Bonjour à tous,
Je suis en train de parcourir le Landau sur la théorie des champs, et il y a un point important que je ne comprends pas dans son introduction au calcul tensoriel : à quoi correspondent les coordonnées covariantes et contravariantes d'un tenseur ? Quelle est la différence entre,
Je fais bien la différence entre ces coordonnées pour un vecteur, mais pas pour un tenseur.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Pourrais-tu expliquer avec tes mots à toi cette différence ?Envoyé par Phys2
(Le but de cette question est de permettre d'utiliser ta compréhension de la différence pour un "vecteur" dans une explication de la différence pour un tenseur, c'est à dire pour répondre de manière aussi efficace que possible à ta question originelle.)
Voilà comment je le comprends :
Soit E un espace vectoriel euclidien. En considérant l'application
If your method does not solve the problem, change the problem.
OK.
Faut alors procéder en étapes.
Première étape :
Dans ton texte, tu as bien identifié la notion de forme linéaire. Tu parles de deux espaces, E et E*, qui correspondent à deux choses distinctes, les formes (les éléments de E*) et ce qu'on va appeler par abus les "vecteurs" (les éléments de E).
Oublions alors totalement l'isomorphisme dont tu parles dans ton message (on y reviendra à la troisième étape).
Notons au passage qu'avec cet "oubli", l'hypothèse "euclidien" n'a plus aucune utilité. La notion de forme linéaire est bien définie sur tout espace vectoriel, indépendamment de tout produit scalaire ou de bases.
Seconde étape :
Sur cette base, il est clair que
Réciproquement, toute application linéaire de E dans R peut se voir comme un
Or on peut voir
Ainsi, les deux notations peuvent être vues comme des applications linéaires resp. de E ou E* vers R.
Point important : les deux notations désignent alors des objets dans des espaces différents.
Maintenant, prenons des applications bilinéaires resp. de ExE, ExE* et E*xE*. Prenons le premier cas, une application A de ExE dans R, c'est
Eh bien, on note une telle application
On fait la même chose dans les deux autres cas, en utilisant des notations différentes,
(Il est usuel, mais pas systématique, de "confondre" ExE* dans R et E*xE dans R, qui sont isomorphes via la permutation des arguments.)
Troisième étape :
Dans ton texte tu as utilisé un isomorphisme entre E et E*. Cet isomorphisme, si tu regardes bien, vient de la formule sous-jacente à <x,y> dans ton texte, qui est interprété de deux manières : 1) Comme l'application d'une forme linéaire x sur un vecteur y, 2) comme le produit scalaire d'un vecteur x' et d'un vecteur y. Cette double interprétation permet d'identifier x (une forme) et x' (un vecteur), autrement dit de construire un isomorphisme entre E et E*.
[On remarquera que cet isomorphisme dépend explicitement du produit scalaire. Or il y a une infinité de produits scalaires sur un espace vectoriel : il y a une part d'arbitraire dans le choix du produit, et donc dans le choix de l'isomorphisme. Or les tenseurs tels que définis lors de la deuxième étape sont indépendants du produit scalaire...]
Si on voulait (mais la question est "pourquoi le faire?") voir
On ne le présente pas comme cela en algèbre tensorielle, parce qu'on n'a pas de raison de le faire. En particulier à cause de la dépendance au choix du produit scalaire.
Du coup, une approche possible (pas suivie par tout le monde, mais la meilleure "au long terme") est d'oublier
En espérant que cela aide...
Cordialement,
Bonjour,
Je te conseillerai de regarder dans la "bibliothèque virtuelle" de physique :
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html
message #8 premier lien. Le poly est simple et sympa.
C'est parfait, merci beaucoup
Une petite question : si l'on considère le tenseur métrique
J'ai également vu écrit :
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci, je vais aller voir ça.
If your method does not solve the problem, change the problem.
