de paramètre ajustables à l'expérience.

Nota de sémantique: liaisons fortes ne veut pas dire que la liaison est forte mais qu'un électron se balade librement (il n'est pas lié) et que sa fonction d'onde au voisinage d'un site est une combinaison linéaire des étas atomiques pris comme base.

[Armen92]

............
A noter que représenter les bandes par une combinaison linéaire d'ondes planes n'a rien à voir avec un calcul de perturbation.

On pourra comparer le point de vue que traduit cette affirmation avec celui des bons ouvrages (e.g. Ashcroft et Mermin) où l'on fait un développement en puissances entières du potentiel de réseau, et où les fonctions propres sont des combinaisons linéaires d'ondes planes associées à des énergies voisines (et strictement égales quand l'extrémité de est dans un plan de Bragg).

En fait dans ce modèle dit de liaison forte on ne prend comme éléments de matrices non nuls que ceux entre premiers voisins.
.......

Nota de sémantique: liaisons fortes ne veut pas dire que la liaison est forte mais qu'un électron se balade librement (il n'est pas lié) et que sa fonction d'onde au voisinage d'un site est une combinaison linéaire des étas atomiques pris comme base.

1) Dans l'approximation des liaisons fortes, il est tout à fait possible d'introduire des couplages au-delà des premiers voisins ; c'est même recommandé si l'on veut rendre compte de certaines finesses (par exemple trouver que le graphite est un semi-métal).

2) Un électron en liaison forte ne se balade pas "librement" : si c'était le cas, sa relation de dispersion serait la parabole , et point serait besoin de la déterminer.

[invite1acecc80]

Rebonjour,

L'hypothèse du réseau de Bravais est essentielle, sans quoi on ne dispose pas de la notion de réseau réciproque, du groupe de translations, du théorème de Bloch, etc.
Pour le réseau en nid d'abeille, il faut (et il suffit de) partir d'un réseau (de Bravais) triangulaire, et définir le bon motif (deux atomes par maille).

On est d'accord (si tu spécifies q'un motif est différent d'un atome, ce que souvent des étudiants (entre autres) oublient).

Juste pour "le honeycomb lattice" (réseau en nid d'abeille), réseau hexagonal et non "triangulaire" (bien que je comprends ce que tu veux dire).

Egalement, le théorème de Bloch est bien plus général et s'étend au-delà d'un réseau de Bravais. Je n'ai pas forcément besoin d'un réseau de Bravais pour utiliser le théorème de Bloch (J'ai juste besoin comme tu le dis: soit de la notion de groupe, soit l'hypothése de périodicité de mon hamiltonien).
Exemple pour rester dans la matière condensée: les nanotubes,...

Le plus souvent, on désigne par semi-métal un solide dont deux bandes d'énergie distinctes se recouvrent en énergie.
Concernant le réseau en nid d'abeille, c'est ce que l'on trouve quand, dans une approximation en liaisons fortes, on introduit un couplage allant jusqu'aux seconds voisins...

Inutile d'aller jusqu'au second voisin pour le terme de saut, juste le premier est suffisant pour le classer de semi-métal...
Quand tu vas jusqu'au 2ème second voisin, tu décales juste en énergie le niveau où les bandes d'intersectent, rien de plus.

A défaut, le gap est effectivement nul mais la surface de Fermi se réduit à 6 points et la conductivité est nulle (à température nulle).

Pour la surface de Fermi, tout dépend de ton dopage. Si tu considères pas de dopage, alors oui.

Concernant la conductivité, hélas non...la conductivité n'est pas nulle près des points de Dirac à température nulle ( elle est proportionnelle à un quantum de conductance). La surface de Fermi ne fait pas tout quand on parle de conduction...

Je voudrais apporter quelques précisions sur le modèle de l'électron quasi libre et le modèle des liaisons fortes.

Merci pour le développement.

A plus.

[Armen92]

Rebonjour,
...
1)
Juste pour "le honeycomb lattice" (réseau en nid d'abeille), réseau hexagonal et non "triangulaire" (bien que je comprends ce que tu veux dire).
...
2) Pour la surface de Fermi, tout dépend de ton dopage. Si tu considères pas de dopage, alors oui.

1) Le réseau hexagonal de Bravais contient un noeud au centre de chaque hexagone, qui est absent du réseau en nid d'abeille.
Je ne connais qu'une façon d'engendrer ce dernier réseau : partir d'un triangulaire et mettre le bon motif.
En connaissez-vous une autre ?

