calcul infinitésimal

[invitec8b46424]

Bonjour,

je dois calculé une grande distance sur Terre mais le problème c'est que la Terre n'est pas une sphère parfaite.

J'ai donc voulu faire un calcul avec les intégrales (j'ai appris plus tard que c'est le calcul infinitésimal,enfin c'est ce qu'on m'a dit).

Je fais la somme de très petite longueur que j'appelle dl et je détermine cette longueur grâce à une fonction dont la variable est l'angle où l'équateur est l'une des eux droites qui forme l'angle.

Grâce à cette angle,le rayon de la Terre change et quand j'ai le rayon et l'angle je peux en déduire de la longueur à la surface grâce à la trigonométrie,jusqu'ici pas de problème.

Etant donné que le rayon de la Terre est périodique sur l'intervalle [0;}{2}[/TEX]]

Je me suis donc dit que la fonction devait être une fonction affine car
f(x)=ax+b x étant l'angle
f(0)=6378.137 et f(}{2}[/TEX])=6356.752

J'avais cru en déduire de la fonction avec les deux inconnus et quand j'ai fait le calcul ça m'a donné quelque chose d'absurde.D'ailleurs j'ai compris que c'est totalement faux car l'angle et le rayon ne sont pas proportionnelle.

Pouvez-vous donc m'aider à trouver cette fonction,je sais qu'il y a un cosinus ou un sinus mais je ne sais pas comment trouver la fonction.

Merci
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[invitec8b46424]

Excusez-moi,c'est la première fois que j'ai essayé les calculs.
L'intervalle c'est [0; Pi/2]

[invitec8b46424]

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[Universus]

Tu pourrais te dire qu'une meilleure approximation de la forme de la Terre est celle d'un ellipsoïde. L'équation serait donc :



où a = 6378.137 km et b=6356.752 km. L'axe z est à assimiler à celui de rotation de la Terre.

Le problème est que si tu veux calculer avec une telle forme la distance entre deux points de la surface, l'intégrale que tu obtiendras est une intégrale elliptique. On ne sait pas exprimer une telle intégrale en terme de fonctions habituelles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec8b46424]

Merci pour votre réponse,

donc si j'utilise l'équation que vous m'avez donné,alors le centre de l'ellipsoïde sera placée sur l'origine du repère.
Mais mon repère ne comportera que deux axes,je n'ai pas besoin d'un troisième.Mais vous m'avez donné 3 coordonnées,je ne vois pas ce que vous assimilez l'axe z car dans mon cas je peux supposer que la Terre est immobile...

[Castitatis]

Si tu veux rapporter ça au plan, l'équation donne alors x²/a²+y²/b²=1 avec y l'axe de rotation de la terre (même si tu la considères immobile), c'est juste pour dire dans quelle directions elle est aplatie si on veut.

[invitec8b46424]

okok,j'ai compris...merci.
Peux-tu me dire ce qu'est une intégrale elliptique??

[Castitatis]

comme c'est une ellipse, pour une même abscisse tu auras deux ordonnées, donc tu peux pas écrire y en fonction de x.

[invitec8b46424]

Exact,mais avec cette équation je n'ai plus besoin de l'intégrale..
J'aurais juste à avoir latitude de la ville et j'aurais son abscisse.Je calcule la distance d'une ville par rapport au pôle nord et au pôle sud donc ça me facilite la tâche.
Avec la latitude,je le "converti en angle dans mon repère et je calcule la distance au point où y est le plus dans l'équation..
Enfin je n'ai que des idées vague pour l'instant,je vais réfléchir plus tard.
Mais je ne sais pas si je dois exprimer l'angle en radian.Peux-tu me le dire ???

[Castitatis]

je comprends pas ce que tu veux faire avec l'angle ensuite, j'ai regardé sur wikipedia pour les longueurs d'arc (http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_integral) et ça me dépasse un peu

[invitec8b46424]

Oui,en gros je veux calculer la longueur d'un arc.Si ça te dépasse alors ça sera encore pire pour moi.
Mais tu n'as pas un moyen d'avoir une fonction qui montre l'évolution du rayon en fonction de l'angle??
J'essayerai de faire l'intégrale elliptique..

[Castitatis]

si vraiment ça donne rien ici va voir sur le forum des matheux^^

[Universus]

Pour revenir sur mon précédent message, la Terre est une surface plongée dans un espace tridimensionnel. En ce sens, on 'paramétrise' sa surface via les coordonnées cartésiennes avec 3 coordonnées x, y et z. La Terre étant en fait en rotation, l'effet centrifuge a pour effet que le rayon « à l'équateur » est quelque peu plus grand que le rayon «à un pôle». Donc, si on choisit dans l'espace un système de coordonnées cartésiennes dont l'origine coïncide avec le centre de la Terre et l'axe z avec l'axe de rotation de la Terre sur elle-même, on peut décrire l'ellipsoïde approximant la surface de la Terre par la formule que j'aie donnée. Ça n'a pas d'importance que tu vois la Terre comme immobile, l'idée n'était que pour t'aider à visualiser le système de coordonnées, mais ça t'a plutôt nuit. Désolé.

Avec la formule que j'aie donnée, tu pourrais en principe trouver la longueur d'arc entre n'importe quel deux points sur l'ellipsoïde. Par contre, tu te restreins à des points sur le même méridien, alors dans ce cas le problème se réduit à la formule donnée par Castitatis.

