Précision sur plusieurs mesures

[invited927d23c]

Bonjour,

J'ai une question sur la précision de plusieurs mesures. Si je sais mesuré l'extension d'un ressort à +/-0.09 cm prêt (la précision est grande car c'est la moyenne sur plusieurs mesures), et que la précision sur la force exercée sur le ressort est de +/- 0.01 N. Quel est la précision sur la cst de ressort? Est telle de 0.01/0.09 = +/-0.11 ? Car k = F/x?

Puis si j'ai 10 mesures avec laquelle je peux déterminé la cst du ressort, la précision sur la moyenne est de ?

Merci pour toutes vos réponses.
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[GillesH38a]

argeeeeuuuhh non!
Une incertitude se comporte comme une différentielle en quelque sorte.
Dans ton cas ce sont les incertitudes relatives sur chaque mesure qui s'ajoutent. Enfin c'est ce qu'on dit souvent en France, mais en fait, il faut sommer les carrés et prendre la racine carrée du total car les mesures sont statistiquement indépendantes.
soit dans ton cas




Si tu as 10 mesures, l'incertitude sur la moyenne est effectivement divisée en théorie par , donc le résultat final aussi. En fait tu peux faire mieux, c'est vérifier sur tes 10 mesures que ton incertitude est bien évaluée : elle doit être égale à l'ecart -type de ton échantillon de mesures.

[invited927d23c]

Merci beaucoup pour ta réponse Gillesh, mais est-ce que avec ta formule je trouves la précision en N/m sur la cst de raideur du ressort? Où est-ce que ça me donne une précision en pourcent?

J'avais oublié dans mon message de précisé les unités.

[invited927d23c]

Rebonjour,

Voila tous ce que j'aimerais savoir :

Si on donne la précision d'une force (par exemple +/-0.01 N), et de l'extension d'un ressort (par exemple +/-0.09 cm). Comment connaître la précision sur la cst de raideur du ressort en N/m, donc +/- ... N/m.

Par exemple si j'ai F=0.1 N(+/-0.01N), et x=3.04 cm(+/-0.09 cm) alors la cst de raideur du ressort est 3.28 N/m, mais quel est alors la précision de la cst de raideur du ressort en N/m ? Donc +/- combien de N/m?

Merci pour vos réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[zoup1]

F=kx donc k=F/x
Si on différencie;
dk = dF/x - Fdx/x^2
Et au niveau des incertitudes
∆F=∆F/x + F∆x/x^2

Autre façon de voir les choses
différentielle du log de l'expression dk/k = dF/F - dx/x
et au niveau des incertitudes ∆k/k = ∆F/F + ∆x/x

les deux expressions sont équivalentes.
Avec les valeurs que tu donnes cela veut dire k=3.28+/-0.426N/m
ou plutot en écrivant correctement les choses :
k=3.3+/-0.5 N/m

[GillesH38a]

oui mais avec ce calcul (qu'on fait toujours dans le système scolaire français), on additionne les incertitudes relatives. En fait les incertitudes sont des écarts types, et la théorie des stats dit que ce sont les VARIANCES (carrés des écarts types) qui s'ajoutent. L'incertitude réelle est donc la racine carrée de la somme des carrés, plus petite en général que la somme des incertitudes (on sous estime le fait que les erreurs peuvent se compenser mutuellement).

La formule que je te donne dans le premier post fournit l'incertitude relative en % (si tu multiplies le résultat par 100 bien sur) ; si tu veux l'incertitude absolue en N/m, il faut multiplier cette incertitude relative par la valeur de que tu as trouvée.

[invited927d23c]

Merci pour vos explications très complétes, je viens enfin de comprendre. Je comprend que ta formule est plus précise Gillesh, mais je vais me limiter à la formule de Zoup1 .

Mais j'ai encore 2 questions :

- Avec les valeurs qu'on avait donné on trouve une précision de +/-0.426 N/m, pour une constante de 3.29 N/m . Mais si je part du principe que la force pourrait être 0.11N (à cause de l'erreur de +/- 0.01 N) et l'extension pourrait être 0.0295 m (à cause de l'erreur de +/- 0.0009 m), alors la cst de raideur pourrait être 3.73 N/m, ce qui donne une différence d'environ 0.44 N/m par rapport à 3.29 N/m. Donc l'erreur que je trouve par cette méthode est presque la même que +/-0.426 N/m qu'on trouve avec la "formule officielle", mais pas exactement ou est l'erreur?