2) J'avais dans la tête l'exemple du graphite (un électron par maille élémentaire).

[mariposa]

On pourra comparer le point de vue que traduit cette affirmation avec celui des bons ouvrages (e.g. Ashcroft et Mermin) où l'on fait un développement en puissances entières du potentiel de réseau, et où les fonctions propres sont des combinaisons linéaires d'ondes planes associées à des énergies voisines (et strictement égales quand l'extrémité de est dans un plan de Bragg).

bonjour,

Cela renvoie à une autre discussion qui est de comprendre ce qu'est une théorie de perturbation et quand l'appliquer. En l'occurrence elle n'est pas applicable en bord de zone de Brillouin puisque les niveaux non perturbés sont dégénérés.

1) Dans l'approximation des liaisons fortes, il est tout à fait possible d'introduire des couplages au-delà des premiers voisins ; c'est même recommandé si l'on veut rendre compte de certaines finesses (par exemple trouver que le graphite est un semi-métal).

On peut même mettre des interactions avec les 3ième, etc...

Le problème est que en augmentant le nombre d'éléments de matrice on se trouve avec trop de paramètres pour fitter des résultats expérimentaux.

En plus les "vrais fonctions" d'onde sont très loin d'être des combinaisons linéaires d'onde plane ou des combinaisons linéaires de fonctions d'onde atomiques.

Donc en faisant un modèle dont l'espace de Hilbert est de petite dimension (4 dans les exemples précedents) il est illusoire de multiplier les éléments de matrice.

En plus les modèles à 1 électron pédagogique mettent sous le tapis la vrai difficulté qui est que les spectres expérimentaux ne sont pas ceux d'un électron mais d'une excitation élémentaire, cad d'une quasi-particule qui collecte tous les effets à N corps.

Bien entendu il est impossible, théoriquement, d'intégrer les effets à N corps dans un modèle aussi simple que celui des liaisons fortes. Donc illusoire de sophistiquer un modèle de liaison forte.

2) Un électron en liaison forte ne se balade pas "librement" : si c'était le cas, sa relation de dispersion serait la parabole , et point serait besoin de la déterminer.

Il y a 2 sortes d'états pour les électrons: les états localisés (par une impurété, ou par le désordre) et les états étendus qui sont les états de bandes et qui représentent un mouvement sur l'ensemble du cristal et qui appartiennent à la représentation k.

[invite1acecc80]

Re,

1) Le réseau hexagonal de Bravais contient un noeud au centre de chaque hexagone, qui est absent du réseau en nid d'abeille.
Je ne connais qu'une façon d'engendrer ce dernier réseau : partir d'un triangulaire et mettre le bon motif.
En connaissez-vous une autre ?

2) J'avais dans la tête l'exemple du graphite (un électron par maille élémentaire).

1) Pensez comme vous le voulez mais je ne discute pas là pour tester les compétences, (je sens une pointe d'ironie de votre part):

Le réseau réciproque sous jacent d'un réseau en nid d'abeille est un hexagonal.
Le réseau réciproque d'un réseau hexagonal est hexagonal...

Ensuite, il existe en tout et pour tout 4 réseaux de Bravais en 2D (de souvenir pas de trigonal).

Pour le réseau, vous pouvez prendre le centre de l'hexagone au milieu de la liaison carboneA-carboneB du nid d'abeille.... (en un mot vous translatez le réseau hexagonal...

2) je ne comprends pas l'exemple du graphite avec le dopage (je ne vois pas le rapport).
Pouvez-vous développez?

Au revoir

[invite1acecc80]

Il y a 2 sortes d'états pour les électrons: les états localisés (par une impurété, ou par le désordre) et les états étendus qui sont les états de bandes et qui représentent un mouvement sur l'ensemble du cristal et qui appartiennent à la représentation k.

Je confirme: quelquesoit le désordre, le réseau... Il y a deux types d'états pour les porteurs de charges.
ceux localisés: fonction d'onde propre intégrable
ceux non localisés: fonction d'onde propre non-intégrable.

A plus.

[Armen92]

Re,
1) Pensez comme vous le voulez mais je ne discute pas là pour tester les compétences, (je sens une pointe d'ironie de votre part):

Le réseau réciproque sous jacent d'un réseau en nid d'abeille est un hexagonal.
Le réseau réciproque d'un réseau hexagonal est hexagonal...