Sinon, tu peux à partir d'une de ces formules trouver une fonction du rayon de l'ellipsoïde en fonction de l'angle. Seulement, si tu penses trouver la longueur d'arc associé à cet angle en sachant cela, tu te trompes malheureusement. La réalité est plus compliquée et il faut passer pour une forme générale par un calcul d'intégrale. Dans ce cas, l'intégrale est dite elliptique de la seconde espèce. Cependant, on ne sait pas exprimer ces intégrales en termes de fonction usuelles.

[invitec8b46424]

Ok , je te remercie pour ton aide..

[invitec8b46424]

Oui, au début j'étais un peu perdu du fait que m'aie donner trois coordonnées mais j'ai compris en fin de compte...
Mais si je ne peux pas calculer une longueur d'arc,comment font les scientifiques pour le calculer les grandes distances??avec les satellites qui sont en orbite??

Je ne comprends pas pourquoi on ne peux pas....vous me dites que je peux exprimer ma fonction,j'intègre cette fonction entre différentes intervalles (latitude) et j'ai ma distance.Me trompe-je dans le calcul de l'intégrale???ou voulez-vous dire qu'il est impossible de trouver la primitive de la fonction qui sera établit??

Merci

[invitec8b46424]

http://folium.eu.org/analyse/integr/.../intellip.html

regardez la deuxième formule qui J(a;b).C'est bien ça l'intégrale n'est-ce pas???avec a et b les différentes rayon de la Terre (rayon équatorial et polaire).

[Universus]

Fort probablement aujourd'hui qu'on calcule-mesure les distances par satellites, en effet. Et oui, nous ne pouvons pas trouver de primitive en terme de fonctions usuelles. L'intégrale sert en fait à définir une nouvelle fonction. Donc, tu peux poser l'intégrale, mais le problème devient à partir de ce moment plus 'pratique' : tu dois la résoudre numériquement.

Edit : oui, c'est l'intégrale à résoudre (dans une de ses formes).

[invitec8b46424]

C'est vrai,j'ai essayé de calculer l'intégrale mais il est trop long et difficile.Comment je vais faire alors ???
Je dois absolument calculer cette distance...

[Universus]

Tu ne peux pas trouver de primitive. Alors si tu tiens vraiment à utiliser l'approximation de la forme de la Terre par une ellipsoïde, tu dois résoudre cette intégrale, mais tu ne pourras plus le faire par des calculs 'théoriques', mais bien 'pratiques' ; numériquement.

Autrement, tu peux approximer la Terre comme une sphère de rayon par exemple le rayon moyen de la Terre entre les deux points que tu considères. Ça se fait j'imagine, mais le calcul ne doit pas être évident encore. Sinon, tu vas encore dans une approximation plus grossière. Tu pourrais sinon considérer la Terre comme sphérique...

[invitec8b46424]

Je crois que l'on compris.....moi je considère la Terre comme une ellipse non pas comme une ellipsoïde,qui est,je pense,une ellipse à trois dimensions.

Comme t'as dit,j'ai déjà calculé cette distance en considérant la Terre sphérique,mais c'est trop arrondie.Je dois avoir une précision plus amplifiée...

[Universus]

Si tu prends les points A et B pour lesquels la distance du centre de la Terre sont et et qu'ils sont séparés, par rapport au centre de la Terre, d'un angle , alors tu pourrais peut-être essayer . Il s'agit d'une moyenne en considérant la Terre sphérique, mais pour deux rayons différents. Tout dépend aussi du degré de précision que tu veux atteindre. Tu peux approximer l'intégrale par la longueur d'une courbe brisée aussi. Pour des approximations, ce ne sont pas les façons qui manquent.

Une meilleure approximation encore serait peut-être de remplacer le 2 par 1+e où e est l'excentricité d'un méridien terrestre.

[Universus]

La dernière phrase est une erreur, mais 2-e est peut-être bien une meilleure approximation (pour de petits e du moins, comme c'est le cas pour la Terre).

[Castitatis]

j'viens de penser à quelque chose, pour donner la forme d'une ellipse sur [0;pi/2], ton rayon peut être une fonction du type f(x)=R₀+A|cos(x)| avec R₀ le rayon minimum de la terre (à pi/2) et A valant R_max-R_min, ici x est l'angle

je sais pas si ça marche, mais ca pourrait donner peut-être une approximation.

[Universus]

Salut Castitatis,

Cette courbe pourrait peut-être aussi servir de modèle d'approximation de la forme d'un méridien terrestre, mais il ne s'agit pas d'une paramétrisation d'une ellipse*. Je mets la raison en spoiler ci-dessous (vu que ce n'est pas le propre de la discussion de savoir ceci). L'avantage de cette approximation est que l'intégrale de longueur d'arc associée est calculable.

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On a . Dans le plan cartésien, ces points sont donc des couples (x,y) de la forme par exemple. Il faut donc vérifier que . On peut vérifier que cette égalité ne tient pas et donc cette formule ne caractérise pas une ellipse.

Question d'intérêt, il est possible de donner une formule du 'rayon' d'une ellipse en terme de l'angle qu'il fait avec un rayon-équateur. Il s'agit de la formule 3b du lien suivant :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse...%A9matiques%29

Malheureusement, même à cela, on ne peut pas plus calculer une longueur d'arc d'une ellipse de façon 'théorique'.

* Néanmoins, il s'agit presque (suffit de réinterpréter les termes de la formule) de la paramétrisation d'une des deux coordonnées cartésiennes (x ou y) de l'ellipse. Il faut néanmoins paramétrer de façon similaire l'autre coordonnée. Malheureusement, on ne peut paramétrer le rayon de la sorte. Voir formule 2 du lien ci-dessus pour plus d'informations.