invariance des lois et tenseurs

[Amanuensis]

pourquoi les changements de base sont des notions linéaires

Je ne comprends pas bien la question. C'est "intrinsèque". L'algèbre linéaire s'occupe de linéarité, cela amène des axiomes de structure qui sont ceux de ce qu'on appelle espace vectoriel, et de là on montre (sous certaines conditions) qu'on a isomorphisme (d'espace vectoriel, donc linéaire) entre un espace vectoriel et Kⁿ, et on appelle "base" un tel isomorphisme.

Un changement de base est une notion linéaire parce que c'est un automorphisme d'espace vectoriel, donc linéaire.

, elles le sont si nos objets de bases sont des tenseurs

Je le vois dans l'autre sens. On pose la linéarité d'abord, les maths montrent que cela impose une structure d'espace vectoriel, les changements de base linéaires. Et les tenseurs se construisent (par exemple) comme les applications multilinéaires de Eⁿ x E*^m --> K.

L'hypothèse de linéarité (i.e., ramener les équations a des équations linéaires entre différentielles locales) entraîne le reste, tenseurs inclus.

, j'ai l'impression que c'est un raisonnement circulaire..on pourrait imaginer travailler avec des structures avec la simple propriété de covariance, n'y a-t-il que les tenseurs pour ça?

J'espère que j'ai été assez clair, je pense que cette dernière question est au cœur du problème.

Je ne le vois pas circulaire. Le "fond" du processus est la notion différentielle. Tout ce qu'on dit au fond est qu'en physique, en général, une toute petite modification du de quelque grandeur u, toute autre "chose" égale par ailleurs, entraîne, pour une autre grandeur v, une petite modification dv proportionnelle à du. Le "proportionnel" (proportionnel = linéaire) entraîne tout le reste, jusqu'aux tenseurs. Le "principe" sous-jacent est la proportionnalité à la marge des effets et des causes (= différentiabilité).

Si les relations entre grandeurs sont différentiables, alors les équations tensorielles sont la modélisation "naturelle" des équations physiques (et les variétés différentielles les espaces "naturels" pour modéliser--une fois pris en compte que R est le corps "naturel" pour la physique, un point intéressant en lui-même).
-----

[invitef17c7c8d]

Encore 2 ou 3 réponses comme ça d'Amanuensis, et l'algèbre linéaire n'aura plus aucun mystère! Ah si j'avais pu lire ce fil il y a 20ans en arrière ....

[ordage]

Bonjour,

je me posais la question suivante: en physique on quantifie les caracteristiques de notre systeme sous forme de grandeurs (vitesse, temperature etc) et on modelise son comportement en utilisant des equations faisant intervenir ces memes grandeurs.

Ce que l on aimerait c est que ces equations soient invariantes par changement de referentiel et comme toute equation peut etre mise sous la forme grandeur=0 (en faisant passer tous les termes d un cote) cela revient a modeliser les grandeurs de facon a ce que si la grandeur = 0 dans un referentiel, elle est egale a 0 dans tout referentiel.

On nous dit en general que les tenseurs remplissent ce role, mais je me demandais s il n y avait pas d autres structures mathematiques que les tenseurs pour faire ca? et comment passer de cette definition physique du tenseur (a savoir si 0 dans un referentiel alors 0 dans tout referentiel) a la definition tres formelle qu on en a en mathematiques (en utilisant l espace dual etc)

Merci pour vos reponses!

Salut

En Relativité générale (RG), Einstein s'est appuyé sur le principe que si pour décrire un phénomène physique, pour des raisons pratiques, on le décrit en général en "géométrie analytique" dans un référentiel, les lois régissant ce phénomène physique ont un caractère objectif, indépendantes du référentiel dans lequel on le décrit (Le référentiel n'est qu'un moyen de le décrire).

On devrait donc trouver un mode de représentation qui conserve la forme des relations décrivant les lois, indépendante du référentiel. L'idée générale est donc la suivante.

Il se trouve qu'en RG, comme les "champs" qu'on associe à la gravitation ont un caractère tensoriel, l'utilisation d'un formalisme utilisant des tenseurs pour écrire ces lois répond à ce critère.
Mais en MQ, par exemple il y a des lois associées à des champs "spinoriels," auquel cas on utilise un formalisme spinoriel.

Mais dans une théorie on peut aussi utiliser les deux selon les objets qu'on considère.

Mais il ne faut pas confondre la forme des équations qui n'a aucun contenu sémantique et le fond (le contenu sémantique d'une théorie qui s'appuie sur les postulats de la théorie).

