Matrice d'inertie d'un anneau

[inviteed4c160a]

Bonjour, je suis en train de calculé la matrice d'inertie d'un anneau de rayon R dans son repère lié Rs=(G,X,Y,Z) et j'ai un peu de mal.

Je voulais partir sur le principe du calcul de la matrice d'un disque mais je ne sais pas si je suis sur la bonne route car j'ai des difficultés.
Pour un disque j'ai procédé de la manière suivante :
dV=rdrdthetadZ
GM=r vect(er)

donc I11=Intégrale(Y²dm)=rho*Intégr ale(0,r)(r^3*dr)*Intégrale(0;2 pi)(sin^2theta*dtheta).

Or Intégrale(0;2pi)(sin^2theta*dt heta)=Pi
Donc On trouve au finale I=MR^2/4

Mais voilà ici notre anneau a un petit rayon r1 et un grand rayon r2
et je trouve I11=m(r1²+r2²)/4
et je ne pense pas que ce soit juste.

Merci de me donner un petit coup de pouce.

A bientôt
-----

[invite8d75205f]

Bonsoir,

Bonne idée de partir du disque.

Pour des raisons de symétrie évidentes, I_xx= I_YY.
Calcule donc I_xx + I_yy ! (c'est plus simple que I_xx ou I_yy seuls).
Pour Izz, je te laisse trouver la réponse seul.

cordialement

[inviteed4c160a]

Bonjour, merci de ton coup de pouce nico c'est gentil de ta part.

Soit r1 le petit rayon de l'anneau et r2 le grand rayon de l'anneau.
Donc pour Ixx+Iyy on trouve :

Ixx+Iyy = m(r2²+r1²)/4
donc 2*Ixx=m(r2²+r1²)/4
Donc Ixx=(1/2)*(m(r2²+r1²)/4)=m(r2²+r1²)/2.

Pour Izz on sait que c'est : Intégrale(x²+y²)(dm) soit :

Izz=Ixx+Iyy=2*Ixx=m(r2²+r1²)

Est ce juste ?

Pourquoi peut on dire que la matrice reste inchangée dans tout repère déduit de Rs par rotation d'axe(G.z)?
Est-ce parque le solide possède une symétrie sur x et y ?

Merci encore

[inviteed4c160a]

arf, je viens de me rendre compte que je suis un peu aller trop vite.

du coup 2Ixx=m(r2²+r1²)/4
donc Ixx==m(r2²+r1²)/8

et du coup c'est faut. Je ne trouve pas mon erreur

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d75205f]

Bonsoir,

j'aurais dû commencer par te demander si l'anneau avait une épaisseur ou était plat. Alors ?
De toutes façons tu ne peux trouver les moments d'inertie que par intégration ici, et en intégrant je ne trouve pas le même résultat que toi (ce qui n'est pas une preuve que ta réponse est fausse !)

[inviteed4c160a]

Je pense qu'on le considère sans épaisseur.

[invite8d75205f]

Ok, dans ce cas l'intégrant pour Ixx + Iyy est :

rho*r²*rdrdtheta.

(Le fait que l'anneau soit plat n'est pas très physique d'autant que l'introduction d'une épaisseur ne modifie pas la difficulté du problème)

[inviteed4c160a]

oui et donc thêta varie de 0 à 2pi.
Et r varie de r1 à r2 ?

[invite8d75205f]

Oui, c'est ça !

[inviteed4c160a]

donc si on intègre on trouve :
Ixx+Iyy=(m/(pi(r2²-r1²)))*(r2^4/4-r1^4/4) soit m(r2²+r1²)/4

or la matrice d'un anneau est la suivante :http://scienc.industrielles.free.fr/...%27inertie.htm

donc je ne comprend plus très bien cet écart

[inviteed4c160a]

Oups j'ai oublié le 2pi
donc ça fait : Ixx+Iyy=(m/(pi(r2²-r1²)))*(r2^4/4-r1^4/4)*2pi soit m(r2²+r1²)/2
Mais il faudrait que l'on est pour Ixx+Iyy=m(r2²+r1²) non ?

En plus de cela on ils ont Ixx=mR²/2 comment ont ils intégrés pour ne pas avoir r2 et r1?

[invite8d75205f]

j'ai regardé ton lien : l'anneau est un cercle ! (dans le cas que tu as présenté plus haut, il me semble que la figure s'appelle une couronne)
Dans le cas du cercle, l'intégrant pour Ixx+Iyy est simplement :
lambda*r²*rdtheta, avec lambda densité linéique et r constant. Calcule cette intégrale et tu verras le bon résultat apparaître!

rmq: dans ton intégrale pour une couronne, tu as oublié un facteur 1/3 !

cordialement

[inviteed4c160a]

Ok mais le facteur 1/3 vient d'où ? je l'ai oublié à quel moment ?

Sinon pour la densité linéique je verrais ça demain car le je suis un peu fatigué.
Je te remercie beacoup pour ton aide. je te tiens au courant demain.

A demain.

[invite8d75205f]

Tu n'as rien oublié, c'est moi qui racontais des âneries.

Dans l'expression (juste) que tu as trouvée pour la couronne, tu vois que si tu fais tendre r₁ vers r₂, tu retrouves bien les Ixx et Iyy de l'anneau.

[inviteed4c160a]

Ok donc avec la densité linéique je retrouve bien la formule. Je te remercie de ton aide.

Mais comment peut on dire qu'une matrice d'inertie reste inchangée dans tout repère déduit de Rs ?

[invite8d75205f]

Ok donc avec la densité linéique je retrouve bien la formule. Je te remercie de ton aide.

Mais comment peut on dire qu'une matrice d'inertie reste inchangée dans tout repère déduit de Rs ?

... par rotation d'axe Oz. Si tu fais tourner l'anneau autour de cet axe, tu trouves toujours le même anneau donc la même matrice d'inertie.

Dans un repère quelconque, cette matrice n'a pas la même forme simple que celle que tu as trouvée.

cordialement

[inviteed4c160a]

Bonjour,

et que ce passe t-il si Rs est déduit des rotations issues des angles d'Euler ?

encore merci

[invite8d75205f]

Bonsoir,

les angles d'Euler décrivent une rotation quelconque d'un repère par rapport à un autre. Ma réponse précédente tient donc toujours.

cordialement

[inviteed4c160a]

ok merci beaucoup pour ton aide Nico.

A bientôt