ramener une équation différentielle de 2nd ordre à un système d'équation d'ordre 1

[adamantin]

Bonjour,

J' ai un problème d'info à résoudre sous Scilab, mais ca fait appel à de la physique, c'est pourquoi je poste ici.
Voilà le texte de l'exo:

Une particule de masse m est fixée à l’extrémité d’une tige rigide de masse négligeable et de
longueur L reliée à un support fixe. Au temps t, la force qui s’exerce sur la particule
perpendiculairement à la tige est donnée par F (t) = -mg sin theta(t), où theta(t) est l’angle entre la
tige et la verticale. En posant k = g / L, l’équation du mouvement de la particule est
d2theta/dt 2 = -k^2 sin theta(t) (1)
Lorsque theta est petit, on peut utiliser l’approximation sin theta a peu prêt égale à theta et l’équation devient
d2theta/dt 2 = -k^2 theta(t) (2)
1. Vérifier que theta(t) = A cos(kt + phi) est solution de l’équation (2). Déterminer les valeurs de A
et phi qui satisfont les conditions initiales suivantes: vitesse angulaire nulle, et theta0 = 0.1. Tracer
le graphe de la solution correspondante sur dix périodes (une période étant défini par 2*pi/k), en
légendant la courbe. On prendra L=1, g=9.81.
2. On va maintenant résoudre l’équation (2) avec la méthode d’Euler.
En introduisant une nouvelle variable, ramener l’équation (2) à un système d’équations
différentielles du premier ordre.
3. Calculer numériquement la solution de ce système avec la méthode d’Euler, sur une
période de temps correspondant aux 10 périodes définies en 1. On prendra h=0.0001. Tracer
le graphe de cette solution. Légender la courbe.
4. Faire varier le pas h, en prenant h =0.001, puis h=0.01, et tracer les différentes solutions
obtenues (en légendant). Les comparer avec la solution analytique: quel est le meilleur choix
selon vous ? Quelle conséquence cela a-t-il sur l’exécution du programme ?

Je ne comprends pas à partir du 2. Comment ramener une équation différentielle de 2nd ordre à un système d'ordre 1?

Merci d'avance pour vos réponses.
P.S.: dites moi si je ne suis pas dans la bonne section.
-----

[stefjm]

Bonsoir,
Vous posez
et vous avez deux équations différentielles du premier ordre à deux inconnues.
Cordialement.

[adamantin]

Bonsoir,
Vous posez
et vous avez deux équations différentielles du premier ordre à deux inconnues.
Cordialement.

D'accord mais si je fais ca, j'ai x'=-k²*[x].
Que dois-je faire avec la primitive de x, et ou est la 2eme équation, comment je l'obtiens?
Pourriez vous décomposer le calcul, parceque je dois bloquer sur quelque choses de simple, mais que je ne vois pas.
Merci.

[stefjm]

D'accord mais si je fais ca, j'ai x'=-k²*[x].

Non.

Que dois-je faire avec la primitive de x,

Utilisez la méthode d'Euler pour intégrer puisque c'est le sujet...

et ou est la 2eme équation, comment je l'obtiens?

C'est vous qui l'avez posée sur mon conseil!

Pourriez vous décomposer le calcul, parceque je dois bloquer sur quelque choses de simple, mais que je ne vois pas.
Merci.

Ben ça donne le système différentiel suivant :


Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[adamantin]

D'accord, mais comment je résout ca, même sans passer par Euler, c'est la première fois que j'entends parler de système différentielle.
Parcequ'en fait ce que je vois là ce sont seulement deux équations, ca n'a plus rien a voir avec une équa diff.

[stefjm]

Vous êtes du genre têtu ou perdu.
L'énoncé vous dit : Méthode d'Euler !

C'est une résolution pas à pas.


Edit : J'aurais du appelé mon x : , cela aurait été plus joli physiquement.

[vaincent]

D'accord, mais comment je résout ca, même sans passer par Euler, c'est la première fois que j'entends parler de système différentielle.
Parcequ'en fait ce que je vois là ce sont seulement deux équations, ca n'a plus rien a voir avec une équa diff.

bonjour,

pas de panique ! Un tel système s'appel un système d'équations différentielles couplées. Ce n'est pas un système d'équations classique puisqu'il fait intervenir les dérivées des fonctions du temps et (j'ai posé car représente la vitesse angulaire que l'on note la plupart du temps ). Le terme "couplées" vient du fait que les 2 fonctions du temps et sont dépendantes l'une de l'autre et forment ainsi un couple.
Dans un 1er temps, on écrit ce que l'on sait sur la méthode d'Euler. Elle est basée sur une approximation de la dérivée pour h suffisament petit. Cela donne pour par exemple :



Même chose pour

En partant du système


on remplace et par leurs approximations (comme je l'ai écrit pour ). Tu dois alors arriver au système suivant :



Avec les conditions initiales et
Bien entendu il faut que tu le retrouves par toi-même(c'est pas très compliqué).

Ensuite pour pouvoir implémenter ça dans un programme informatique, il faut discrétiser le temps en posant , où n est un entier naturel quelconque.
On voit alors que le "t" dans le système précédent(qui est quelconque) doit-être remplacé par t_n.
En partant des conditions initiales, et en bouclant tout ça, on trouve les valeurs de pour chaque . (bien entendu il faut enregistrer à chaque itération ces valeurs pour pouvoir tracer la courbe ou les courbes ensuite).

[adamantin]

Vous êtes du genre têtu ou perdu.
L'énoncé vous dit : Méthode d'Euler !

C'est une résolution pas à pas.


Edit : J'aurais du appelé mon x : , cela aurait été plus joli physiquement.

En fait têtu et perdu à la fois, c'est la première fois que je vois ca, et j'aime bien comprendre ce que je fais.

Si j'ai bien comprie un tel système d'équations couplées, ne sert que pour des résolutions du type de celle d'Euler, c'est à dire pas à pas.
Est-ce qu'on utilise ca dans d'autres cas?


Merci Vaincent pour cette explication détaillée.
Donc, résumon, si je comprends bien(j'en ai besoin si je veut faire un prog qui fonctionne). A chaque pas je vais calculer omega(t), ce qui va me donner la possibilté de calculer theta(t), en partant des conditions initiales. Donc j'itère mes deux équations à chaque pas de temps. A la fin les seules valeurs qui m'intéressent sont celles de theta(t). Que je compare à la solution analytique.

[stefjm]

Si j'ai bien comprie un tel système d'équations couplées, ne sert que pour des résolutions du type de celle d'Euler, c'est à dire pas à pas.
Est-ce qu'on utilise ca dans d'autres cas?

Oui.
Et on peut utiliser des exponentielles de matrice, ce qui se programme assez bien pour trouver les solutions analytiques.
C'est très pratique pour les résolutions d'équations différentielles de degré élevé ou pour des systèmes différentiels
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponen...n.C3.A9aires_2

Merci Vaincent pour cette explication détaillée.
Donc, résumon, si je comprends bien(j'en ai besoin si je veut faire un prog qui fonctionne). A chaque pas je vais calculer omega(t), ce qui va me donner la possibilté de calculer theta(t), en partant des conditions initiales. Donc j'itère mes deux équations à chaque pas de temps. A la fin les seules valeurs qui m'intéressent sont celles de theta(t). Que je compare à la solution analytique.

C'est cela.

Pour la résolution numérique, Euler n'est pas le plus efficace, mais le mieux pour apprendre et comprendre le principe.
RK4 est plus efficace en terme de convergence et temps de calcul.
http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9...de_Runge-Kutta

Cordialement.