Cela avec d'ailleurs fait en son temps débat entre Einstein et Kretchmann et ils s'étaient accordés la dessus.

Cordalement

[Amanuensis]

J'ai sauté quelques petits points, en particulier l'additivité. La variation infinitésimale (à la marge, donc) d'une grandeur est (par hypothèse de différentiabilité, "à petites causes petits effets") la somme pondérée de contributions des variations infinitésimales d'autres grandeurs. Avec cela on a bien les deux aspects essentiels de l'algèbre linéaire, additivité et multiplication par un scalaire.

Un autre point, qui n'a rien à voir, est l'importance des symétries. La combinaison symétries (= groupes) + variété différentielle --> groupes de Lie, et la linéarité (relations à la marge) se présente alors sous la forme de l'algèbre de Lie. S'en dérivent aussi l'importance des représentations linéaires des groupes (ce qui amène aussi, sans surprise, aux tenseurs, entre autres). Avec ça, on a une bonne partie des outils essentiels à la physique !

[invitef17c7c8d]

Un autre point, qui n'a rien à voir, est l'importance des symétries. La combinaison symétries (= groupes) + variété différentielle --> groupes de Lie, et la linéarité (relations à la marge) se présente alors sous la forme de l'algèbre de Lie. S'en dérivent aussi l'importance des représentations linéaires des groupes (ce qui amène aussi, sans surprise, aux tenseurs, entre autres). Avec ça, on a une bonne partie des outils essentiels à la physique !

Vous nous mettez l'eau à la bouche avec ces histoires de symétries

Ne me dites pas que vous sauriez nous expliquer simplement comment on retrouve les équations de Maxwell à partir de concepts de symétries !

[Amanuensis]

Ne me dites pas que vous sauriez nous expliquer simplement comment on retrouve les équations de Maxwell à partir de concepts de symétries !

Non, je ne saurais pas, c'est au-dessus de mes moyens. Mais j'ai quelques idées et pistes de comment cela se fait, impliquant des concepts trop avancés pour moi

Une d'entre elle est liée à ce qu'on appelle "symétrie de jauge", ce qui amène à une classe de modèles très surprenante par l'importance et la variété de ses applications en physique, celle de Yang-Mills (et cela est bien dans le cadre de la géométrie différentielle et des groupes de Lie...).

On en arrive à écrire Maxwell en deux lignes : dF=0, d*F=*J, magnifique d'économie...

[Deedee81]

Salut,

Ne me dites pas que vous sauriez nous expliquer simplement comment on retrouve les équations de Maxwell à partir de concepts de symétries !

Ce n'est pas si compliqué en fait ! Surtout pour l'électromagnétisme (pour les champs de jauge non abélien c'est nettement plus ardu et encore pire si on aborde la quantification). Même si les calculs peuvent être un peu longuets.

Si tu prend le lagrangien des particules chargées (mais sans le champ EM ni interaction), par exemple le lagrangien de Dirac, tu peux constater qu'il est invariant sous la symétrie globale de phase, obéissant au groupe U(1). C'est-à-dire que tu peux rajouter une phase globale à la fonction d'onde sans rien changer aux résultats. A noter que cette invariance est liée à la complexité du champ vu comme un champ classique et à l'existence de la charge et de sa conservation.

La question est : peut-on rendre ce lagrangien invariant local ? Idée qui amha découle automatiquement de la localité relativiste. C'est-à-dire effectuer un changement de phase différent en tout point x de l'espace-temps ? On constate facilement que le lagrangien n'est pas invariant sous cette transformation.

La question suivante est : comment modifier à minima ce lagrangien pour arriver à le rendre invariant ? On constate qu'il suffit de lui ajouter un champ vectoriel avec un terme d'interaction (dit minimal).

A partir du lagrangien, retrouver les équations de Maxwell est un cas d'école.

Ici tu as le détail :
http://www.sciences.ch/htmlfr/physat...ntchamps01.php
Dans les sections invariance de jauge globale et locale

Il y a clairement un lien profond entre charge, symétrie, localité et électromagnétisme.

[Amanuensis]

Comme quoi ce n'est pas à mon niveau, il ne me vient pas à l'esprit que c'est là une explication simple. Grosse limitation que j'ai là...

[Deedee81]

Comme quoi ce n'est pas à mon niveau, il ne me vient pas à l'esprit que c'est là une explication simple. Grosse limitation que j'ai là...

