Amplitude d'un oscillateur mecanique

[invite0bc30b91]

Bonjour,

j'ai un exercice ou j'ai un ressort spirale qui est utilisé comme oscillateur mécanique.

Le système est entretenu par l’intermédiaire d'un bras qui "pousse" le ressort a intervalle régulier (même période que l'oscillateur). Cependant, ce bras va avoir une vitesse qui varie selon une courbe donnée. Donc par moment, il va donner plus d’énergie au ressort et par moment, il va en donner moins.

La question qui est posée est de relier cette vitesse à l'amplitude max de mon ressort.

Pour ca, je suis partie de la loi de conservation de l'energie entre la position de repos de mon ressort et la position max.



Ce qui donne



Donc



Et puis apres, je remplace par la courbe donnée.

Mais maintenant, je voulais faire le rapprochement en terme de puissance, c'est-a-dire la puissance fournie par le bras et l'amplitude de mon ressort mais j'ai plus de mal.
Tout ce que je sais c'est que avec P la puissance mecanique, M le couple sur mon bras et sa vitesse. Mais j'arrive pas a lier cette puissance dans le ressort.

Quelqu'un a une idée ?

Merci d'avance.
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[invitef17c7c8d]

Un oscillateur c'est un ressort (avec une raideur de torsion) et une masse (avec un moment d'inertie)

Je ne vois pas ce qui représente la masse dans ton système?

Le bras joue-t-il seulement le rôle d'un excitateur de l'oscillateur?

[invite0bc30b91]

Ouais en fait, mon système est très comparable a l'oscillateur d'une montre. Donc on a un volant d'inertie qui est monté sur le ressort spiral et puis le bras, c'est en gros l'ancre d'une montre.

Donc en fait, j'ai négligé le poids du ressort face au poids du volant d'inertie.

Et pour répondre à ta question: la masse se trouve directement dans le calcul de l'inertie de mon système soit dans le I.

Pour le bras, théoriquement, il joue que le rôle d'excitateur mais comme il va venir entretenir l'oscillateur avec des vitesse différente (il suit une sinus), ba logiquement, par moment, il va ralentir le système pour imposer sa vitesse et à d'autre moment il va au contraire l’accélérer.

Bon j'ai resorti mes cours sur les oscillateurs harmonique et il me semble avoir trouver une reponse.
En partant de l'equation d'Euler, on a:


Avec le coefficient d'amortissement du systeme, k la constante de raideur du ressort, le couple max que fournit le bras et , une fonction creneau periodique.

On aura donc une equation differentielle avec pour solution, une fonction de la forme:



Je suis passé en complexe pour resoudre l'equation differentielle et au final en disant que la vaut la frequence propre du systeme et en faisant intervenir le facteur de qualité, on arrive a:



Cette relation de l'amplitude est directement tirée de cette forme la, qui est plus frequente dans les bouquins de physique:



Et puis la puissance fournie par le bras intervient en remplacant par avec P la puissance de notre bras et sa vitesse angulaire.

J'ai pas voulu plus détailler car j'ai voulu epargnier le lecteur de calculs en complexe.

[invitef17c7c8d]

Vraiment bravo pour ce travail!

J'ai juste une petite remarque à te faire concernant cette phrase et son interprétation que tu en fais:

Pour le bras, théoriquement, il joue que le rôle d'excitateur mais comme il va venir entretenir l'oscillateur avec des vitesse différente (il suit une sinus), ba logiquement, par moment, il va ralentir le système pour imposer sa vitesse et à d'autre moment il va au contraire l’accélérer.

Bon j'ai resorti mes cours sur les oscillateurs harmonique et il me semble avoir trouver une reponse.
En partant de l'equation d'Euler, on a:


Avec le coefficient d'amortissement du systeme, k la constante de raideur du ressort, le couple max que fournit le bras et , une fonction creneau periodique.

Tu fais appel à une fonction créneau périodique pour tenir compte de non-linéarités de ton bras (tel que la prise en compte de butées)? Sinon tu peux simplement utiliser une fonction périodique...

Ton équation n'est pas "homogène" si tu conserves ton terme seulement à droite de ton équation. D'ou peut-être ensuite une mauvaise interprétation sur la necessité de devoir faire appel à un profil temporel pour la vitesse du bras...

Soit tu raisonnes dans l'espace des fréquences en considérant un système linéaire et périodique, soit tu restes dans l'espace des temps pour tenir de tous autres phénomènes plus complexes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0bc30b91]

En fait, le bras agit périodiquement mais a un contact très court avec l'oscillateur donc on a une sorte de fonction créneau avec de long temps-morts.

Ouais, je me suis rendu compte de ce soucis apres avoir poster.

En fait, la solution devrait plus prendre une forme du genre:


Le second sinus est la variation de vitesse du bras qui va modifier l'amplitude de l'oscillateur.

Mais je me suis dit qu'au final, en passant en complexe et en calculant la norme de mon tenseur, ca changerai pas mon résultat final. Enfin, il me semble.
Car de toute maniere cette seconde enveloppe se retrouve directement dans la valeur de mon amplitude par l'intermediaire de .

[invitef17c7c8d]

J'ai remarqué une chose assez curieuse, c'est que ma façon d'aborder un problème était complètement conditionnée par l'outil que j'allais utiliser...

Par exemple, en ce qui concerne la modélisation physique de votre système, j'ai pensé en termes de blocks diagrammes de type Simulink de matlab.

Ainsi mon degré d'abstraction de votre problème ne se situe pas au niveau des équations différentielles, comme vous faites. Mais simplement au niveau d'un assemblage de blocks représentant des corps solides, des ressorts, des actuateurs et des capteurs...

Si vous êtes familier avec simulink et simmechanics, cela pourrait peut-être vous simpifier la vie de les utiliser...

[invite0bc30b91]

L'approche dépende du milieu d'où on est ou d'où on vient. Ça fait pas très longtemps que j'ai fini mes études sup. donc j'ai encore une approche très académique. Je ne jure donc que par les équations mathématiques.

J'avais eu l'occasion d'utiliser simulink pour déterminer beaucoup plus rapidement des fonctions de transferts et c'est sur que c'est un gain de temps considérable et ça permet d'analyser, vérifier, comprendre,...beaucoup plus facilement. Mais malheureusement, on ne le possède pas dans la boite où je travaille donc je peux me contenter que de mon crayon et de ma feuille