Infiniments petits dans l'étude d'un pendule

[Krolah]

Bonsoir

Dans le cadre de l'étude d'un pendule, j'ai un problème dans une simplification due à l'utilisation d'infiniments petits. Voici la question (un peu synthétisée) :
un point est suspendu à un fil dont l'autre extrémité se déplace horizontalement en effectuant des oscillations sinusoïdales d'amplitude X et de pulsation . est l'angle entre la verticale et le fil et T la tension du fil. J'obtiens les mêmes équations que dans ma correction :


.

Puis l'énoncé stipule que sont des infiniments petits d'ordre un et le correcteur simplifie ces équations en :


.

C'est là que j'ai besoin de votre aide : je ne comprends pas la simplification ni l'utilité d'avoir toutes ces grandeurs infiniments petites ( ça m'amène seulement à et je n'obtiens pas les mêmes équations.)

Voilà merci d'avance pour vos réponses

(PS : il s'agit d'un extrait de concours)
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[Cassano]

Cela s'appelle une linéarisation des équations. Ca permet de rendre des équations non-linéaires linéaires, et donc de pouvoir les résoudre analytiquement.

Voila le pour le pourquoi. Pour le comment, c'est une linéarisation à l'ordre 1. En gros, pour dire ça simplement, tu ne garde que les termes d'ordre 0 et d'ordre 1. Donc les termes en , d'ordre 2 dégagent, les termes produits de termes d'ordre 1, du type , dégagent aussi. Enfin, les fonctions trigo sont simplifiés par leur DL à l'ordre 1 comme tu l'a mentionné. Et tu arrive aux équations de ta solution.

[LPFR]

...

...

Bonjour.
Je ne comprends pas d'où sort votre première équation.
On ne peut pas dire au départ que le mouvement est sinusoïdal avec le temps (car il ne l'est pas). Donc, le sin(ωt) dans l'équation n'a pas lieu d'être.
Vous devez écrire l'équation de Newton (F = ma). Dans cette équation il va apparaitre l'angle et des fonctions trigonométriques de l'angle. La solution de cette équation vous donne le mouvement de la masse dans le temps, qui n'est pas une sinusoïde.
Mais si on suppose que les angles sont petits, on peut linéariser l'équation en faisant les approximations habituelles.
Cette fois, la solution de l'équation est bien une sinusoïde.
Je pense que la démarche de supposer la solution à priori, avant d'avoir écrire les équations, est absurde. Pourquoi supposer que la solution est sinusoïdale et non logarithmique ou linéaire?

Il est lamentable que dans un concours on pose des idioties pareilles.
Au revoir.

[Krolah]

LPFR : Je pense que vous avez lu mon message un peu trop vite ! ^^ J'ai dit avoir trouvé les mêmes équations que celles de la correction et non de l'énoncé (effectivement après avoir écrit ma=F). Elles n'ont en aucun cas été données dans la question. Ensuite, il s'agit d'un point attaché à un fil dont l'autre extrémité effectue des oscillations horizontales et sinusoïdales, d'où le dans l'équation de la masse suivant un axe horizontal. Il est vrai que j'ai synthétisé la question et mis de côté le paramétrage et la résolution, mais c'est parce qu'elles n'avaient, je pense, pas vraiment d'intérêt vis-à-vis de ma question. Merci tout de même de l'intérêt que vous avez porté à ma question.

Cassano : Tout d'abord, merci pour votre réponse. Cependant, j'ai encore un peu de mal à comprendre la manière dont vous vous y prenez. J'ai effectivement utilisé des DL (camouflés ) pour cos et sin, mais pourriez-vous m'expliquer un peu plus en détails pour les dérivées ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Cassano]

Un infiniment petit x₁ d'une grandeur physique x, consiste à considérer que . Donc toute élévation à une puissance supérieure à 1 de ces infiniment petits, ou tout produit de ces infiniment petits seront négligeables par rapport aux termes principaux et aux termes d'ordre 1 (on dit que ce sont des infiniment petits d'ordre n). C'est pourquoi on peut les négliger face à ces termes.

Pour prendre un exemple, si tu as un terme principal x qui vaut 1 et un infiniment petite d'ordre 1 x₁ qui vaut x/100, alors un terme x₁² vaudra x/10 000, et sera donc négligeable (c'est très imagé et pas très rigoureux, mais c'est juste pour que tu comprenne bien)

[Krolah]

D'accord merci !