Si on se limite au cas des groupes abéliens, c'est-à-dire à l'EM, et sans la quantification, ce n'est vraiment pas compliqué.

Donc, amha, quand je vois ton niveau (souvent bien meilleur que le miens), je suis sur qu'il suffit que tu te plonges dedans et ça va couler de source.

Le cas des champs non abéliens avec quantification, brisure spontanée de symétrie, etc. est nettement plus compliqué(constantes de structures et tout le bataclan, fibrés quantification par intégrales de Feynman). Brrrrr..... Je ne maitrise pas dans tous les détails. Un bon livre sur le sujet est le livre Physique des Particules, Nelipa, Editions Mir. La présentation qu'il fait n'est pas rigoureuse mais est particulièrement simple (même s'il lui faut des pages et des pages pour étaler les calculs).

[Amanuensis]

Donc, amha, quand je vois ton niveau (souvent bien meilleur que le miens), je suis sur qu'il suffit que tu te plonges dedans et ça va couler de source.

Il y a une petite confusion, là... Il n'était pas question de savoir ou de compréhension, mais de (dans les termes d'origine) "expliquer simplement".

Je fais une très grosse différence entre ce que je sais (par lecture par exemple), ce que je comprends (digestion complète et satisfaisante d'un savoir), et ce que j'arrive (de temps en temps) à "expliquer simplement" (résolution des difficultés de pédagogie). Sur ce forum, je me limite en général à m'exprimer dans les deux dernières catégories... (Sinon, je pose des questions...)

[invitef17c7c8d]

1. De quelle symétrie parle t-on ? : Celle de la phase de la fonction d'onde

2. Si on change la phase d'un angle arbitraire de la fonction d'onde en tout point de l'espace-temps (symétrie globale), on a conservation de la charge électrique.

3. Si on change la phase d'un certain angle en un point donné et d'un autre angle en un autre point (symétrie locale) alors on a plus conservation de la charge.

4. Sauf si on ajoute le champ électromagnétique pour propager l'information. A savoir, le champ électromagnétique va informer le point 2 que le point 1 a tourné pour que néanmoins ce soit une symétrie. => l'interaction à longue portée de l'électromagnétisme

Etes-vous d'accord avec ce que je dis ??
De plus, je suis incapable de mettre du formalisme mathématiques derrière tout ça!

[Amanuensis]

1. De quelle symétrie parle t-on ? : Celle de la phase de la fonction d'onde

Non. Pas besoin de mécanique quantique. La présentation de l'électro-magnétisme comme théorie de jauge reste dans le domaine "classique".

Ce que représente la phase exactement ne m'est pas assez clair.

2. Si on change la phase d'un angle arbitraire de la fonction d'onde en tout point de l'espace-temps (symétrie globale), on a conservation de la charge électrique.

Non plus. On a conservation "de tout", i.e., la rotation de phase ne change rien aux prédictions de la théorie, c'est un "changement de jauge". Pas de changement = symétrie de jauge.

3. Si on change la phase d'un certain angle en un point donné et d'un autre angle en un autre point (symétrie locale) alors on a plus conservation de la charge.

Bien plus compliqué que cela. Faut passer aux notions de fibré et de connexion (notions de géo diff), pas d'explication simple.

4. Sauf si on ajoute le champ électromagnétique pour propager l'information. A savoir, le champ électromagnétique va informer le point 2 que le point 1 a tourné pour que néanmoins ce soit une symétrie. => l'interaction à longue portée de l'électromagnétisme

Cela ressemble à une image pour la connexion, mais pas avec ces notions d'information...

[Amanuensis]

PS : On s'éloigne dus sujet, et "vers le haut", de la question initiale. Pas très bon dans une discussion de primer sur l'initiateur, surtout en lançant la discussion sur des concepts compliqués hors sujet. Mieux vaudrait un fil distinct.

[Deedee81]

Il y a une petite confusion, là... Il n'était pas question de savoir ou de compréhension, mais de (dans les termes d'origine) "expliquer simplement".

Ah, pardon, j'avais mal compris.

C'est vrai qu'il y a des choses difficiles à expliquer simplement. Pour aller plus dans le détail, en restant simple, que ma brève explication ci-dessus, wow, j'aurais bien du mal.

J'ai toujours eut aussi des difficultés à expliquer en termes simples (pour profane disons) le spin.

Et dans certains cas c'est épineux pour tout le monde, même pour Feynman (c'est dire !). Exemple : le théorème spin ) statistique.