Mecanique : Optimisation de temps de parcours

[invitef31384ba]

Bonjour, j'ai un exercice à faire et j'ai quelques difficultés alors un petit coup de main serait bienvenue

Voici l'énoncé :

Un homme marche à une vitesse Va sur un chemin et à une vitesse Vb dans un champ voisin ( Va > Vb).
On cherche à optimiser le temps de parcours en déterminant à quel point M le marcheur doit il quitter la route pour couper à travers champ.
On considère O comme point de départ du marcheur, on notera x l'abscisse du point M. On désigne par H la projection de B sur la route et on notera la distance OH = h. Les deux trajets sont rectilignes, les vitesses constantes. Et d = HB

1 ) déterminer la fonction t(x) exprimant le temps de parcours du trajet OM + MB .

2 ) En optimisant le temps de parcours pour qu'il soit minimum calculer l'abscisse x du point M où le marcheur doit obliquer. le réssultat sera exprimé en fonction des données V1, V2,h,d.


1 ) J'ai posé : xB² = xH² +d²

t(x) =+

Voilà pouvez vous me dire si je suis sur la bonne piste e si oui m'indiquer que faire pour la seconde partie. Merci par avance pour vos réponses.
-----

[doul11]

bonjour,

ton expréssion de t(x) est presque juste



pour trouver la solution a la question 2 j'ai commencé par tracer la courbe de t(x) avec des valeurs arbitraires (V1=5000 V2=3000 h=100 d=50) pour voir la tête du truc : on obtient une parabole un peut déformée vers la droite, avec un minimum pour x=62

pour trouver la valeur exacte de x j'ai posé :



et j'ai trouvé une valeur exacte proche de 62, tu sais donc ce qu'il te reste a faire ?

PS : je remercie mon logiciel de calcul formel pour l'aide précieuse qu'il m'a apporté.

[doul11]

j'ai oublié de dire deux choses :

1 : toujours faire un bon dessin dans ce genre de problèmes

2 : astuce : élever dt(x)/dx au carré pour faire sauter la racine. (elle reviendra a la fin)

[invitef31384ba]

Peut tu m'expliquer comment tu trouve l'expression de la t(x) car du coup je me suis un peu embrouillé.
Pourquoi ne parle t'on pas de distance Ox mais de x et comment trouves tu le h-x. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

Pourquoi ne parle t'on pas de distance Ox mais de x et comment trouves tu le h-x. Merci

si tu prends le point O comme origine, la distance Ox=x

h est la distance totale, ce qui reste a parcourir est donc h-x (=distance MH) c'est pour voir ceci qu'il faut faire un dessin.

[invitef31384ba]

Ah d'accord oui je comprend mieux maintenant.

Dernière petite question concernant la derivée que devient V1 ou V2 une fois dérivée car cela ne fais pas 0 puisque la dérivée d'une vitesse et une accélération. Et faut il que j'utilise laforme (u/v)' = u'v-uv'/v² ?

[doul11]

Dernière petite question concernant la derivée que devient V1 ou V2 une fois dérivée car cela ne fais pas 0 puisque la dérivée d'une vitesse et une accélération.

attention tu va trop loin et trop vite ! ici V1 et V2 sont des constantes par rapport a x, on dérive en x, on ne dérive pas en temps, dans le cas du temps dv/dt=a

[invitef31384ba]

D'accord donc pour V2 c'est pareil mais faut que je mette le tout au carré pour faire sauter la racine puis dériver le x c'est ça ?

[doul11]

ouai pareil pour V2.

tu doit dériver avec la racine (sinon je ne crois pas que ça marche), ensuite pour résoudre dt(x)/dt=0 j'ai fait sauté la racine. c'est comme ça que j'ai fait, il y a peut-être d'autres méthodes ?

si tu d'autres question ou des problèmes de calcul n'hésite pas a demander.

au fait, juste par curiosité : c'est pour quel niveau d'étude cet exercice ?

[invitef31384ba]

Merci, cet exercice c'est début bac +1, mais en 1ere il me semble avoir fait des exos d'optimisation mais plus simples.

donc si je suis ton raisonnement on a V2 : ?

[doul11]

pour dériver la racine tu doit utiliser cette formule :



avec alpha=1/2

bon courage !

[invitef31384ba]

ça revient à utiliser = ?

Ce qui fait (h-1)²+d² / 2 racine (h-x)²+d^² / V2 ?

[doul11]

ça revient à utiliser = ?

oui, c'est équivalent.

Ce qui fait (h-1)²+d² / 2 racine (h-x)²+d^² / V2 ?

je te donne le détail de mon calcul :

on doit dériver :



ça donne :





t'(x) entier :



tu est d'accord ? ensuite tu pose t'(x)=0

[obi76]

tu vas tomber sur n1 sin(i1) = n2 sin(i2)

[doul11]

tu vas tomber sur n1 sin(i1) = n2 sin(i2)

j'ai rein de tel dans mon calcul, tu peut expliquer un peut plus ton idée ?

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Obi a raison. On retrouve la loi de Snell.
Et vous l'avez dans l'expression que vous avez écrite dans le post #13:

Est le sinus le cosinus d'un angle.
Au revoir.

[invitef31384ba]

Pouvez vous expliquer un peu plus en détail cette apparition de la loi se Snell s'il vous plait ?

[invite6dffde4c]

Re.
Faites un dessin.
Inspirez-vous du dessin dans wikipedia.
L'indice de réfraction est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide ('c') et la vitesse dans le milieu.
Le problème qu'on vous a donné, consiste à prouver que la loi de Snell-(Descartes), donne le temps de parcours minimum entre deux points situés chacun d'un côté de la frontière.
Il suffit d'écrire le temps total: OM/V1 + MB/V2, en remplaçant OM et MB avec Pythagore.
Puis quand vous dérivez, des expressions comme celle que j'ai signalées apparaissent.

Et on peut faire ça, sans besoin d'un logiciel de calcul formel.
A+

[invitef31384ba]

Je ne comprend pas comment vous faites une fois la dérivée trouvée pour résoudre l'équation.

[invite6dffde4c]

Re.
Si le temps est un maximum ou un minimum, quand vous dérivez le temps par rapport à la position du passage, cette dérivée doit être nulle.
A+