OuiUne petite question : si l'on considère le tenseur métrique
Oui aussi, mais en prenant en compte un isomorphisme entre E et E*.pourtant, on écrit souvent la forme matricielle
Il y a ainsi plusieurs interprétations d'un même tenseur selon les arguments qu'on fixe. Un tenseur
Le type de tenseur qui correspond "proprement" (sans faire appel à un isomorphisme entre E et E*) à une application de E dans E sont ceux notés
Note : une matrice carrée peut représenter n'importe lequel des trois types de tenseurs d'ordre 2, mais si on les multiplie entre elles, il s'agit des morphismes de E (ou de E*), des
Via un isomorphisme entre E et E*, tu peux construireJ'ai également vu écrit :
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 25/04/2010 à 15h30.
PS : J'écris "un isomorphisme entre E et E*", le "un" soulignant la généralité (important quand le tenseur métrique ou pseudo-métrique est explicité, comme dans ton message précédent).
Dans le cas euclidien, il s'agit implicitement d'un isomorphisme précis, celui obtenu avec le produit scalaire. En euclidien on dira l'isomorphisme, et il correspond aux "opérations musicales", baisser ou monter un indice... En minkowskien pareil, mais il y a alors un changement de signe "caché" sous ces opérations, comme le montre la matrice que tu as indiquée...
Quand on explicite, l'isomorphisme entre E et E* est donné par le tenseur métrique, et est
Regarde ce que tu trouves sur les formes bilinéaire et les espaces euclidiens (d'ailleurs ça doit être vu en prépa je pense), tu verras que l'on peut représenter une forme bilinéaire par un matrice (et il se trouve que le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive d'où ma référence aux espaces euclidiens). Ici le tenseur métrique peut-être vu comme représentant une telle forme bilinéaire (définie sur ExE , E*xE, E*xE* selon que ses indices sont tous en bas, en bas en haut, ou tous en haut). Et cette forme bilinéaire est en quelques sorte le produit scalaire associé à R4 (je dis en quelque sorte car elle n'est pas définie positive, on parle donc de pseudo-produit scalaire).pourtant, on écrit souvent la forme matricielle
édit : je suis définitivement trop lent à répondre.
L'isomorphisme entre E et E* permet donc de dire queOui aussi, mais en prenant en compte un isomorphisme entre E et E*.
Il y a ainsi plusieurs interprétations d'un même tenseur selon les arguments qu'on fixe. Un tenseur
Ce n'est pas plutôtQuand on explicite, l'isomorphisme entre E et E* est donné par le tenseur métrique, et est
Sinon, dans le cadre de la relativité restreinte, comment détermine-t-on le tenseur métrique ? Est-ce qu'on part de l'expression de l'intervalle
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui, mais j'écrirais "Un isomorphisme..."... SiL'isomorphisme entre E et E* permet donc de dire que
Oui. Désolé de la typo, mais tu as corrigé de toi-même...Ce n'est pas plutôt
Je ne comprends pas trop bien où la difficulté dans la suite, pas le temps maintenant, j'essaierai de comprendre plus tard...Sinon (...)
Cordialement,
Je voulais juste savoir par quel raisonnement on détermine les composantes du tenseur métrique en relativité restreinte. Je pense qu'on part de l'expressionJe ne comprends pas trop bien où la difficulté dans la suite, pas le temps maintenant, j'essaierai de comprendre plus tard...
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour,
Pour répondre à cette question il faut commencer par savoir écrire une métrique dans un espace euclidien à 2D (pour que tout soit simple).
Non?
Oui, c'est ça.Je voulais juste savoir par quel raisonnement on détermine les composantes du tenseur métrique en relativité restreinte. Je pense qu'on part de l'expression
On met souvent en avant l'expression de la norme (le ds²), mais la formule du "produit scalaire" est plus fondamentale, puisque celle de la norme s'en déduit.
Or le "produit scalaire", c'est juste la vision du tenseur (pseudo-)métrique comme application bilinéaire de ExE dans R...