Ensuite, il existe en tout et pour tout 4 réseaux de Bravais en 2D (de souvenir pas de trigonal).

Pour le réseau, vous pouvez prendre le centre de l'hexagone au milieu de la liaison carboneA-carboneB du nid d'abeille.... (en un mot vous translatez le réseau hexagonal...

2) je ne comprends pas l'exemple du graphite avec le dopage (je ne vois pas le rapport).
Pouvez-vous développez?

Au revoir

1) Non, non, il n'y a aucune ironie de ma part, soyez-en sûr.
Je n'ai pas le Ashcroft et Mermin sous la main mais, si mes souvenirs sont exacts, ils citent le nid d'abeille comme exemple de réseau qui n'est pas de Bravais (en pointant justement le centre d'un hexagone), et ils donnent la seule façon que je connais de le construire si on veut pouvoir se référer à un réseau de Bravais.
2) dans le cas du graphite, la seule considération des plus proches voisins donne une surface de Fermi réduite à 6 points. Dans l'approche élémentaire de la conductivité, cela entraîne que la conductivité est nulle.
Si l'on inclut un terme aux seconds voisins (w), ce qui ne se borne pas à décaler les bandes, on trouve que si w>v/3 (v=premiers voisins), deux bandes se chevauchent en énergie dans la première zone de Brillouin : dans cette modélisation, on trouve effectivement un semi-métal à condition que le couplage aux seconds voisins soit assez fort.

[Armen92]

1) Le problème est que en augmentant le nombre d'éléments de matrice on se trouve avec trop de paramètres pour fitter des résultats expérimentaux.
2) En plus les modèles à 1 électron pédagogique mettent sous le tapis la vrai difficulté qui est que les spectres expérimentaux ne sont pas ceux d'un électron mais d'une excitation élémentaire, cad d'une quasi-particule qui collecte tous les effets à N corps.
Bien entendu il est impossible, théoriquement, d'intégrer les effets à N corps dans un modèle aussi simple que celui des liaisons fortes. Donc illusoire de sophistiquer un modèle de liaison forte.

Si j'ai bien compris le sens de la question initiale, le point n'est pas de "fitter des résultats expérimentaux" (pour faire cela sérieusement, il faut faire de gros calculs sur machine), mais d'expliquer quelques notions. Dans cette optique, il n'est nullement illusoire de développer rationnellement un modèle donné si cette amélioration rend compte d'effets non prévus par la modélisation plus rustique.
D'autant que, pour un hexagone de graphite par exemple, il n'y a pas de différence majeure entre les premiers et les seconds voisins...
2) Bien évidemment, et c'était aussi inclus dans la question initiale, le point n'est pas de discuter des effets à N-corps tant que l'on n'a pas le soupçon d'un isolant de Mott. Tout le monde sait qu'ils peuvent jouer un rôle, mais tout le monde sait aussi, grâce à Nozières et Pines (et Landau !), que nombreux sont les systèmes où une théorie à un corps donne des résultats satisfaisants. Pour les autres, on s'en remet à Mott et à ses successeurs.

[invite1acecc80]

Re,

1) Non, non, il n'y a aucune ironie de ma part, soyez-en sûr.
Je n'ai pas le Ashcroft et Mermin sous la main mais, si mes souvenirs sont exacts, ils citent le nid d'abeille comme exemple de réseau qui n'est pas de Bravais (en pointant justement le centre d'un hexagone), et ils donnent la seule façon que je connais de le construire si on veut pouvoir se référer à un réseau de Bravais.

Il faudrait que vous definissiez trigonal...ça se trouve, nous parlons de la même chose.
Si on parle de trigonal, pour moi, je vois "triangle équilatéral" et dans ce cas, je ne "mappe"(surface limitée par le triangle) pas tout le plan avec des translations (par contre avec un hexagone oui).

2) dans le cas du graphite, la seule considération des plus proches voisins donne une surface de Fermi réduite à 6 points. Dans l'approche élémentaire de la conductivité, cela entraîne que la conductivité est nulle.
Si l'on inclut un terme aux seconds voisins (w), ce qui ne se borne pas à décaler les bandes, on trouve que si w>v/3 (v=premiers voisins), deux bandes se chevauchent en énergie dans la première zone de Brillouin : dans cette modélisation, on trouve effectivement un semi-métal à condition que le couplage aux seconds voisins soit assez fort.