-Si maintenant j'ai plusieurs fois calculé la cst de raideur du ressort, avec différentes précision (car le poid et l'extension sont différentes à chaque mesure), comment est-ce que je peux faire la moyenne de toutes ces mesures et trouvé la précision sur la moyenne?
Par exemple avec les valeurs :
3.29 ± 0.44 N/m ; 3.16 ± 0.21 N/m ; 3.12 ± 0.04 N/m ;
J'ai environ une dizaine de mesures, et la précision est différente à chaque fois. Ce serait sympathique si vous pouviez m'expliquez avec c'est trois valeurs. Car je vois pas du tous comment faire.

Merci pour votre aide. Ce sont mes 2 dernières questions.

[GillesH38a]

La formule est un développement au premier ordre, elle donne donc juste un bon ordre de grandeur. Il ne faut pas chercher une grande exactitude dans les barres d'erreur, ça n'aurait pas de sens. L'incertitude que tu évalues au départ dans tes mesures est approximative, donc le résultat final aussi.

Il faut plutot prendre ça comme une indication de l'ordre de grandeur de l'erreur qu'on peut commettre, plutot que un intervalle dans laquelle on est sur d'avoir la valeur. Il se peut que l'erreur soit supérieure à ta barre d'erreur, mais pas de beaucoup.

SI tu as plusieurs mesures , avec des barres d'erreurs différentes , il faudrait en théorie déterminer la meilleure valeur comme étant la valeur de k qui minimise la fonction chi2 , et l'erreur correspondante comme la "demi-largeur" de la parabole. En pratique c'est ta mesure la plus précise qui va dominer l'ensemble.

[invited927d23c]

Rebonjour,

-Je comprend plus ou moins ta formule, Gillesh, mais quel serra alors l'ordre de grandeur sur la précision du k trouvé? Et n'y a t-il pas une formule plus simple, c'est la première fois que je travaille sur des statistique de marges d'erreur, et une formule plus simple qui me donne un ordre de grandeur me suffirais.

-Je ne vois toujours pas l'erreur de raisonnement que j'ai fait là :

- Avec les valeurs qu'on avait donné on trouve une précision de +/-0.426 N/m, pour une constante de 3.29 N/m . Mais si je part du principe que la force pourrait être 0.11N (à cause de l'erreur de +/- 0.01 N) et l'extension pourrait être 0.0295 m (à cause de l'erreur de +/- 0.0009 m), alors la cst de raideur pourrait être 3.73 N/m, ce qui donne une différence d'environ 0.44 N/m par rapport à 3.29 N/m. Donc l'erreur que je trouve par cette méthode est presque la même que +/-0.426 N/m qu'on trouve avec la "formule officielle", mais pas exactement ou est l'erreur?

La formule de Zoup me donne une valeur exacte, mais je ne trouve pas exactement la même chose (toujours légèrement plus) avec mon raisonnement. Donc je suppose que quelques part il y a une erreur dans mon raisonnement mais je n'arrive pas de voir où.

Merci pour votre aide

[invited927d23c]

Personne n'a d'idée?

[GillesH38a]

Rebonjour,

-Je comprend plus ou moins ta formule, Gillesh, mais quel serra alors l'ordre de grandeur sur la précision du k trouvé? Et n'y a t-il pas une formule plus simple, c'est la première fois que je travaille sur des statistique de marges d'erreur, et une formule plus simple qui me donne un ordre de grandeur me suffirais.

je dirait intuitivement que l'inverse de l'incertitude finale au carré est la somme des inverses des carrés des précisions de tes mesures


Si toutes les mesures ont la même incertitude, l'incertitude finale est divisée par racine(n), et si une mesure est bien meilleure que les autres, elle domine bien l'ensemble.

-Je ne vois toujours pas l'erreur de raisonnement que j'ai fait là :

La formule de Zoup me donne une valeur exacte,

Non ce n'est pas une valeur exacte, c'est une différentielle donc une approximation au premier ordre, qui néglige le second ordre.
Quand tu fais ton calcul en divisant ou en multipliant les 2 valeurs extrêmes , il te reste un petit terme du second ordre qui est négligé dans le formule différentielle.

alors que la différentielle ne donne que
, d'ou le petit écart entre les deux.

[invited927d23c]

Merci Gillesh de m'avoir tous expliqué avec autant de patience, maintenant j'ai tous ce qu'il me faut.