Pb en mécanique des milieux continus

[invite86f0335b]

Bonjour,
J'ai un petit problème qui a l'air assez basique...

On prend un sphere de matériau fixé. On appuie dessus ponctuellement au sommet verticalement. Je souhaite avoir le deplacement en tout point. On néglige le poids. La sphere ne bouge pas.

Mes vieux souvenirs de mmc me suggerent de calculer les contraintes en tout point ( avec div sigma+f=0). Puis avec la loi de comportement calculer les déformations, puis d'integrer pour avoir le déplacement. Le tout en coordonnée sphérique.

Est ce déjà la bonne démarche à suivre? Si oui, si qq pourrait me montrer comment on obtient les contraintes, ça serait génial Après ça devrait aller c'est que du calcul.
Merci!
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[invitede3270a5]

salutations,

A mon sens tu as raison : dans le sens ou tu fais ton bilan divergent (sigma) + F = 0 (pas de second membre car cas statique)

Ensuite loi de comportement du matériau style loi de Hooke : [sigma]=[K]*[deformations] en matriciel [K étant la matrice raideur ou la matrice propriétés des matériaux suivant tes 3 directions (en 3D) : matrice avec les E (Young), nu (poisson) et G (cisaillement)]

Tu cherches :
[déformations]=[sigma][K] ^1 [la matrice inverse je veux dire]


Tu cherches les déplacements : les déformations sont les dérivées du déplacement. (il y a aussi la matrice changement de base vis a vis des coordonnées principales de ton étude)

N'oublie pas les abaques pour les coordonnées sphériques "polaires" pour gagner du temps [différent des coordonnées dans un plan]

http://www.imprimerie.polytechnique....plasticite.pdf


Voila, bon courage (c'est la bonne voie pas de probleme)

Fuzible

[invitede3270a5]

petite précision : ton tenseur des contrainte du départ (sigma) est une matrice : sigma 11 , 12, 13/22 , 21, 23/31,32,33) il faut ensuite le passer en coordonnées principales [sig11,0,0/0,sig22,0/0,0,sig33] en trouvant la matrice de changement de base (la rentrent les coord. polaires)

[j'espere pas trop dire d'aneries]

Fuzible

[invite86f0335b]

Salut
merci pour cette réponse rapide!

Vu que tu as l'air motivé pour m'aider, j'ai encore quelques petites questions :
Pour div(sigma)+f=0 c'est bien div(sigma(i,j))+f=0 pour tout i,j . J'ai du mal à différencier force réparti et force ponctuelle pour cette force. f represente les forces appliqués non? comment on fait la différence entre ponctuelle/réparti (bon la ca montre que je suis bien nulle en mmc )
sigma 11 , 12, 13/22 , 21, 23/31,32,33 t'entends quoi par 13/22 et 23/31???

Pour la loi d'hooke, j'ai appris avec la force de hooke def(i,j)=-nu/E*sigma... cette force revient au même que la tienne, non?

Et question hyperimportante, pourquoi faut il changer écrire les matrices de contrainte et de déformation avec la base principale? Je sais les changer de base, par contre je ne comprends pas mathématique et physiquement l'intérêt...

Après pour les déformations, j'ai juste appris que def=1/2(grad u+trans(grad u)). Pff, peut etre que ca a l'air plus fesable en le posant proprement, la je ne vois pas comment je vais m'en sortir...

Merci beaucoup Désolée pour les nombreuses fautes d'orthographe

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitede3270a5]

Force répartie euh charge répartie = charge ramené a une surface (pression)
ou parfois en N/m (dans le cas de poutres par exemple)

F represente les forces dites de volume exemple le poids.
sigma c'est ce que toi tu exerces en tant que charge répartie.

J'ai jamais entendu parlé de "FORCE DE HOOKE" donc la formule classique c'est : sigma=E*Epsilon (Epsilon = déformations , E module young, sigma contrainte appliquée) exemple un essai de traction.

et maintenant en matriciel ou tensoriel : [sigma]=[K][déformations] ici sigma et défomation sont des tenseurs et K matrice générale qui regroupe les propriétés du matériau dans les 3 coordonnées principales.


Les coordonnées principales nécessitent un changement de base : c'est pour etre dans le repere "matériau" ça permet a ton tenseur sigma :

sigma =
|sig(11) sig (12) sig (13)|
|sig(21) sig (22) sig (23)|
|sig(31) sig (32) sig (33)| {base x1,x2,x3} de sécrire dans un repere de telle façon que y ait que les termes 11, 22 ,33 qui restent dans une base X,Y,Z par exemple :

sigma=
|sig(X) 0 0|
|0 sig(Y) 0|
|0 0 sig(Z)|{X,Y,Z}

meme chose avec les déformations pour avoir les déformations principales pas avec les membres mixtes !!
En maths on appelle ça des valeurs propres et vecteurs propres [sigma](X,Y,Z) = vecteur propre.

du coup on a un truc comme ça :
|sigX|
|sigY|
|sigZ|
au lieu d'une matrice 3x3 tu auras seulement 3X1
Ta matrice matériau (elasticité ou "raideur" K) va etre en 3x3 toujours.
Pour t'aider un peu plus :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Raideur...3%A9canique%29

http://fr.wikipedia.org/wiki/Contrainte_principale

http://fr.wikiversity.org/wiki/Initi...et_contraintes


Si tu veux pas utiliser les contraintes tu utilises : F=K*x (style le ressort) mais pour les matrices [F]=[K][u] Force, raideur , déplacements

PS : avant le Master 1 j'avais jamais fait de mmc (style matrices).

cdt,
Fuzible