Je traitais un cas bidimensionnel et non tridimensionnelle (là vous parlez d'un couplage entre plan).
Ensuite, dans votre cas je veux bien vous croire (j'en sais rien en fait). Le mieux de ce que je connais correctement ce sont des empilements au mieux de 3 mono-plans en type bernal avec saut plus proche voisins...
Par contre pour un nid d'abeille 2D: le terme de saut du 2ème plus proche voisin, ne donne qu'une simple translation en énergie près des 6 points que vous parlez (les points de Dirac).

A plus.

[Armen92]

Re,
1) Il faudrait que vous definissiez trigonal...ça se trouve, nous parlons de la même chose.
Si on parle de trigonal, pour moi, je vois "triangle équilatéral" et dans ce cas, je ne "mappe"(surface limitée par le triangle) pas tout le plan avec des translations (par contre avec un hexagone oui).



2) Je traitais un cas bidimensionnel et non tridimensionnelle (là vous parlez d'un couplage entre plan).
Ensuite, dans votre cas je veux bien vous croire (j'en sais rien en fait). Le mieux de ce que je connais correctement ce sont des empilements au mieux de 3 mono-plans en type bernal avec saut plus proche voisins...
Par contre pour un nid d'abeille 2D: le terme de saut du 2ème plus proche voisin, ne donne qu'une simple translation en énergie près des 6 points que vous parlez (les points de Dirac).

A plus.

Re-bonjour,
1) Usuellement, on appelle "triangulaire" un réseau dont la maille élémentaire est un triangle équilatéral. Il pave le plan sans trous ni recouvrements.
2) Le modèle du graphite auquel je me suis référé est bien bidimensionnel (en laissant sous le tapis le théorème de Mermin-Wagner).
Le couplage aux seconds voisins, représenté par la quantité w, est entre deux carbones non adjacents. Je ne vois pas qu'il se réduit à un décalage (les deux atomes d'un même motif n'ont pas les mêmes interactions avec les autres atomes du réseau).

[invite1acecc80]

Re,

2) Bien évidemment, et c'était aussi inclus dans la question initiale, le point n'est pas de discuter des effets à N-corps tant que l'on n'a pas le soupçon d'un isolant de Mott. Tout le monde sait qu'ils peuvent jouer un rôle, mais tout le monde sait aussi, grâce à Nozières et Pines (et Landau !), que nombreux sont les systèmes où une théorie à un corps donne des résultats satisfaisants. Pour les autres, on s'en remet à Mott et à ses successeurs.

Juste en passant:
Je signale qu'il existe un problème à N corps antérieur au isolant de Mott et qui ne participe pas au modèle des liquides de Fermi: les supraconducteurs type 1.
Pour lui, on s'en remet à BCS et non à Mott et à ses successeurs.

A plus.

[mariposa]

Si j'ai bien compris le sens de la question initiale, le point n'est pas de "fitter des résultats expérimentaux" (pour faire cela sérieusement, il faut faire de gros calculs sur machine), mais d'expliquer quelques notions.

.

Les "gros" calculs a 1 corps, cad en champ moyen, sont justement très loin de rendre compte des résultats expérimentaux.

C'est pourquoi qu'au lieu de poursuivre les "gros "calculs en intégrant les corrélations on préfère utiliser des modèles très simples qui ont le mérite de la lisibilité. Le danger est de vouloir trop sophistiquer un modèle simple.

Dans cette optique, il n'est nullement illusoire de développer rationnellement un modèle donné si cette amélioration rend compte d'effets non prévus par la modélisation plus rustique.

Je ne comprend pas ta phrase.

D'autant que, pour un hexagone de graphite par exemple, il n'y a pas de différence majeure entre les premiers et les seconds voisins...

je n'ai jamais travaillé sur le graphite mais a vue de nez et à l' improviste on doit pouvoir prendre sur chaque site un jeu de 2 orbitales hybrides sp2 dans le plan et des orbitales pz orthogonales qui lient les plans.

Sous réserve de ne pas me tromper cela doit faire 2 paramètres d'integrales de saut. Donc la question est déjà de savoir ce que l'on peut déjà expliquer avec un tel modèle simple de bandes.

2) Bien évidemment, et c'était aussi inclus dans la question initiale, le point n'est pas de discuter des effets à N-corps tant que l'on n'a pas le soupçon d'un isolant de Mott.

Le problème à N corps est loin de se ramener aux transition isolants-métal à la Mott!.