Cordialement,
Petit détail de style. Une coutume dans la tribu des physiciens est d'utiliser les indices i, j, k en 3D ou en euclidien, et d'utiliser des indices en grec, typiquement
Bonjour,Bonjour à tous,
Je suis en train de parcourir le Landau sur la théorie des champs, et il y a un point important que je ne comprends pas dans son introduction au calcul tensoriel : à quoi correspondent les coordonnées covariantes et contravariantes d'un tenseur ? Quelle est la différence entre
Je fais bien la différence entre ces coordonnées pour un vecteur, mais pas pour un tenseur.
Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance,
Phys2
Je possède un certain nombre de livres de Landau et si tu précises la page ou le chapitre cela m'aiderait à d'aider.
Pour comprendre les tenseurs ta question peut être un point de départ.
Quelle est la différence entre ces 3 tenseurs?
La réponse est que ces 3 tenseurs ne se comportent pas de la même façon dans un changement de base et c'est la simple position des indices (haut et/ou bas) qui l'indique explicitement.
Avant d'entrée dans le vif du sujet voici une question apparemment très simple qui montre ce qu'est un tenseur.
En physique on écrit souvent des expressions mathématiques sous la forme:
W = O.V
où V et W sont des vecteurs et O est un opérateur linéaire qui agit sur V pour donner W.
Et bien O est bien un opérateur mais c'est aussi un tenseur de rang 2 une fois covariant et une fois contravariant.
Comment le démontrer?
Et bien il suffit de faire un changement de base pour examiner le comportement de O. Tu constateras que ce comportement est différent de celui-ci de V et W qui eux sont en fait des tenseurs de rang 1.
Donc O a double statut:
1- C'est un opérateur linéaire.
2- c'est un tenseur de rang 2.
Je te suggère de résoudre ce "petit" problème qui te permettra de dégager l'essence des tenseurs (et des spineurs pour le même prix) et servir d'introduction à la TRG.
Après avoir écrit des tas de choses sur les tenseurs j'en profite pour essayer une présentation la plus générale possible.
La "philosophie" des tenseurs est un jeu mathématiques qui consistent à fabriquer de nouveaux espaces vectoriels à partir d'autres: C'est l'opération produit tensoriel.
Les vecteurs
Important: un vecteur élément d'un espace vectoriel répond des axiomes des espaces vectoriels (il faut oublier les flèches des vecteurs du lycée).
En physique les vecteurs les plus courants sont:
1- Les matrices.
2- Les fonctions.
2- Les opérateurs linéaires.
3- les formes linéaires.
4- Les corps
Le produit tensoriel.
En MQ par exemple on effectue des produits tensoriels d'espace (il s'agit même des fondements même de la MQ).
quelques exemples:
Soient les 3 états P dégénérés |Px>, |Py>, |Pz> d'un atome et |up> et |dw> les états du spin de l'électron. Il s'agit donc de 2 espaces de Hilbert indépendants dont on se propose de faire le produit tensoriel. En présence du couplage spin-orbite ces 2 espaces vont être couplés pour en faire un seul de dimension 6 cad:
|Px,up>, ||Py,dw> etc... qui représentent des produits directes.
Un état de ce nouvel espace de dimension 6 sera une combinaison linéaire de ces 6 nouveaux vecteurs de base. Dans ce contexte là on n'appelle pas tenseurs les nouveaux vecteurs mais spin-orbitales.
la procédure entre des états électroniques et des états vibrationnels est identique et les vecteurs issus du produit s'appellent des états vibroniques.
Les tenseurs cartésiens.
Les exemples ci-dessus concernaient la notion de produit tensoriel avec quelques exemples pris sur la MQ (et qui anticipait en filigrane sur la TRG).
Supposons que l'on a espace vectoriel E de base orthogonale e1, e2, e3 et que l'on effectue un produit tensoriel E.E alors on obtient un nouvel espace vectoriel de dimension 9 dont les vecteurs de base sont:
(e1.e1) (e1.e2) (e1.e3) (e2.e1) (e2.e2) etc...
Un tenseur de cet espace s'écrira:
T = Aij.eij
avec la sommation sur les 9 couples d'indices.
