Pendule simple - résolution d'équation non linéaire

[invite31c09461]

Bonsoir,

Après avoir mis en équation le mouvement d'un pendule simple :
où T est la force de tension
et

...et multiplié l'équation du mouvement, la 2e (d'ailleurs que représente la 1ere?), par , on me demande de l'integrer. Voilà ce que j'obtiens :

soit encore :
Ici, j'ai essayé plusieurs méthodes:
Soit je remplace par son expression dans la premiere equation, ce qui me donne :
Donc un des deux facteurs est nul, mais ça pose problème paske théta varie.

Soit je transforme mon équation comme suit :


(K une constante)
Mais ça ressemble beaucoup à ma premiere équation, et je sais pas plus la résoudre...
Bref, si vous pouviez m'aider, ce serait vraiment cool!

Merci d'avance!

Romain
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[Jeanpaul]

Ta constante K, c'est l'énergie totale, à la masse près.
A partir de là, tu peux écrire d(théta)/dt en fonction de théta et, inévitablement, tu vas tomber sur une intégrale elliptique qui ne se résout pas avec les fonctions habituelles.

[invite31c09461]

Malheureusement je n'ai pas vu les intégrales elliptiques en cours, et ça n'a pas l'air d'être quelque chose que j'aurais pu inventer, alors est-ce qu'il n'y aurait pas un autre moyen?
D'autre part, si on suit cette voie, on obtient une racine de cosinus, ce qui restreint les valeurs possibles de theta: cela veut-il dire que cette mise en équation est un modèle dont on approche ici les limites?

[Jeanpaul]

En général, on développe le cosinus et on tombe sur une équation en théta² qu'on peut dériver et ça donne la sinusoïde habituelle des petits angles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31c09461]

Mais il est précisé dans l'énoncé qu'on ne doit pas linéariser... Tu n'as pas une autre idée? Merci bien cela dit

[Jeanpaul]

A ce moment, pas d'autre choix que de répondre sous forme d'une intégrale donnant t en fonction de théta. Ca ne va pas plus loin pour cause d'intégrale elliptique.

[invite31c09461]

Ok merci, je vais faire ça!

Ici, j'ai essayé plusieurs méthodes:
Soit je remplace par son expression dans la premiere equation, ce qui me donne :
Donc un des deux facteurs est nul, mais ça pose problème paske théta varie.

Juste par curiosité, quelle est l'erreur que j'ai faite ici ?

[Jeanpaul]

La dérivée de théta² n'est pas le carré de la dérivée de théta.
La 1ère équation ne veut pas dire grand'chose car on projette les forces sur la direction perpendiculaire au fil et alors la tension ne joue pas.