Tout le monde sait qu'ils peuvent jouer un rôle, mais tout le monde sait aussi, grâce à Nozières et Pines (et Landau !), que nombreux sont les systèmes où une théorie à un corps donne des résultats satisfaisants.

Non, c'est le contraire. La plupart de la physique du solide butte sur une myriade de problèmes à N corps. Heureusement que dans le Silicium et le GaAs les pb a N corps sont cachés. Et pas toujours. Par exemple les impuretés de transition dans ces matériaux ne peuvent se comprendre qu'en prenant en compte les bons effets à N corps.

Pour les autres, on s'en remet à Mott et à ses successeurs.

Sur quelles bases tu associes Mott les problèmes à N corps

[invite1acecc80]

Re,

1) Usuellement, on appelle "triangulaire" un réseau dont la maille élémentaire est un triangle équilatéral. Il pave le plan sans trous ni recouvrements.

Non, si vous considérez le triangle dont les vecteurs de votre base sont les arètes (puis vous fermez votre triangle en rejoignant les 2 points extêmes de votre base), vous ne mapppez pas tout le plan....

Le couplage aux seconds voisins, représenté par la quantité w, est entre deux carbones non adjacents. Je ne vois pas qu'il se réduit à un décalage (les deux atomes d'un même motif n'ont pas les mêmes interactions avec les autres atomes du réseau).

"L'astuce" c'est que vous vous placez avec w>(1/3)v....
D'ailleurs des calculs "ab-initio" montrent plutôt un w bien inférieur mais bon...
Pour avoir une surface de Fermi réduite à 6 points alors vous n'avez pas besoin de considérer les sauts des seconds plus proches voisins un seul suffit...j'ai bien les points de Dirac.

Remarque: le théorème de Mermin-Wagner ici ne s'applique que pour un cristal plan ( il ne tient pas compte des variétés bidimensionnelle incluse dans un espace 3D)....on peut donc avoir des cristaux "2D", exemple graphène.

Vous connaissez surement, vu votre rang:
A.H Castro Neto
Rev. Mod. Phys. 81, 109 (2009)
The electronic properties of graphene

A plus.

[mariposa]

Remarque: le théorème de Mermin-Wagner ici ne s'applique que pour un cristal plan ( il ne tient pas compte des variétés bidimensionnelle incluse dans un espace 3D)....on peut donc avoir des cristaux "2D", exemple graphène.

Bonjour,

Qu'est-ce que le théorème de Mermin-Wagner?

[invite1acecc80]

Re,

Bonjour,

Qu'est-ce que le théorème de Mermin-Wagner?

Il est cité pour dire q'un cristal de dimension strictement inférieure à 3 ne peut pas exister à température non nulle. Les vibrations du réseau tend à détruire la structure régulière du réseau.
Si je me rappelle bien, ça part d'une idée de Laudan et de Peirls initialement.... il faudrait que je retrouve celà.

A plus.

[mariposa]

Re,


Il est cité pour dire q'un cristal de dimension strictement inférieure à 3 ne peut pas exister à température non nulle. Les vibrations du réseau tend à détruire la structure régulière du réseau.
Si je me rappelle bien, ça part d'une idée de Laudau et de Peirls initialement.... il faudrait que je retrouve celà.

A plus.

OK, Merci.

Cela voudrait donc dire qu'un cristal linéaire prendrait la forme d'une courbe à T = 0 ?

[Armen92]

Re,


1) Non, si vous considérez le triangle dont les vecteurs de votre base sont les arètes (puis vous fermez votre triangle en rejoignant les 2 points extêmes de votre base), vous ne mapppez pas tout le plan....
2) "L'astuce" c'est que vous vous placez avec w>(1/3)v....
D'ailleurs des calculs "ab-initio" montrent plutôt un w bien inférieur mais bon...
3) Pour avoir une surface de Fermi réduite à 6 points alors vous n'avez pas besoin de considérer les sauts des seconds plus proches voisins un seul suffit...j'ai bien les points de Dirac.
4) Remarque: le théorème de Mermin-Wagner ici ne s'applique que pour un cristal plan ( il ne tient pas compte des variétés bidimensionnelle incluse dans un espace 3D)....on peut donc avoir des cristaux "2D", exemple graphène.
A plus.