Ceci est un tenseur de rang 2
Quelle différence entre un tenseur de rang 1 et un tenseur de rang 2?
On écrit cote à cote l'expression d'un vecteur de E et d'un vecteur du produit E.E
espace E:
V = Bi.ei (avec sommation sur les i)
Espace E.E
T = Aij.eij
la différence première est qu'ils n'appartiennent pas au même espace et qui d'ailleurs n'ont pas la même dimension. Ce qui fait la différence c'est le comportement dans un changement de base.
En effet soit M un changement dans E qui agit sur chaque vecteur de base M.ei (que l'on peut regarder comme une rotation) et donc les composantes dans la nouvelle base proviennent de l'action de (M-1), (la matrice inverse) sur les anciennes composantes de M pour avoir toujours le même vecteur V qui lui conserve la direction.
Que se passe-t-il dans l 'espace produit tensoriel?
L'action sur le vecteurs de base agissent "2 fois" soit:
eij = ei.ej devient Mei.Mej
et donc les rotations sont doubles dans l'espace produit tensoriel et doivent être compensées par le produit de 2 matrices inverses qui agissent sur les anciennes composantes de telle sorte que T conserve une direction fixe.
C'est pourquoi on dit que V est un tenseur de rang 1 et T un tenseur de rang 2. Il va de soi que si on avait pris le produit tensoriel de 3 espaces E.E.E alors on aurait un tenseur de rang 3.
Vecteur dual.
on vient de voir qu'un tenseur est un produit tensoriel d'espace E.E.E.
On peut élargir l'espace de brique E a son dual E*.
Si V représente un vecteur colonne dans une base déterminée alors on peut lui associer un vecteur qui est représenté par un vecteur ligne qui a les mêmes composantes (vrai si le corps de l'espace vectoriel est sur R, sinon sur C on prend les complexes conjugués).
On peut donc faire un produit multiple d'espaces du style:
E.E.E.E*.E* où E est de dimension n
On définira un tenseur de rang 5 de dimension n puissance 5 que l'on dira 3 fois covariants et 2 fois contravariants.
Pourquoi?
Il suffit de vérifier que les composantes d'un vecteur colonne (cad d'un tenseur une fois contravariant) se transforment dans le sens contraire des vecteurs de base alors que les composantes d'un vecteur une fois covariant se transforment comme les vecteurs de base.
Comment généraliser le produit scalaire?
avec la notion de dualité on peut écrire le produit scalaire de 2 vecteurs V et W en mettant un sous la forme colonne (par exemple V, ce sera par définition le vecteur contravariant) et l'autre sous forme ligne ce sera W (donc vecteur covariant).
On aura donc:
(W,V) = wi*.vi (somme sur les i)
A partir de là on peut insérer une matrice Aij quelconque et inventer un nouveau produit scalaire entre V et W:
(W,V) = wi*Aij.vj (somme sur les i et sur les j)
Insérons l’opérateur 2 fois identité I = (M-1).M soit :
(W,V) = wi*.(M-1).M .Aij. (M-1).M. vj
On voit ainsi la différence de comportement entre les vecteurs V et W selon un changement de base et le tenseur de rang 2 qui se transforment comme 2 fois.
Certains livres introduisent les tenseurs à partir de l'idée de généralisation du produit scalaire.
Un tenseur de rang 2 comme forme bilinéaire.
La plupart des livres de maths élémentaires partent de cette expression pour définir un tenseur de rang 2 comme une forme bilinéaire (2 fois linéaires) cad comme une application d'un couple de vecteurs dans un corps. Comme l'application est vers un espace de dimension 1 on parle de forme bilinéaires et par extension de formes multilinéaires.
donc démonstration.
Soit:
W = O.V
Effectuons un changement de base
Soit M la matrice de changement de base. On a:
M. W = M.O.V
Insérons l'opérateur identité sous la forme [M-1].M
M. W = M.O. [M-1].MV
Donc les composantes de V et de W se transforment comme M.V alors les composantes de O se transforment comme M.O.M-1
a pârtir ce cet exemple il faut voir comment les différents vecteurs se transforment pour identifier leur nature tensorielle.