1) Là, je ne comprends pas. Le réseau triangulaire de Bravais auquel je me réfère peut être engendré par deux primitifs et de même longueur et faisant un angle de 60°. Que le triangle ne pave pas le plan, c'est sûr (il faudrait le retourner), mais ce n'est pas le triangle que l'on translate, ce sont ses sommets. Que je sache, on obtient bien ainsi un réseau de Bravais.
Le nid d'abeille s'en déduit en mettant un motif diatomique, avec un atome à l'origine et un autre au centre du triangle équilatéral dont et forment deux côtés.
2) Il n'y a aucune "astuce". Le fait est que le calcul avec un w quelconque révèle l'existence d'un seuil (w=v/3) au-delà duquel deux bandes se recouvrent dans la première zone de Brillouin.
N'étant pas expert, loin de là, en calculs ab initio, je ne savais pas que certains de ces calculs donnent un w nettement plus faible que ce seuil. Merci pour cette information.
3) Oui, oui, c'est ce que j'ai écrit plus haut : avec les seuls premiers voisins la surface de Fermi se réduit à 6 points.
4) Le peu que je sais du théorème de Mermin-Wagner est qu'il montre l'impossibilité d'un cristal plan. De fait, le graphène n'est pas 2D, stricto sensu, puisque sa surface ondule.

[Armen92]

OK, Merci.

Cela voudrait donc dire qu'un cristal linéaire prendrait la forme d'une courbe à T = 0 ?

Non, plutôt un zig-zag. Les fluctuations prévues par Mermin-Wagner sont en compétition avec une sorte de tension de surface. Le graphène ondule pour cette raison.

[mariposa]

Non, plutôt un zig-zag. Les fluctuations prévues par Mermin-Wagner sont en compétition avec une sorte de tension de surface. Le graphène ondule pour cette raison.

Ok pour le graphène mais je faisais allusion à un hypothétique cristal à 1 dimension, donc un fil.

[Armen92]

Ok pour le graphène mais je faisais allusion à un hypothétique cristal à 1 dimension, donc un fil.

Le graphène ondule, le fil aussi (c'est donc plutôt un zig-zag).

[invite1acecc80]

Re,

1) Là, je ne comprends pas. Le réseau triangulaire de Bravais auquel je me réfère peut être engendré par deux primitifs et de même longueur et faisant un angle de 60°. Que le triangle ne pave pas le plan, c'est sûr (il faudrait le retourner), mais ce n'est pas le triangle que l'on translate, ce sont ses sommets. Que je sache, on obtient bien ainsi un réseau de Bravais.
Le nid d'abeille s'en déduit en mettant un motif diatomique, avec un atome à l'origine et un autre au centre du triangle équilatéral dont et forment deux côtés.

C'est bien ce que je disais, c'est un réseau hexagonal qui est un réseau de bravais...
Un réseau "triangulaire" n'est pas de définition au sens des réseaux.
D'ailleurs, dans la nomenclature des réseaux, il n'y a pas de définition de "réseau triangulaire".
Au final, on parlait de la même chose ( à la différence qu'un hexagone pave un plan entier )

2) Il n'y a aucune "astuce". Le fait est que le calcul avec un w quelconque révèle l'existence d'un seuil (w=v/3) au-delà duquel deux bandes se recouvrent dans la première zone de Brillouin.

C'est vrai qu'il n'y a aucune "astuce", ce que je voulais dire c'est que l'on prenne ou non un couplage entre 2ème plus proche voisin, le réseau en nid d'abeille reste un "semi-métal" (avec un recouvrement se limitant à un point si seulement couplage premier voisin ou si le couplage second voisin reste faible).

N'étant pas expert, loin de là, en calculs ab initio, je ne savais pas que certains de ces calculs donnent un w nettement plus faible que ce seuil. Merci pour cette information.

Pas de souci, on en apprend tous les jours. C'est ça la recherche...

4) Le peu que je sais du théorème de Mermin-Wagner est qu'il montre l'impossibilité d'un cristal plan. De fait, le graphène n'est pas 2D, stricto sensu, puisque sa surface ondule.

C'est celà... mais bon du graphène totalement suspendu reste un objet purement théorique...

@ Mariposa:
Tu parlais de 2 paramètres au moins....
c'est vrai dans "l'absolu" (je vais peut-être mal m'exprimer): un pour "le recouvrement sp²" (3 électrons réalisant la structure en nid d'abeille). un autre pour le couplage type p_z (1 électron).
Pour la "surface" de Fermi, ou pour l'étude du transport, un seul suffit (celui du coupagle p_z).
On peut utiliser le modèle de Hückel pour les systèmes conjugués .
Au final, le graphéne est une grosse molécule aromatique...

Bonsoir.