Exemple simple et très intéressant:
Dans R3 le vecteur champ électrique a 3 composantes de même que le champ magnétique. Et pourtant tensoriellement ils sont très différents le premier est un tenseur de rang 1 et le deuxième un tenseur antisymétrique de rang 2
Antisymétrique veut dire que Tij = - Tij ce qui fait qu'au lieu d'avoir 9 composantes on a seulement 3 composantes indépendantes.
Dans un espace -temps pseudo-euclidien "R4" le vecteur champ électrique et le vecteur champ magnétique forment ensemble un vecteur qui est un tenseur antisymétrique de rang 2 cad un vecteur de 6 composantes.
Un pointeur qui m'avais aidé après les éléments fournis par Michel est l'article sur wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...%A9matiques%29
Exemple usage des formes linéaires (la dualité) en physique http://www.math.ens.fr/culturemath/m...ie/maxwell.pdf
F(aixi) = aiF(xi) La définition d'une forme lineaire sur l'espace Vectoriel Vn est indépendante de tout choix de base dans cet espace. Il suffit de se donner un algorithme de construction qui satisfasse les contraintes exigées.
Soit {e1,e2,...,en} une base de Vn. La donnée des n quantités Fi = F(ei) est suffisante pour déterminer entièrement la forme linéaire :
F(x) = F(xi ei) = xi F(ei) = xi Fi
Il est donc équivalent (mais fonction de la base choisi) de parler de F ou de parler du jeu des Fi.
L'espace dual de Vn, noté Vn* est l'espace formé de toutes les formes linéaires sur Vn. Cet espace dual à n dimension muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel de dimension n.
Etant donné une base {e1,e2,...,en} une base de Vn, la base {e*1,...,e*n} de Vn* définie par e*i(ej) =
Le produit scalaire est une forme bilinéaire. Sur la même base {ei} : u = uiei et v = ujej, on a u.v = uivj ei . ej avec gij = ei.ej
Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques s'obtient alors :
u . v = gij ui vj Les quantités gij détermine la métrique de l'espace vectoriel (composantes d'un tenseur 2 fois covariant).
Patrick
Tout cela est très bien et même juste et hyperclassique.Un pointeur qui m'avais aidé après les éléments fournis par Michel est l'article sur wikipédia http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...%A9matiques%29
Exemple usage des formes linéaires (la dualité) en physique http://www.math.ens.fr/culturemath/m...ie/maxwell.pdf
F(aixi) = aiF(xi) La définition d'une forme lineaire sur l'espace Vectoriel Vn est indépendante de tout choix de base dans cet espace. Il suffit de se donner un algorithme de construction qui satisfasse les contraintes exigées.
Soit {e1,e2,...,en} une base de Vn. La donnée des n quantités Fi = F(ei) est suffisante pour déterminer entièrement la forme linéaire :
F(x) = F(xi ei) = xi F(ei) = xi Fi
Il est donc équivalent (mais fonction de la base choisi) de parler de F ou de parler du jeu des Fi.
L'espace dual de Vn, noté Vn* est l'espace formé de toutes les formes linéaires sur Vn. Cet espace dual à n dimension muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel de dimension n.
Etant donné une base {e1,e2,...,en} une base de Vn, la base {e*1,...,e*n} de Vn* définie par e*i(ej) =
Le produit scalaire est une forme bilinéaire. Sur la même base {ei} : u = uiei et v = ujej, on a u.v = uivj ei . ej avec gij = ei.ej
Le produit scalaire de deux vecteurs quelconques s'obtient alors :
u . v = gij ui vj Les quantités gij détermine la métrique de l'espace vectoriel (composantes d'un tenseur 2 fois covariant).
Patrick
En guise d'application:
Comment fais-tu pour trouver la nature tensorielle des orbitales "d" d'un atome d'hydrogène?
Où est l'espace dual?
Où est la métrique?
